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正确率60.0%已知点$$( 2， \ 8 )$$在幂函数$$f ( x )=x^{n}$$的图象上，设$$a=f \left( \frac{\sqrt{3}} {3} \right)， \， \， \， b=f ( \operatorname{l n} \pi)， \， \， \， c=f \left( \frac{\sqrt{2}} {2} \right)，$$则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系为（）
A
A.$$a < c < b$$
B.$$a < b < c$$
C.$$b < c < a$$
D.$$b < a < c$$
3、['五个常见幂函数的图象与性质'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%设函数$$f \left( x \right)=\frac{1} {x}， g \left( x \right)=a x^{2}+b x \left( a， b \in R， a \neq0 \right)$$，若$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象与$${{y}{=}{g}{{(}{x}{)}}}$$图象有且仅有两个不同的公共点$$A \left( x_{1}， y_{1} \right)， B \left( x_{2}， y_{2} \right)$$，则下列判断正确的是（）
B
A.当$${{a}{<}{0}}$$时，$$x_{1}+x_{2} < 0， y_{1}+y_{2} > 0$$< 0，{y}_{1}+{y}_{2} >$${{0}}$$
B.当$${{a}{<}{0}}$$时，$$x_{1}+x_{2} > 0， y_{1}+y_{2} < 0$$
C.当$${{a}{>}{0}}$$时，$$x_{1}+x_{2} < 0， y_{1}+y_{2} < 0$$
D.当$${{a}{>}{0}}$$时，$$x_{1}+x_{2} > 0， y_{1}+y_{2} > 0$$
4、['对数（型）函数的单调性'， '绝对值不等式的解法'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '函数单调性的应用']正确率40.0%已知非零实数$${{a}{，}{b}}$$满足$$a | a | > b | b |$$，则下列不等式一定成立的是（）
A
A.$${{a}^{3}{>}{{b}^{3}}}$$
B.$${{a}^{2}{>}{{b}^{2}}}$$
C.$$\frac{1} {a} < \frac{1} {b}$$
D.$$\operatorname{l o g} \frac1 2 | a | < \operatorname{l o g} \frac1 2 | b |$$
5、['五个常见幂函数的图象与性质'， '函数求解析式'， '幂函数的特征']正确率60.0%已知幂函数$$y=f ( x )$$的图象过点$$( 2， \sqrt2 )$$，则该函数的解所式为$${{(}{)}}$$
A
A.$$y=x^{\frac{1} {2}}， x \geqslant0$$
B.$$y=2 x^{-\frac{1} {2}}， x \geq0$$
C.$$y=x^{-\frac{1} {2}}， x \geq0$$
D.$$y=\frac{1} {2} x^{-\frac{1} {2}}， x \geqslant0$$
6、['函数奇、偶性的证明'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '函数单调性的判断']正确率60.0%下列函数中，既是偶函数又在$$( 0，+\infty)$$上是递减的函数是$${{(}{)}}$$
A
A.$$y=\!-\! x^{2} \!+\! 1$$
B.$${{y}{=}{{x}^{3}}}$$
C.$$y=| x |+1$$
D.$${{y}{=}{\sqrt {x}}}$$
7、['平均变化率与函数的单调性'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '幂函数的定义']正确率40.0%已知幂函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象经过点$$\left( \frac{1} {8}， \frac{\sqrt{2}} {4} \right)， ~ P \left( x_{1}， y_{1} \right)， ~ Q \left( x_{2}， y_{2} \right)$$$$( x_{1} < x_{2} )$$是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：
$$\oplus\ x_{1} f ( x_{1} ) > x_{2} f ( x_{2} )， \ \oplus\ x_{1} f ( x_{1} ) < x_{2} f ( x_{2} )， \ \oplus\ {\frac{f ( x_{1} )} {x_{1}}} > {\frac{f ( x_{2} )} {x_{2}}}， \ \oplus\ {\frac{f ( x_{1} )} {x_{1}}} < {\frac{f ( x_{2} )} {x_{2}}}$$．< {{x}_{2}}f({{x}_{2}})；③ dfrac{f({{x}_{1}})}{{{x}_{1}}} >$$\frac{f ( x_{2} )} {x_{2}}， ~ \oplus\frac{f ( x_{1} )} {x_{1}} < \frac{f ( x_{2} )} {x_{2}}.$$
其中正确结论的序号是
D
A.$${①{②}}$$
B.$${①{③}}$$
C.$${②{④}}$$
D.$${②{③}}$$
8、['单调函数的运算性质'， '函数奇、偶性的定义'， '五个常见幂函数的图象与性质']正确率60.0%设函数$$f ( x )=x^{3}-\frac{1} {x^{3}}$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$（）
A
A.是奇函数，且在$${{(}{0}}$$，$${{+}{∞}{)}}$$单调递增
B.是奇函数，且在$${{(}{0}}$$，$${{+}{∞}}$$)单调递减
C.是偶函数，且在$${{(}{0}}$$，$${{+}{∞}{)}}$$单调递增
D.是偶函数，且在$${{(}{0}}$$，$${{+}{∞}}$$)单调递减
