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正确率60.0%已知集合$${{A}{=}{\{}{x}{|}{−}{1}{⩽}{x}{⩽}{4}{\}}}$$，全集$${{U}{=}{\{}{y}{|}{y}{=}{{x}^{2}}{−}{1}{，}{x}{∈}{R}{\}}}$$，则$${{∁}_{U}{A}{=}{（}}$$）
C
A.$${{\{}{x}{|}{−}{1}{⩽}{x}{⩽}{4}{\}}}$$
B.$${{\{}{x}{|}{x}{⩾}{−}{1}{\}}}$$
C.$${{\{}{x}{|}{x}{>}{4}{\}}}$$
D.$${{\{}{x}{|}{1}{⩽}{x}{⩽}{4}{\}}}$$
2、['二次函数模型的应用'， '对数函数与一次函数的差异'， '列表法'， '对数的运算性质']正确率60.0%今有一组关于$${{t}{，}{v}}$$的数据如下：
| $${{t}}$$ | $${{1}{.}{9}{9}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}{.}{1}}$$ | $${{6}{.}{1}{2}}$$ |
| $${{v}}$$ | $${{1}{.}{5}}$$ | $${{4}{.}{0}{4}}$$ | $${{7}{.}{5}}$$ | $${{1}{2}}$$ | $${{1}{8}{.}{1}}$$ |
C
A.$${{v}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{t}}$$
B.$$v=\operatorname{l o g}_{\frac1 2} t$$
C.$$v=\frac{t^{2}-1} {2}$$
D.$${{v}{=}{2}{t}{−}{2}}$$
3、['两点间的距离'， '二次函数模型的应用'， '向量的模'， '平面向量数乘的坐标运算'， '向量在几何中的应用举例']正确率40.0%在直角$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，点$${{D}}$$是斜边$${{A}{C}}$$的中点，点$${{E}}$$为线段$${{B}{D}}$$上的一个动点，则$$\frac{\left| E A \right|^{2}+\left| E C \right|^{2}} {\left| E B \right|^{2}}$$的最小值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1 0} {9}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}{0}}$$
4、['二次函数模型的应用'， '圆的定义与标准方程'， '向量的模'， '向量坐标与向量的数量积'， '数量积的运算律'， '导数与最值'， '向量的数量积的定义'， '与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%已知平面向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}{，}{{c}^{→}}}$$，满足$${{|}{{b}^{→}}{|}{=}{2}{，}{|}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{|}{=}{1}{，}}$$$${{c}^{→}{=}{λ}{{a}^{→}}{+}{μ}{{b}^{→}}}$$且$${{λ}{+}{2}{μ}{=}{1}}$$，若对每一个确定的向量$${{a}^{→}}$$，记$${{|}{{c}^{→}}{|}}$$的最小值为$${{m}}$$，则当$${{a}^{→}}$$变化时，$${{m}}$$的最大值为（）
B
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$${{1}}$$
5、['二次函数模型的应用'， '空间向量的数量积'， '空间投影向量与投影数量']正确率40.0%已知$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}{，}{{{e}_{3}}^{→}}}$$是空间单位向量，且满足$$\overrightarrow{e_{1}} \cdot\overrightarrow{e_{2}}=\overrightarrow{e_{2}} \cdot\overrightarrow{e_{3}}=\overrightarrow{e_{3}} \cdot\overrightarrow{e_{1}}=\frac{1} {2}$$，若向量$${{b}^{⃗}{=}{3}{λ}{{{e}_{1}}^{→}}{+}{(}{1}{−}{λ}{)}{{{e}_{2}}^{→}}{，}{λ}{∈}}$$ $${{R}}$$，则$${{{e}_{3}}^{→}}$$在$${{b}^{⃗}}$$方向上的投影的最大值为（）
D
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} 3$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
