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正确率60.0%设$${{n}{∈}{{\{}{{−}{2}{，}{−}{1}{，}{{\frac{1}{3}}}{，}{{\frac{1}{2}}}{，}{1}{，}{3}}{\}}}{，}}$$则使$${{y}{=}{{x}^{n}}}$$的定义域为$${{R}}$$且为奇函数的$${{n}}$$的值有（）
B
A.$${{2}}$$个
B.$${{3}}$$个
C.$${{4}}$$个
D.$${{5}}$$个
2、['一般幂函数的图象和性质']正确率40.0%若幂函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象经过点$${{(}{\sqrt {2}}{，}{{\frac{1}{2}}}{)}{，}}$$则下列说法正确的是（）
D
A.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$上单调递增
B.方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{4}}$$的实根为$${{x}{=}{±}{2}}$$
C.$${{f}{(}{x}{)}}$$的值域为$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
D.$${{f}{(}{x}{)}}$$为偶函数
4、['函数单调性的判断'， '函数求解析式'， '一般幂函数的图象和性质'， '利用函数单调性比较大小']正确率40.0%已知点$${（{m}{，}{8}{）}}$$在幂函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{（}{m}{−}{1}{）}{{x}^{n}}}$$的图象上，设$${{a}{=}{f}{(}{{\frac^{\sqrt {3}}{3}}}{)}{，}{b}{=}{f}{(}{{l}{n}{π}}{)}{，}{c}{=}{f}{(}{{\frac^{\sqrt {2}}{2}}}{)}}$$，则$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$的大小关系为（）
A
A.$${{a}{<}{c}{<}{b}}$$
B.$${{a}{<}{b}{<}{c}}$$
C.$${{b}{<}{c}{<}{a}}$$
D.$${{b}{<}{a}{<}{c}}$$
5、['五个常见幂函数的图象与性质'， '一般幂函数的图象和性质']正确率60.0%幂函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{(}{{m}^{2}}{−}{6}{m}{+}{9}{)}{{x}{{m}^{2}{−}{3}{m}{+}{1}}}}$$在$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$上单调递增，则$${{m}}$$的值为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{2}}$$或$${{4}}$$
6、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']正确率40.0%已知幂函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{x}^{a}}}$$的图象经过函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{{m}{{x}{−}{2}}}{−}{{\frac{1}{2}}}{（}{m}{>}{0}}$$且$${{m}{≠}{1}{）}}$$的图象所过的定点，则$${{f}{（}{{\frac{1}{3}}}{）}}$$的值等于（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{9}}$$
7、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '幂指对综合比较大小'， '一般幂函数的图象和性质'， '余弦（型）函数的单调性']正确率40.0%下列不等式成立的是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{1}{.}{8}{{−}{{2}{.}{1}}}{<}{{1}{.}{7}{{−}{{2}{.}{1}}}}}$$
B.$${{l}{o}{g}{{0}{.}{5}}{{1}{.}{7}}{<}{{l}{o}{g}{{0}{.}{5}}}{{1}{.}{8}}}$$
C.$${{2}{.}{1}{{−}{{1}{.}{7}}}{<}{{2}{.}{1}{{−}{{1}{.}{8}}}}}$$
D.$${{c}{o}{s}{4}{<}{{c}{o}{s}}{3}}$$
8、['复合函数的单调性判定'， '指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '一般幂函数的图象和性质'， '函数单调性的应用']正确率60.0%下列函数$${①{y}{=}{{2}^{x}}{；}{②}{y}{=}{l}{o}{{g}{{0}{.}{5}}}{（}{x}{+}{1}{）}{；}{③}{y}{=}{\sqrt {x}}{；}{④}{y}{=}{|}{x}{−}{1}{|}}$$，其中在区间$${（{0}{，}{1}{）}}$$上单调递减的函数的序号是（）
D
A.$${①{③}}$$
B.$${②{③}}$$
C.$${①{④}}$$
D.$${②{④}}$$
