1、['二次函数模型的应用']正确率60.0%svg异常
C
A.$${{2}{6}}$$米
B.$${{2}{8}}$$米
C.$${{3}{1}}$$米
D.$${{3}{3}}$$米
2、['二次函数模型的应用']正确率40.0%某礼服租赁公司共有$${{3}{0}{0}}$$套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为$${{2}{0}{0}}$$元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在$${{2}{0}{0}}$$元的基础上提高$${{1}{0}{x}}$$元$$( 1 \leqslant x \leqslant2 0， \， \， \， x \in{\bf Z} )，$$则被租出的礼服会减少$${{1}{0}{x}}$$套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过$${{6}{.}{2}{4}}$$万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（）
C
A.$${{2}{2}{0}}$$元
B.$${{2}{4}{0}}$$元
C.$${{2}{5}{0}}$$元
D.$${{2}{8}{0}}$$元
3、['二次函数模型的应用'， '对数函数与一次函数的差异'， '列表法']正确率60.0%有一组实验数据如下表所示：
| $${{t}}$$ | $${{1}{.}{9}}$$ | $${{3}{.}{0}}$$ | $${{4}{.}{0}}$$ | $${{5}{.}{1}}$$ | $${{6}{.}{1}}$$ |
| $${{v}}$$ | $${{1}{.}{5}}$$ | $${{4}{.}{0}}$$ | $${{7}{.}{5}}$$ | $${{1}{2}{.}{0}}$$ | $${{1}{8}{.}{0}}$$ |
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）B
A.$$v=2 t-2$$
B.$$v=\frac{t^{2}-1} {2}$$
C.$$v=\operatorname{l o g}_{0. 5} t$$
D.$${{v}{=}{{l}{o}{g}_{3}}{t}}$$
4、['二次函数模型的应用'， '指数函数与其他函数的差异']正确率60.0%有一组试验数据如表所示：
| $${{t}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}}$$ |
| $${{s}}$$ | $${{1}{.}{5}}$$ | $${{5}{.}{9}}$$ | $${{1}{3}{.}{4}}$$ | $${{2}{4}{.}{1}}$$ | $${{3}{7}}$$ |
下列所给函数模型较适合的是（）C
A.$$y=\operatorname{l o g}_{a} x ( a > 1 )$$
B.$$y=a x+b ( a > 1 )$$
C.$$y=a x^{2}+b ( a > 0 )$$
D.$$y=\operatorname{l o g}_{a} x+b ( a > 1 )$$
5、['两点间的距离'， '二次函数模型的应用'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '点与椭圆的位置关系'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率40.0%已知椭圆$$C_{:} \ x^{2}+\frac{y^{2}} {4}=1$$和抛物线$$E_{\colon} \ x^{2}=4 y$$，则椭圆$${{C}}$$上一动点$${{P}}$$与抛物线$${{E}}$$的焦点$${{F}}$$的距离$${{|}{P}{F}{|}}$$的最小值是
A
A.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
B.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
6、['二次函数模型的应用'， '建立函数模型解决实际问题'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%东方旅社有$${{1}{0}{0}}$$张普通客床，每床每夜收租费$${{1}{0}}$$元时，客床可以全部租出，若每床每夜收费提高$${{2}}$$元，便减少$${{1}{0}}$$张床租出，再提高$${{2}}$$元，又再减少$${{1}{0}}$$张床租出，依此变化下去，为了投资少而获利大，每床每夜应收取租金$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}{4}}$$元
B.$${{1}{6}}$$元
C.$${{1}{4}}$$元或$${{1}{6}}$$元
D.$${{1}{8}}$$元
7、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '在给定区间上恒成立问题'， '二次函数模型的应用'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%若函数$$f ( x )=a x^{2}+( a+2 ) x+1$$在$$(-\infty， 1 ]$$上递增，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$$- \frac2 3 \leqslant a \leqslant0$$
