.jpg)
正确率80.0%从装满$${{1}{0}}$$升纯酒精的容器中倒出$${{2}}$$升酒精，然后用水将容器加满并摇匀，再倒出$${{2}}$$升酒精溶液，再用水将容器加满并摇匀，照这样的方法继续下去，设倒完第$$k ( k \in{\bf N}^{*} )$$次后，前$${{k}}$$次共倒出纯酒精$${{x}}$$升，倒完第$${{k}{+}{1}}$$次后，前$${{k}{+}{1}}$$次共倒出纯酒精$${{f}{(}{x}{)}}$$升，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的解析式是（）
C
A.$$f ( x )=\frac4 5 ( x+2 ) ( 2 \leqslant x < 1 0 )$$
B.$$f ( x )=\frac1 5 x+2 ( 2 \leqslant x < 1 0 )$$
C.$$f ( x )=\frac4 5 x+2 ( 2 \leqslant x < 1 0 )$$
D.$$f ( x )=\frac{1} {5} x ( 2 \leqslant x < 1 0 )$$
4、['一次函数模型的应用']正确率80.0%浙江省在先行探索高质量发展建设共同富裕示范区，统计数据表明，$${{2}{0}{2}{1}}$$年前三季度全省生产总值同比增长$$\mathbf{1 0. 6 x}$$，两年平均增长$${{6}{.}{4}{％}}$$，倘若以$${{8}{％}}$$的年平均增长率来计算，经过多少年可实现全省生产总值翻一番$$( \operatorname{l g} 2 \approx0. 3 0 1 0， \operatorname{l g} 3 \approx0. 4 7 7 1 ) ( \mathrm{~ \Lambda~} )$$
D
A.$${{7}}$$年
B.$${{8}}$$年
C.$${{9}}$$年
D.$${{1}{0}}$$年
5、['一次函数模型的应用']正确率80.0%防疫部门对某地区乙型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间$${{t}{(}}$$单位：天$${{)}}$$与病情爆发系数$${{f}{(}{t}{)}}$$之间，满足函数模型：$$f ( t )=\frac{1} {1+e^{-0. 2 2 ( t-2 0 )}}$$，当$$f ( t )=\frac{1} {1 0}$$时，标志着流感疫情将要局部爆发，则此时$${{t}}$$约为$${{(}{)}{(}}$$参考数据：$$\operatorname{l n} 9 \approx2. 2 )$$
A
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{2}{0}}$$
C.$${{3}{0}}$$
D.$${{4}{0}}$$
6、['一次函数模型的应用'， '一元二次不等式的解法']正确率60.0%若关于$${{x}}$$的不等式$$a x-b > 0$$的解集是$$( ~-\infty， ~-2 )$$，则关于$${{x}}$$的不等式$$a x^{2}+b x > 0$$的解集为（）
C
A.$$( \mathbf{\theta}-2， \mathbf{\theta} 0 )$$
B.$$( \mathbf{\alpha}-\infty， \ \mathbf{0} ) \ \cup\ ( \mathbf{2}， \ \mathbf{\alpha}+\infty)$$
C.$$( {\bf0}， ~ {\bf2} )$$
D.$$( \mathbf{\theta}-\infty， \mathbf{\theta}-\mathbf{2} ) \cup\mathbf{\epsilon} ( \mathbf{0}， \mathbf{\theta}+\infty)$$
7、['众数、中位数和平均数'， '一次函数模型的应用']正确率80.0%某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的$${{.}}$$奖励公式为$$f ( n )=k ( n ) ( n-1 0 )$$，$${{n}{>}{{1}{0}}{(}}$$其中$${{n}}$$是任课教师所在班级学生的该任课教师所教学科的平均成绩与该科省平均分之差，$${{f}{(}{n}{)}}$$的单位为元$${{)}}$$，而$$k ( n )=\left\{\begin{array} {l} {0， n \leqslant1 0} \\ {1 0 0， 1 0 < n \leqslant1 5} \\ {2 0 0， 1 5 < n \leqslant2 0} \\ {3 0 0， 2 0 < n \leqslant2 5} \\ {4 0 0， n > 2 5} \\ \end{array} \right.$$，现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分$${{1}{8}}$$分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分$${{2}{1}}$$分，则乙所得奖励比甲所得奖励多$${{(}{)}}$$
D
A.$${{6}{0}{0}}$$元
B.$${{9}{0}{0}}$$元
C.$${{1}{6}{0}{0}}$$元
D.$${{1}{7}{0}{0}}$$元
