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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=( m^{2}-m-1 ) x^{m^{3}-1}$$是幂函数，对任意的$$x_{1}， x_{2} \in( 0，+\infty)$$且$$x_{1} \neq x_{2}，$$总有$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} > 0，$$若$$a， b \in{\bf R}， a+b < ~ 0，$$则$$f ( a )+f ( b )$$的值（）
B
A.恒大于$${{0}}$$
B.恒小于$${{0}}$$
C.等于$${{0}}$$
D.无法判断
2、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']正确率60.0%若函数$$f ( x )=( m^{2}-m-1 ) x^{m ( m-2 )-3}$$是幂函数，且其图像关于原点对称，则实数$${{m}}$$的值为（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{2}}$$或$${{−}{1}}$$
3、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']正确率60.0%若函数$$f ( x )=( a^{2}-a-1 ) x^{\frac{1} {a-3}}$$既是奇函数又是幂函数，则$${{a}{=}}$$（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{−}{1}}$$或$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
4、['五个常见幂函数的图象与性质'， '幂函数的定义']正确率60.0%幂函数的图象过点$$( 2， ~ \frac{1} {4} )$$，则它的单调递增区间是（）
B
A.$$( \mathrm{~-\infty， \ 1 ~} )$$
B.$$( \mathrm{\mathbf{~-\infty， \ 0 ~}} )$$
C.$$( \ 0， \ \ -\infty)$$
D.
正确率60.0%已知命题$${{p}}$$：函数$$f ( x )=\left( a^{2}+2 a+1 \right) x^{a^{2}+2 a-1}$$是幂函数，命题$$q_{\colon} \ a=0$$，则$${{p}}$$是$${{q}}$$的
B
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6、['函数奇偶性的应用'， '单调性的定义与证明'， '幂函数的定义']正确率40.0%函数$$f ( x )=( m^{2}-m-1 ) x^{4 m^{9}-m^{5}-1}$$是幂函数，对任意$$x_{1}， \， \， x_{2} \in( 0，+\infty)$$，且$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$，满足$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} > 0，$$若$$a， \， \， b \in R$$，且$$a+b > 0， \， \， a b < 0$$，则$$f ( a )+f ( b )$$的值$${{(}{)}}$$
A
A.恒大于$${{0}}$$
B.恒小于$${{0}}$$
C.等于$${{0}}$$
D.无法判断
7、['利用函数单调性解不等式'， '幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质'， '利用函数单调性比较大小']正确率60.0%已知点$$( 2， 8 )$$在幂函数$$f ( x ) \mathbf{=} x^{n}$$的图象上，设$$a=f \left( \frac{\sqrt{3}} {3} \right)， b=f ( \operatorname{l n} \pi)， c=f \left( \frac{\sqrt{2}} {2} \right)$$，则$${a， b， c}$$的大小关系为（）
D
A.$$b < a < c$$
B.$$a < b < c$$
C.$$b < c < a$$
D.$$a < c < b$$
8、['五个常见幂函数的图象与性质'， '幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质'， '幂函数的特征']正确率40.0%已知幂函数$$f \ ( \textbf{x} ) \ =x^{a} \ ( \textbf{a} \in R )$$的图象过点$$( ~ {\bf1 6}， ~ {\bf2} )$$，若$$f \left( \begin{matrix} {m} \\ \end{matrix} \right) \ =3$$，则实数$${{m}}$$的值为（）
D
A.$${{9}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{2}{7}}$$
D.$${{8}{1}}$$
9、['对数恒等式'， '幂函数的定义']正确率60.0%已知幂函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {\mu} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{a}$$的图象过$$( 4， \ 2 )$$，若$$f \left( \begin{matrix} {m} \\ \end{matrix} \right) \ =3$$，则$$3^{1 o g_{m} 3}$$值为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{9}}$$