B.$$- \frac2 3 \leqslant a < 0$$
C.$$a \leq-\frac{2} {3}$$
D.$$a \geq-\frac{2} {3}$$
8、['二次函数模型的应用'， '函数的最大(小)值']正确率60.0%把长为$${{1}{2}{{c}{m}}}$$的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是
（）
D
A.$$\frac{\sqrt3} {2} \mathrm{\ c m^{2}}$$
B.$${{4}{c}{{m}^{2}}}$$
C.$${{3}{\sqrt {2}}{{c}{m}^{2}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}{{c}{m}^{2}}}$$
9、['二次函数模型的应用'， '直线与圆相交'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%已知直线$$x-y+m=0 \， ( m > 0 )$$与圆$$C : \left( x-3 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2}=4$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，$${{C}}$$为圆心，当$${{Δ}{C}{A}{B}}$$的面积最大时，$${{m}}$$的值为
B
A.$${{4}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
10、['二次函数模型的应用']正确率60.0%有一组试验数据如下表所示：
| $${{x}}$$ | $${{2}{.}{0}{1}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}{.}{0}{1}}$$ | $${{5}{.}{1}}$$ | $${{6}{.}{1}{2}}$$ |
| $${{y}}$$ | $${{3}}$$ | $${{8}{.}{0}{1}}$$ | $${{1}{5}}$$ | $${{2}{3}{.}{8}}$$ | $$3 6. 0 4$$ |
则最能体现这组数据关系的函数模型是（）B
A.$$y=2^{x}-1$$
B.$$y=x^{2}-1$$
C.$$y=2 \operatorname{l o g}_{2} x$$
D.$${{y}{=}{{x}^{3}}}$$
1. 题目1的选项格式异常，无法解析。
2. 设每套礼服租价为$$200 + 10x$$元，租出礼服数量为$$300 - 10x$$套。收入为$$(200 + 10x)(300 - 10x) > 62400$$元。化简不等式：
$$(200 + 10x)(300 - 10x) > 62400$$
展开得：
$$60000 + 3000x - 2000x - 100x^2 > 62400$$
合并同类项：
$$1000x - 100x^2 > 2400$$
整理为：
$$x^2 - 10x + 24 < 0$$
解不等式得$$4 < x < 6$$，因为$$x$$为整数，所以$$x=5$$。租价为$$200 + 10 \times 5 = 250$$元，选C。
3. 观察数据$$(t, v)$$的增长趋势：
- $$t=1.9$$时，$$v=1.5$$；
- $$t=3.0$$时，$$v=4.0$$；
- $$t=4.0$$时，$$v=7.5$$；
- $$t=5.1$$时，$$v=12.0$$；
- $$t=6.1$$时，$$v=18.0$$。
$$v$$随$$t$$增长的速度加快，符合二次函数特征。验证选项B：
$$v=\frac{t^2 - 1}{2}$$：
- $$t=3.0$$时，$$v=\frac{9-1}{2}=4$$，符合；
- $$t=4.0$$时，$$v=\frac{16-1}{2}=7.5$$，符合；
其他选项不符合数据规律，选B。
4. 观察数据$$(t, s)$$的增长趋势：
- $$t=1$$时，$$s=1.5$$；
- $$t=2$$时，$$s=5.9$$；
- $$t=3$$时，$$s=13.4$$；
- $$t=4$$时，$$s=24.1$$；
- $$t=5$$时，$$s=37$$。
$$s$$随$$t$$的增长呈二次函数特征。验证选项C：
$$y=ax^2 + b$$：
代入$$t=1$$和$$t=2$$：
$$a + b = 1.5$$
$$4a + b = 5.9$$
解得$$a=1.47$$，$$b=0.03$$，大致符合数据趋势，选C。
5. 椭圆$$C: x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$$，抛物线$$E: x^2 = 4y$$的焦点为$$F(0,1)$$。设$$P(x,y)$$在椭圆上，则$$x^2 = 1 - \frac{y^2}{4}$$。距离平方为：
$$|PF|^2 = x^2 + (y - 1)^2 = 1 - \frac{y^2}{4} + y^2 - 2y + 1 = \frac{3}{4}y^2 - 2y + 2$$。
求最小值，对$$y$$求导：
$$\frac{d}{dy}\left(\frac{3}{4}y^2 - 2y + 2\right) = \frac{3}{2}y - 2 = 0 \Rightarrow y = \frac{4}{3}$$。
代入得：
$$|PF|^2 = \frac{3}{4} \left(\frac{4}{3}\right)^2 - 2 \left(\frac{4}{3}\right) + 2 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + 2 = \frac{2}{3}$$。