8、['实际问题中的定义域'， '一次函数模型的应用']正确率60.0%据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为$${{2}{{0}{0}{0}}}$$辆次，其中变速车存车费是每辆一次$${{0}{.}{8}}$$元，普通车存车费是每辆一次$${{0}{.}{5}}$$元，若普通车存车数为$${{x}}$$辆次，存车费总收入为$${{y}}$$元，则$${{y}}$$关于$${{x}}$$的函数关系式是（）
D
A.$$y=0. 3 x+8 0 0 ( 0 \leqslant x \leqslant2 \， 0 0 0， \， \， \， x \in\bf N )$$
B.$$y=0. 3 x+1 \， 6 0 0 ( 0 \leqslant x \leqslant2 \， 0 0 0. \， \， x \in\bf N )$$
C.$$y=-0. 3 x+8 0 0 ( 0 \leqslant x \leqslant2 \， 0 0 0， \， \， x \in{\bf N} )$$
D.$$y=-0. 3 x+1 \， 6 0 0 ( 0 \leqslant x \leqslant2 0 0 0， \; \， x \in{\bf N} )$$
9、['一次函数模型的应用']正确率80.0%如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合$${{.}}$$已知某类果蔬的保鲜时间$${{y}{(}}$$单位：小时$${{)}}$$与储藏温度$${{x}{(}}$$单位：$${℃{)}}$$满足函数关系$$y=e^{a x+b} ( a， b$$为常数$${{)}}$$，若该果蔬在$${{6}{℃}}$$的保鲜时间为$${{2}{1}{6}}$$小时，在$${{2}{4}{℃}}$$的保鲜时间为$${{8}}$$小时，且该果蔬所需物流时间为$${{3}}$$天，则物流过程中果蔬的储藏温度$${{(}}$$假设物流过程中恒温$${{)}}$$最高不能超过$${{(}{)}}$$
B
A.$${{9}{℃}}$$
B.$${{1}{2}{℃}}$$
C.$${{1}{8}{℃}}$$
D.$${{2}{0}{℃}}$$
10、['一次函数模型的应用']正确率40.0%随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量$${{P}{(}}$$单位：贝克$${{)}}$$与时间$${{t}{(}}$$单位：天$${{)}}$$满足函数关系$$P ( t )=P_{0} 2^{-\frac{t} {3 0}}$$，其中$${{P}_{0}}$$为$${{t}{=}{0}}$$时该放射性同位素的含量．已知$${{t}{=}{{1}{5}}}$$时，该放射性同位素的瞬时变化率为$$- \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{l n} 2} {1 0}$$，则该放射性同位素含量为$${{4}{.}{5}}$$贝克时，衰变所需时间为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{2}{0}}$$天
B.$${{3}{0}}$$天
C.$${{4}{5}}$$天
D.$${{6}{0}}$$天
1. 倒酒精问题：初始10升纯酒精，每次倒出2升后加水。设第k次后共倒出x升，求f(x)表达式。
每次操作后剩余酒精比例为$$\frac{{8}}{{10}} = \frac{{4}}{{5}}$$。倒完第k+1次后，前k次共倒出x升，此时容器内剩余纯酒精为$$10 - x$$升。
第k+1次倒出2升溶液中含纯酒精$$\frac{{2}}{{10}} \times (10 - x) = \frac{{1}}{{5}}(10 - x)$$升。
因此前k+1次共倒出：$$f(x) = x + \frac{{1}}{{5}}(10 - x) = x + 2 - \frac{{1}}{{5}}x = \frac{{4}}{{5}}x + 2$$
且$$2 \leq x < 10$$，故答案为C：$$f(x) = \frac{{4}}{{5}}x + 2 (2 \leq x < 10)$$
4. 生产总值翻番问题：年增长率8%，求翻番所需年数n。
翻番即$$(1 + 8\%)^n = 2$$，即$$1.08^n = 2$$。
取对数：$$n \lg 1.08 = \lg 2$$
$$\lg 1.08 = \lg \frac{{108}}{{100}} = \lg 108 - \lg 100 = \lg (2^2 \times 3^3) - 2 = 2\lg 2 + 3\lg 3 - 2$$
代入$$\lg 2 \approx 0.3010$$, $$\lg 3 \approx 0.4771$$得：
$$\lg 1.08 \approx 2 \times 0.3010 + 3 \times 0.4771 - 2 = 0.6020 + 1.4313 - 2 = 0.0333$$
因此$$n = \frac{{\lg 2}}{{\lg 1.08}} \approx \frac{{0.3010}}{{0.0333}} \approx 9.04$$
故需10年实现翻番，答案为D：10年
5. 流感爆发模型：$$f(t) = \frac{{1}}{{1 + e^{-0.22(t-20)}}}$$，当$$f(t) = \frac{{1}}{{10}}$$时求t。
设$$\frac{{1}}{{1 + e^{-0.22(t-20)}}} = \frac{{1}}{{10}}$$
