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正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{x}^{a}}}$$的图像过点$${{(}{4}{，}{2}{)}{，}}$$令$$a_{n}=\frac{1} {f ( n+1 )+f ( n )}， n \in{\bf N}^{*}，$$记数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$则$$S_{2 0 2 1}=$$（）
D
A.$${\sqrt {{2}{0}{2}{1}}{−}{1}}$$
B.$${\sqrt {{2}{0}{2}{1}}}$$
C.$${\sqrt {{2}{0}{2}{2}}}$$
D.$${\sqrt {{2}{0}{2}{2}}{−}{1}}$$
2、['函数的最大(小)值'， '幂函数的定义']正确率60.0%若幂函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象过点$${{(}{2}{，}{\sqrt {2}}{)}{，}}$$则函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}{+}{1}{−}{x}}$$的最大值为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{5} {4}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{7} {3}$$
3、['五个常见幂函数的图象与性质'， '幂函数的定义']正确率60.0%函数$$f ( x )=( m^{2}-3 m-3 ) x^{\frac{1 0} {m+1}}$$为幂函数，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$为 （）
B
A.奇函数
B.偶函数
C.增函数
D.减函数
4、['充分、必要条件的判定'， '幂函数的定义']正确率60.0%$${{“}{b}{=}{2}{”}}$$是$${{“}}$$函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{(}{2}{{b}^{2}}{−}{3}{b}{−}{1}{)}}{{x}^{a}}{(}{a}}$$为常数）为幂函数$${{”}}$$的（）
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
5、['幂函数的定义'， '幂函数的特征']正确率60.0%幂函数$${{y}{=}{k}{{x}^{a}}}$$过点$${（{4}{，}{2}{）}}$$，则$${{k}{−}{a}}$$的值为（）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
6、['对数恒等式'， '幂函数的定义']正确率60.0%已知幂函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{x}^{a}}}$$的图象过$${（{4}{，}{2}{）}}$$，若$${{f}{（}{m}{）}{=}{3}}$$，则$$3^{1 o g_{m} 3}$$值为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{9}}$$
7、['幂函数的定义']正确率60.0%下列选项中哪一个函数是幂函数
A
A.$${{y}{=}{{x}^{2}}}$$
B.$${{y}{=}{x}{+}{1}}$$
C.$${{y}{=}{{3}^{x}}}$$
D.$${{y}{=}{{3}^{x}}{−}{1}}$$
8、['对数（型）函数过定点'， '函数求值'， '幂函数的定义']正确率60.0%函数$$y=\operatorname{l o g}_{a} ~ ( 2 x-3 ) ~+\frac{\sqrt{2}} {2}$$的图象恒过定点$${{P}{，}{P}}$$在幂函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象上，则$${{f}{（}{9}{）}{=}}$$（）
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{9}}$$
9、['函数求解析式'， '幂函数的定义']正确率60.0%已知幂函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象经过点$${{(}{3}{，}{{2}{7}}{)}}$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的解析式$${{f}{(}{x}{)}{=}{(}{)}}$$
A
A.$${{x}^{3}}$$
B.$${{3}^{x}}$$
C.$${{9}{x}}$$
D.$${{l}{o}{g}_{3}{x}}$$
10、['指数函数的定义'， '函数求解析式'， '幂函数的定义']正确率60.0%已知幂函数$$g ~ ( \textit{} \mathrm{\ensuremath{~}} \mathrm{\ensuremath{~}} \mathrm{\ensuremath{~}} \mathrm{\ensuremath{~} \left( \vphantom{~} 2 a-1 \right) ~ x^{a+1}}$$的图象过函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=m^{x-b}-\frac{1} {2} \left( \begin{matrix} {m} \\ \end{matrix} \right) > 0$$，且$${{m}{≠}{1}{）}}$$的图象所经过的定点，则$${{b}}$$的值等于（）
B
A.$$\pm\frac{1} {2}$$
B.$$\pm\frac{\sqrt{2}} {2}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{±}{2}}$$
1. 首先确定幂函数$$f(x) = x^a$$的指数$$a$$。由于图像过点$$(4, 2)$$，代入得$$4^a = 2$$，解得$$a = \frac{1}{2}$$。因此$$f(x) = \sqrt{x}$$。
2. 幂函数$$f(x) = x^a$$过点$$(2, \sqrt{2})$$，代入得$$2^a = \sqrt{2}$$，解得$$a = \frac{1}{2}$$。函数$$y = \sqrt{x} + 1 - x$$在$$x \geq 0$$时求最大值。求导得$$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$$，令导数为0，解得$$x = \frac{1}{4}$$。代入得$$y_{\text{max}} = \frac{5}{4}$$，故选B。
4. 幂函数要求系数$$2b^2 - 3b - 1 = 1$$，解得$$b = 2$$或$$b = -\frac{1}{2}$$。因此$$b=2$$是充分不必要条件，选A。
6. 幂函数$$f(x) = x^a$$过点$$(4, 2)$$，解得$$a = \frac{1}{2}$$。由$$f(m) = 3$$得$$\sqrt{m} = 3$$，即$$m = 9$$。所求值为$$3^{\log_9 3} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$，选B。
8. 对数函数定点$$P$$为$$(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$$（令$$2x-3=1$$得$$x=2$$）。设幂函数$$f(x) = x^a$$，代入$$P$$得$$2^a = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，解得$$a = -\frac{1}{2}$$。因此$$f(9) = 9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$$，选A。
10. 幂函数$$g(x) = (2a-1)x^{a+1}$$为幂函数，要求$$2a-1=1$$，解得$$a=1$$。因此$$g(x) = x^2$$。函数$$f(x) = m^{x-b} - \frac{1}{2}$$的定点为$$(b, -\frac{1}{2})$$，代入$$g(x)$$得$$b^2 = -\frac{1}{2}$$无解。若题目描述有误，可能$$g(x)$$为$$x^{a+1}$$，则定点$$(b, -\frac{1}{2})$$在$$g(x)$$上要求$$b^{a+1} = -\frac{1}{2}$$，无实数解。可能答案为D（题目描述不明确）。
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