最小距离为$$\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$，选A。
6. 设每床租金提高$$2x$$元，租出床数为$$100 - 10x$$张。收入为$$(10 + 2x)(100 - 10x) = 1000 + 200x - 100x - 20x^2 = 1000 + 100x - 20x^2$$。求最大值，对$$x$$求导：
$$\frac{d}{dx}(1000 + 100x - 20x^2) = 100 - 40x = 0 \Rightarrow x = 2.5$$。
因为$$x$$为整数，取$$x=2$$或$$x=3$$：
- $$x=2$$时，租金为$$10 + 4 = 14$$元，收入为$$14 \times 80 = 1120$$元；
- $$x=3$$时，租金为$$10 + 6 = 16$$元，收入为$$16 \times 70 = 1120$$元。
两者收入相同，但$$x=2$$时投资更少，选A。
7. 函数$$f(x) = ax^2 + (a+2)x + 1$$在$$(-\infty, 1]$$上递增。若$$a=0$$，$$f(x)=2x+1$$为直线，斜率为2，满足递增。若$$a \neq 0$$，需满足：
- 抛物线开口向下，即$$a < 0$$；
- 对称轴$$x = -\frac{a+2}{2a} \geq 1$$。
解不等式：
$$-\frac{a+2}{2a} \geq 1 \Rightarrow -a - 2 \leq 2a \Rightarrow -3a \leq 2 \Rightarrow a \geq -\frac{2}{3}$$。
综上，$$-\frac{2}{3} \leq a \leq 0$$，选A。
8. 设两段长度分别为$$x$$和$$12 - x$$，围成正三角形边长为$$\frac{x}{3}$$和$$\frac{12 - x}{3}$$。面积和为：
$$S = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\left(\frac{x}{3}\right)^2 + \left(\frac{12 - x}{3}\right)^2\right) = \frac{\sqrt{3}}{36}(x^2 + (12 - x)^2)$$。
化简：
$$S = \frac{\sqrt{3}}{36}(2x^2 - 24x + 144) = \frac{\sqrt{3}}{18}(x^2 - 12x + 72)$$。
求最小值，对$$x$$求导：
$$\frac{d}{dx}(x^2 - 12x + 72) = 2x - 12 = 0 \Rightarrow x = 6$$。
代入得：
$$S = \frac{\sqrt{3}}{18}(36 - 72 + 72) = \frac{\sqrt{3}}{18} \times 36 = 2\sqrt{3}$$，选D。
9. 圆$$C$$的圆心为$$(3,3)$$，半径$$r=2$$。直线$$x - y + m = 0$$到圆心的距离为：
$$d = \frac{|3 - 3 + m|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{m}{\sqrt{2}}$$。
弦长$$AB = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{4 - \frac{m^2}{2}}$$。
面积$$S = \frac{1}{2} \times AB \times d = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{4 - \frac{m^2}{2}} \times \frac{m}{\sqrt{2}} = m\sqrt{2 - \frac{m^2}{4}}$$。
求最大值，对$$m$$求导：
$$\frac{d}{dm}\left(m\sqrt{2 - \frac{m^2}{4}}\right) = \sqrt{2 - \frac{m^2}{4}} + m \times \frac{-m/2}{\sqrt{2 - \frac{m^2}{4}}} = 0$$。
化简得：
$$2 - \frac{m^2}{4} = \frac{m^2}{4} \Rightarrow m^2 = 4 \Rightarrow m = 2$$（$$m > 0$$），选B。
10. 观察数据$$(x, y)$$的增长趋势：
- $$x=2.01$$时，$$y=3$$；
- $$x=3$$时，$$y=8.01$$；
- $$x=4.01$$时，$$y=15$$；
- $$x=5.1$$时，$$y=23.8$$；
- $$x=6.12$$时，$$y=36.04$$。
$$y$$随$$x$$的增长呈三次函数特征。验证选项D：
$$y = x^3$$：
- $$x=2$$时，$$y=8$$，与数据$$y=3$$不符；
但其他选项更不符合。实际上数据更接近$$y = x^2 - 1$$：
- $$x=2.01$$时，$$y \approx 4 - 1 = 3$$；
- $$x=3$$时，$$y=9 - 1=8$$；
- $$x=4.01$$时，$$y \approx 16 - 1=15$$；
- $$x=5.1$$时，$$y \approx 26 - 1=25$$（与23.8接近）；
因此选B。
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