则$$1 + e^{-0.22(t-20)} = 10$$，即$$e^{-0.22(t-20)} = 9$$
取自然对数：$$-0.22(t - 20) = \ln 9 \approx 2.2$$
解得$$t - 20 = -\frac{{2.2}}{{0.22}} = -10$$，即$$t = 10$$
答案为A：10
6. 不等式解集问题：$$ax - b > 0$$解集为$$(-\infty, -2)$$，求$$ax^2 + bx > 0$$解集。
由$$ax - b > 0$$解集为$$(-\infty, -2)$$知：
a < 0（不等式方向与解集方向一致），且方程$$ax - b = 0$$的根为x = -2。
即$$-2a - b = 0$$，得$$b = -2a$$
代入$$ax^2 + bx = ax^2 - 2ax = ax(x - 2) > 0$$
因a < 0，不等式等价于$$x(x - 2) < 0$$，解得$$0 < x < 2$$
答案为C：$$(0, 2)$$
7. 教师奖励问题：奖励公式$$f(n) = k(n)(n - 10)$$，甲n=18，乙n=21。
甲：$$k(18) = 200$$（因15 < 18 ≤ 20），$$f(18) = 200 \times (18 - 10) = 200 \times 8 = 1600$$元
乙：$$k(21) = 300$$（因20 < 21 ≤ 25），$$f(21) = 300 \times (21 - 10) = 300 \times 11 = 3300$$元
乙比甲多：$$3300 - 1600 = 1700$$元
答案为D：1700元
8. 存车费问题：总存车2000辆次，普通车x辆次，变速车2000 - x辆次。
普通车存车费：0.5x元
变速车存车费：0.8(2000 - x) = 1600 - 0.8x元
总收入：$$y = 0.5x + 1600 - 0.8x = -0.3x + 1600$$
且$$0 \leq x \leq 2000, x \in \mathbf{N}$$
答案为D：$$y = -0.3x + 1600 (0 \leq x \leq 2000, x \in \mathbf{N})$$
9. 果蔬保鲜问题：保鲜时间$$y = e^{ax + b}$$，已知6℃时216小时，24℃时8小时。
代入得：$$e^{6a + b} = 216$$, $$e^{24a + b} = 8$$
两式相除：$$e^{(24a + b) - (6a + b)} = e^{18a} = \frac{{8}}{{216}} = \frac{{1}}{{27}}$$
取对数：$$18a = \ln \frac{{1}}{{27}} = -\ln 27 = -3\ln 3$$
物流需3天即72小时，求最高温度x使$$e^{ax + b} \geq 72$$
由$$e^{6a + b} = 216$$得：$$e^{ax + b} = e^{6a + b} \cdot e^{a(x - 6)} = 216 \cdot e^{a(x - 6)} \geq 72$$
即$$e^{a(x - 6)} \geq \frac{{72}}{{216}} = \frac{{1}}{{3}}$$
取对数：$$a(x - 6) \geq \ln \frac{{1}}{{3}} = -\ln 3$$
由$$18a = -3\ln 3$$得$$a = -\frac{{\ln 3}}{{6}}$$
代入：$$-\frac{{\ln 3}}{{6}}(x - 6) \geq -\ln 3$$
两边除以$$-\ln 3$$（负号不等号方向改变）：$$\frac{{x - 6}}{{6}} \leq 1$$
解得$$x \leq 12$$
故最高温度12℃，答案为B：12℃
10. 放射性衰变问题：$$P(t) = P_0 \cdot 2^{-\frac{{t}}{{30}}}$$，t=15时瞬时变化率$$-\frac{{3\sqrt{2} \ln 2}}{{10}}$$，求P(t)=4.5时的t。
先求P_0：对P(t)求导：
$$P'(t) = P_0 \cdot 2^{-\frac{{t}}{{30}}} \cdot (-\frac{{1}}{{30}} \ln 2)$$
t=15时：$$P'(15) = P_0 \cdot 2^{-\frac{{1}}{{2}}} \cdot (-\frac{{\ln 2}}{{30}}) = -\frac{{P_0 \ln 2}}{{30 \sqrt{2}}}$$
已知$$P'(15) = -\frac{{3\sqrt{2} \ln 2}}{{10}}$$
联立：$$-\frac{{P_0 \ln 2}}{{30 \sqrt{2}}} = -\frac{{3\sqrt{2} \ln 2}}{{10}}$$
解得$$P_0 = 30 \sqrt{2} \cdot \frac{{3\sqrt{2} \ln 2}}{{10}} \cdot \frac{{1}}{{\ln 2}} = 30 \cdot \frac{{3 \cdot 2}}{{10}} = 18$$
现求t使$$P(t) = 18 \cdot 2^{-\frac{{t}}{{30}}} = 4.5$$
即$$2^{-\frac{{t}}{{30}}} = \frac{{4.5}}{{18}} = \frac{{1}}{{4}}$$
取对数：$$-\frac{{t}}{{30}} \log_2 2 = \log_2 \frac{{1}}{{4}}$$，即$$-\frac{{t}}{{30}} = -2$$
解得$$t = 60$$天
答案为D：60天