9、['指数方程与指数不等式的解法'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '函数零点的值或范围问题']正确率40.0%方程$${{x}^{3}{=}{{2}^{x}}}$$的根所在的区间是$${{(}{)}}$$
B
A.$$( 0， 1 )$$
B.$$( 1， 2 )$$
C.$$( 2， 3 )$$
D.$$( 3， 4 )$$
10、['五个常见幂函数的图象与性质'， '幂函数的定义']正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=~ ( \begin{matrix} {3 m^{2}-2 m} \\ \end{matrix} ) ~ x^{m}$$是幂函数，若$${{f}{（}{x}{）}}$$为增函数，则$${{m}}$$等于（）
C
A.$$- \frac{1} {3}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$$- \frac{1} {3}$$或$${{1}}$$
第2题解析：
已知点$$(2, 8)$$在幂函数$$f(x) = x^n$$上，代入得$$2^n = 8$$，解得$$n = 3$$。因此$$f(x) = x^3$$。
计算$$a, b, c$$的值：
$$a = f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{3\sqrt{3}}{27} = \frac{\sqrt{3}}{9} \approx 0.192$$；
$$b = f(\ln \pi) = (\ln \pi)^3 \approx (1.144)^3 \approx 1.497$$；
$$c = f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{2\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{4} \approx 0.354$$。
比较得$$a < c < b$$，故选A。
第3题解析：
联立方程$$\frac{1}{x} = ax^2 + bx$$，整理得$$ax^3 + bx^2 - 1 = 0$$。
设$$h(x) = ax^3 + bx^2 - 1$$，其图像与$$x$$轴有两个交点，说明$$h(x)$$有一个二重根和一个单根。
当$$a < 0$$时，函数$$h(x)$$在$$x \to -\infty$$时趋向$$+\infty$$，在$$x \to +\infty$$时趋向$$-\infty$$。设二重根为$$x_0$$，则$$h(x_0) = h'(x_0) = 0$$。
解得$$x_0 = -\frac{2b}{3a}$$，代入得$$b^3 = -\frac{27a^2}{4}$$。
此时，单根$$x_1 = \frac{b}{a}$$，因此$$x_1 + x_2 = \frac{b}{a} + 2x_0 = \frac{b}{a} - \frac{4b}{3a} = -\frac{b}{3a} > 0$$（因为$$a < 0$$且$$b^3 < 0$$）。
又$$y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{a}{b} + \frac{2a}{b} = \frac{3a}{b} < 0$$（因为$$a < 0$$且$$b < 0$$）。
故当$$a < 0$$时，$$x_1 + x_2 > 0$$且$$y_1 + y_2 < 0$$，选B。
第4题解析：
由$$a|a| > b|b|$$，分情况讨论：
1. 若$$a > 0$$且$$b > 0$$，则$$a^2 > b^2$$，即$$a > b$$，故$$a^3 > b^3$$；
2. 若$$a > 0$$且$$b < 0$$，显然$$a^3 > b^3$$；
3. 若$$a < 0$$且$$b < 0$$，则$$-a^2 > -b^2$$，即$$a^2 < b^2$$，但$$|a| < |b|$$，故$$a > b$$（负数的绝对值越小越大），因此$$a^3 > b^3$$。
综上，$$a^3 > b^3$$恒成立，选A。
第5题解析：
设幂函数$$y = f(x) = x^k$$，过点$$(2, \sqrt{2})$$，代入得$$2^k = \sqrt{2}$$，解得$$k = \frac{1}{2}$$。
因此解析式为$$y = x^{\frac{1}{2}}$$，定义域为$$x \geq 0$$，选A。
第6题解析：
A选项$$y = -x^2 + 1$$是偶函数，且在$$(0, +\infty)$$上递减；
B选项$$y = x^3$$是奇函数；
C选项$$y = |x| + 1$$是偶函数，但在$$(0, +\infty)$$上递增；
D选项$$y = \sqrt{x}$$非偶函数。
故选A。
第7题解析：
设幂函数$$f(x) = x^k$$，过点$$\left(\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$，代入得$$\left(\frac{1}{8}\right)^k = \frac{\sqrt{2}}{4}$$，解得$$k = \frac{1}{2}$$。
因此$$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$$，$$x f(x) = x^{\frac{3}{2}}$$为增函数，故$$x_1 f(x_1) < x_2 f(x_2)$$（②正确）；
$$\frac{f(x_1)}{x_1} = x_1^{-\frac{1}{2}}$$为减函数，故$$\frac{f(x_1)}{x_1} > \frac{f(x_2)}{x_2}$$（③正确）。
故选D。
第8题解析：
函数$$f(x) = x^3 - \frac{1}{x^3}$$，满足$$f(-x) = -f(x)$$，为奇函数。
求导得$$f'(x) = 3x^2 + \frac{3}{x^4} > 0$$，故在$$(0, +\infty)$$上单调递增。
故选A。
第9题解析：
设$$h(x) = x^3 - 2^x$$，计算：
$$h(1) = 1 - 2 = -1$$，$$h(2) = 8 - 4 = 4$$，$$h(3) = 27 - 8 = 19$$，$$h(4) = 64 - 16 = 48$$。
由于$$h(1) < 0$$且$$h(2) > 0$$，根在区间$$(1, 2)$$内，选B。
第10题解析：
幂函数$$f(x) = (3m^2 - 2m) x^m$$，系数$$3m^2 - 2m = 1$$，解得$$m = 1$$或$$m = -\frac{1}{3}$$。
若$$f(x)$$为增函数，需$$m > 0$$，故$$m = 1$$，选C。