10、['幂函数的定义']正确率60.0%若幂函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图像过点$$( 4， 2 )$$，则$$f ( a^{2} ) ~=~ ($$）
D
A.$${{a}}$$
B.$${{−}{a}}$$
C.$${{±}{a}}$$
D.$${{|}{a}{|}}$$
1. 解析：
函数 $$f(x) = (m^2 - m - 1)x^{m^3 - 1}$$ 是幂函数，故系数必须为 1，即 $$m^2 - m - 1 = 1$$，解得 $$m = 2$$ 或 $$m = -1$$。
由题意，函数在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递增，因此指数 $$m^3 - 1 > 0$$。代入 $$m = 2$$ 满足，而 $$m = -1$$ 不满足，故 $$m = 2$$，函数为 $$f(x) = x^7$$。
由于 $$a + b < 0$$，且 $$f(x)$$ 为奇函数且在 $$R$$ 上单调递增，故 $$f(a) + f(b) < f(-b) + f(b) = 0$$。答案为 B。
2. 解析：
函数 $$f(x) = (m^2 - m - 1)x^{m(m-2)-3}$$ 是幂函数，故 $$m^2 - m - 1 = 1$$，解得 $$m = 2$$ 或 $$m = -1$$。
图像关于原点对称，说明函数为奇函数。验证指数部分：
- 当 $$m = 2$$ 时，指数为 $$2 \times (2 - 2) - 3 = -3$$，$$f(x) = x^{-3}$$ 是奇函数。
- 当 $$m = -1$$ 时，指数为 $$-1 \times (-1 - 2) - 3 = 0$$，$$f(x) = x^0 = 1$$ 不是奇函数。
故 $$m = 2$$，答案为 A。
3. 解析：
函数 $$f(x) = (a^2 - a - 1)x^{\frac{1}{a-3}}$$ 是幂函数且为奇函数。首先系数 $$a^2 - a - 1 = 1$$，解得 $$a = 2$$ 或 $$a = -1$$。
验证奇函数条件：
- 当 $$a = 2$$ 时，指数为 $$\frac{1}{2-3} = -1$$，$$f(x) = x^{-1}$$ 是奇函数。
- 当 $$a = -1$$ 时，指数为 $$\frac{1}{-1-3} = -\frac{1}{4}$$，$$f(x) = x^{-\frac{1}{4}}$$ 不是奇函数。
故 $$a = 2$$，答案为 A。
4. 解析：
设幂函数为 $$f(x) = x^k$$，过点 $$(2, \frac{1}{4})$$，代入得 $$2^k = \frac{1}{4}$$，解得 $$k = -2$$。
函数为 $$f(x) = x^{-2}$$，其单调递增区间为 $$(-\infty, 0)$$，答案为 B。
5. 解析：
命题 $$p$$：函数 $$f(x) = (a^2 + 2a + 1)x^{a^2 + 2a - 1}$$ 是幂函数，故系数 $$a^2 + 2a + 1 = 1$$，解得 $$a = 0$$ 或 $$a = -2$$。
命题 $$q$$：$$a = 0$$。显然 $$p$$ 成立时 $$q$$ 不一定成立（如 $$a = -2$$），但 $$q$$ 成立时 $$p$$ 一定成立。故 $$p$$ 是 $$q$$ 的必要不充分条件，答案为 B。
6. 解析：
函数 $$f(x) = (m^2 - m - 1)x^{4m^9 - m^5 - 1}$$ 是幂函数，故 $$m^2 - m - 1 = 1$$，解得 $$m = 2$$ 或 $$m = -1$$。
由单调性条件，指数 $$4m^9 - m^5 - 1 > 0$$。验证 $$m = 2$$ 满足，$$m = -1$$ 不满足，故 $$m = 2$$，函数为 $$f(x) = x^{2031}$$。
由于 $$a + b > 0$$ 且 $$ab < 0$$，说明 $$a$$ 和 $$b$$ 异号且正数的绝对值较大。因 $$f(x)$$ 为奇函数且在 $$R$$ 上单调递增，故 $$f(a) + f(b) > 0$$，答案为 A。
7. 解析：
幂函数 $$f(x) = x^n$$ 过点 $$(2, 8)$$，代入得 $$2^n = 8$$，解得 $$n = 3$$。
比较 $$a = f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3$$，$$b = f(\ln \pi) = (\ln \pi)^3$$，$$c = f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3$$。
由于 $$\ln \pi > 1$$，而 $$\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$$，$$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$$，故 $$b > c > a$$，答案为 D。
8. 解析：
幂函数 $$f(x) = x^a$$ 过点 $$(16, 2)$$，代入得 $$16^a = 2$$，即 $$2^{4a} = 2$$，解得 $$a = \frac{1}{4}$$。
由 $$f(m) = 3$$，得 $$m^{\frac{1}{4}} = 3$$，解得 $$m = 81$$，答案为 D。
9. 解析：
幂函数 $$f(x) = x^a$$ 过点 $$(4, 2)$$，代入得 $$4^a = 2$$，即 $$2^{2a} = 2$$，解得 $$a = \frac{1}{2}$$。
由 $$f(m) = 3$$，得 $$\sqrt{m} = 3$$，解得 $$m = 9$$。
计算 $$3^{\log_9 3} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$，答案为 B。
10. 解析：
幂函数 $$f(x)$$ 过点 $$(4, 2)$$，设 $$f(x) = x^k$$，代入得 $$4^k = 2$$，解得 $$k = \frac{1}{2}$$。
故 $$f(a^2) = (a^2)^{\frac{1}{2}} = |a|$$，答案为 D。