6、['二次函数模型的应用'， '一元二次不等式的解法']正确率60.0%某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件$${{7}{0}}$$元，年销售量为$${{1}{1}{.}{8}}$$万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的$${{x}{%}}$$的管理费（即销售$${{1}{0}{0}}$$元要征收$${{x}}$$元），于是该产品定价每件比第一年增加了$$\frac{7 0 \cdot x \%} {1-x \%}$$元，预计年销售额减少$${{x}}$$万件，要使第二年商场在该产品经营中收取的管理费不少于$${{1}{4}}$$万元，则$${{x}}$$的最大值是（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{8}{.}{5}}$$
D.$${{1}{0}}$$
7、['二次函数模型的应用'， '一元二次不等式的解法']正确率40.0%根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的$${{n}}$$个月内累计的需求量$${{S}_{n}{（}}$$单位：万件）大约是$$S_{n}=\frac{n} {2 7} ( 2 1 n-n^{2}-5 ) \， \， ( n=1， \， \， 2， \， \， \， \ldots， \， \， 1 2 )$$．据此预测，本年度内，需求量超过$${{5}}$$万件的月份是（）
C
A.$${{5}}$$月$${、{6}}$$月
B.$${{6}}$$月$${、{7}}$$月
C.$${{7}}$$月$${、{8}}$$月
D.$${{8}}$$月$${、{9}}$$月
8、['二次函数模型的应用'， '建立函数模型解决实际问题'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为如何定价发愁．进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租$${、}$$人员工资等固定成本为$${{2}{0}{0}}$$元，每桶水的进价是$${{5}}$$元，销售单价与日均销售量的关系如下表：
| 销售单价 $${{/}}$$ 元 | $${{6}}$$ | $${{7}}$$ | $${{8}}$$ | $${{9}}$$ | $${{1}{0}}$$ | $${{1}{1}}$$ | $${{1}{2}}$$ |
| 日均销售量 $${{/}}$$ 桶 | $${{4}{8}{0}}$$ | $${{4}{4}{0}}$$ | $${{4}{0}{0}}$$ | $${{3}{6}{0}}$$ | $${{3}{2}{0}}$$ | $${{2}{8}{0}}$$ | $${{2}{4}{0}}$$ |
根据以上信息，你认为该经营部的定价为多少才能获得最大利润？
D
A.每桶$${{8}{.}{5}}$$元
B.每桶$${{9}{.}{5}}$$元
C.每桶$${{1}{0}{.}{5}}$$元
D.每桶$${{1}{1}{.}{5}}$$元
9、['一次函数模型的应用'， '二次函数模型的应用'， '指数型函数模型的应用'， '对数型函数模型的应用']正确率80.0%某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
| $${{x}}$$ | $${{1}{.}{9}{9}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}{.}{1}}$$ | $${{6}{.}{1}{2}}$$ |
| $${{y}}$$ | $${{1}{.}{5}}$$ | $${{4}{.}{0}{4}}$$ | $${{7}{.}{5}}$$ | $${{1}{2}}$$ | $${{1}{8}{.}{0}{1}}$$ |
D
A.$${{y}{=}{2}{x}{−}{2}}$$
B.$$y=( \frac{1} {2} )^{x}$$
C.$${{y}{=}{{l}{o}}{{g}_{2}}{x}}$$
D.$$y=\frac{1} {2} ( x^{2}-1 )$$
10、['二次函数模型的应用']正确率40.0%某商场为了解商品销售情况，对某种电器今年一至六月份的月销售量$${{Q}{(}{x}{)}{(}}$$台)进行统计，得数据如下：
| $${{x}{(}}$$ 月份) | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}}$$ | $${{6}}$$ |
| $${{Q}{(}{x}{)}{(}}$$ 台) | $${{6}}$$ | $${{9}}$$ | $${{1}{0}}$$ | $${{8}}$$ | $${{6}}$$ | $${{2}}$$ |
根据如表中的数据，你认为能较好描述月销售量$${{Q}{(}{x}{)}{(}}$$台)与时间$${{x}{(}}$$月份)变化关系的模拟函数是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{Q}{{(}{x}{)}}{=}{a}{x}{+}{b}{(}{a}{≠}{0}{)}}$$
B.$${{Q}{{(}{x}{)}}{=}{a}{{|}{x}{−}{4}{|}}{+}{b}{(}{a}{≠}{0}{)}}$$
C.$${{Q}{{(}{x}{)}}{=}{a}{{(}{x}{−}{3}{)}^{2}}{+}{b}{(}{a}{≠}{0}{)}}$$
D.$${{Q}{{(}{x}{)}}{=}{a}{×}{{b}^{x}}{(}{a}{≠}{0}{，}{b}{>}{0}{且}{b}{≠}{1}{)}}$$
1. 解析：集合 $$A = \{x \mid -1 \leq x \leq 4\}$$，全集 $$U = \{y \mid y = x^2 - 1, x \in \mathbb{R}\}$$。由于 $$y = x^2 - 1 \geq -1$$，所以 $$U = \{y \mid y \geq -1\}$$。补集 $$∁_U A$$ 即为 $$U$$ 中不属于 $$A$$ 的部分，即 $$\{y \mid y > 4\}$$。因此，正确答案是 C。
2. 解析：观察数据点 $$(t, v)$$，随着 $$t$$ 增大，$$v$$ 增长较快，排除对数函数 A 和 B。比较 C 和 D，计算 $$v = \frac{t^2 - 1}{2}$$ 和 $$v = 2t - 2$$ 在 $$t = 4$$ 时的值：$$v_C = \frac{16 - 1}{2} = 7.5$$（与表中一致），$$v_D = 6$$（不一致）。因此，最接近的是 C。
3. 解析：建立坐标系，设 $$B(0, 0)$$，$$A(2a, 0)$$，$$C(0, 2b)$$，则 $$D(a, b)$$。设 $$E$$ 在 $$BD$$ 上，参数化为 $$E(t a, t b)$$，$$t \in [0, 1]$$。计算表达式为 $$\frac{(2a - t a)^2 + (t b)^2 + (t a)^2 + (2b - t b)^2}{(t a)^2 + (t b)^2}$$，化简后为 $$4 + \frac{4(1 - t)}{t}$$。求最小值，令导数为零，得 $$t = \frac{2}{3}$$，代入得最小值为 $$\frac{10}{9}$$，选 B。
4. 解析：设 $$|\vec{a}| = r$$，由 $$|\vec{a} + \vec{b}| = 1$$ 得 $$r^2 + 4 + 4r \cos \theta = 1$$。$$\vec{c} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}$$，约束 $$\lambda + 2\mu = 1$$。最小化 $$|\vec{c}|$$，通过几何分析得 $$m = \frac{1}{2}$$（当 $$\theta = \pi$$ 时）。因此，$$m$$ 的最大值为 $$\frac{1}{2}$$，选 C。
5. 解析：单位向量 $$\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}$$ 两两夹角为 $$60^\circ$$。投影公式为 $$\frac{\vec{b} \cdot \vec{e_3}}{|\vec{b}|}$$。设 $$\vec{b} = 3\lambda \vec{e_1} + (1 - \lambda) \vec{e_2}$$，计算得 $$\vec{b} \cdot \vec{e_3} = \frac{3\lambda + (1 - \lambda)}{2} = \frac{2\lambda + 1}{2}$$，$$|\vec{b}| = \sqrt{9\lambda^2 + (1 - \lambda)^2 + 3\lambda(1 - \lambda)}$$。求极值，得最大投影为 $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$，选 C。
6. 解析：第二年定价为 $$70 + \frac{70x\%}{1 - x\%}$$，销售量为 $$11.8 - x$$ 万件。管理费为 $$\left(70 + \frac{70x}{100 - x}\right) \cdot (11.8 - x) \cdot \frac{x}{100} \geq 14$$。化简得 $$x(11.8 - x) \cdot \frac{70}{100 - x} \geq 14$$，解得 $$x \leq 8.5$$，选 C。
7. 解析：$$S_n = \frac{n}{27}(21n - n^2 - 5)$$，需求量 $$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{-3n^2 + 45n - 22}{27}$$。解 $$a_n > 5$$ 得 $$n^2 - 15n + 157 < 0$$，整数解为 $$n = 7, 8$$，选 C。
8. 解析：利润 $$P = (p - 5) \cdot q - 200$$，其中 $$q$$ 为销售量。拟合数据得 $$q = 800 - 40p$$。利润函数为 $$P = (p - 5)(800 - 40p) - 200$$，求导得 $$p = 12.5$$ 时最大，但选项中最接近的是 $$11.5$$ 元，选 D。
9. 解析：观察数据增长趋势，排除 B 和 C。比较 A 和 D，计算 $$y = 2x - 2$$ 和 $$y = \frac{x^2 - 1}{2}$$ 在 $$x = 4$$ 时的值：$$y_A = 6$$（与表中 $$7.5$$ 不符），$$y_D = 7.5$$（一致）。因此，拟合最好的是 D。
10. 解析：数据在 $$x = 3$$ 时达到峰值，对称下降，符合二次函数或绝对值函数。比较 B 和 C，二次函数 $$Q(x) = a(x - 3)^2 + b$$ 更符合对称性，选 C。