9、['分段函数与方程、不等式问题'， '指数方程与指数不等式的解法'， '一般幂函数的图象和性质']正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{\{}{{^{{2}{{−}{x}}{−}{1}{，}{x}{⩽}{0}}_{{x}{{\frac{1}{2}}}{，}{x}{≻}{0}}}}}$$，则满足$${{f}{(}{x}{)}{>}{1}}$$的$${{x}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{(}{−}{1}{，}{1}{)}}$$
B.$${{(}{−}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{\{}{x}{^{_{∣}_{∣}}{x}{>}{0}{，}{或}{x}{<}{−}{2}}{\}}}$$
D.$${{\{}{x}{^{_{∣}_{∣}}{x}{>}{1}{，}{或}{x}{<}{−}{1}}{\}}}$$
10、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']正确率60.0%设幂函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{(}{{a}^{2}}{−}{3}{a}{+}{3}{)}{{x}{{a}^{2}{−}{a}{−}{1}}}}$$的图象不过原点，则$${{(}{)}}$$
B
A.$${{−}{1}{⩽}{a}{⩽}{2}}$$
B.$${{a}{=}{1}}$$
C.$${{a}{=}{2}}$$
D.$${{a}{=}{1}}$$或$${{a}{=}{2}}$$
1. 要使函数 $$y = x^n$$ 的定义域为 $$R$$ 且为奇函数，需要满足以下条件：
（1）定义域为 $$R$$：$$n$$ 必须为正整数或分母为奇数的正分数。
（2）奇函数：$$n$$ 必须为奇数或分母为奇数的分数。
在给定集合 $$\{-2, -1, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1, 3\}$$ 中，满足条件的 $$n$$ 为 $$1$$ 和 $$3$$，共 $$2$$ 个。
答案：A
2. 设幂函数为 $$f(x) = x^k$$，代入点 $$(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$$ 得：
$$(\sqrt{2})^k = \frac{1}{2} \Rightarrow 2^{k/2} = 2^{-1} \Rightarrow k = -2$$。
因此，$$f(x) = x^{-2}$$。
A：$$f(x)$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 单调递减，错误。
B：$$f(x) = 4 \Rightarrow x^{-2} = 4 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$$，错误。
C：$$f(x)$$ 的值域为 $$(0, +\infty)$$，错误。
D：$$f(-x) = (-x)^{-2} = x^{-2} = f(x)$$，为偶函数，正确。
答案：D
4. 由题意，$$f(x) = (m-1)x^n$$ 是幂函数，故 $$m-1=1 \Rightarrow m=2$$。
代入点 $$(m, 8)$$ 得 $$f(2) = 2^n = 8 \Rightarrow n=3$$，即 $$f(x) = x^3$$。
比较 $$a = f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3$$，$$b = f(\ln \pi) = (\ln \pi)^3$$，$$c = f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3$$。
由于 $$\ln \pi > 1$$，而 $$\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$$，$$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$$，故 $$a < c < b$$。
答案：A
5. 幂函数 $$f(x) = (m^2-6m+9)x^{m^2-3m+1}$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递增，需满足：
（1）系数 $$m^2-6m+9 = (m-3)^2 > 0 \Rightarrow m \neq 3$$。
（2）指数 $$m^2-3m+1 > 0$$，解得 $$m < \frac{3-\sqrt{5}}{2}$$ 或 $$m > \frac{3+\sqrt{5}}{2}$$。
结合选项，$$m=4$$ 满足条件。
答案：C
6. 函数 $$g(x) = m^{x-2} - \frac{1}{2}$$ 的定点为 $$(2, -\frac{1}{2})$$，因为 $$m^0 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ 不匹配，需重新计算。
实际上，定点应为 $$(2, g(2)) = (2, m^0 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2})$$。
幂函数 $$f(x) = x^a$$ 经过点 $$(2, \frac{1}{2})$$，故 $$2^a = \frac{1}{2} \Rightarrow a = -1$$。
因此，$$f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3$$。
答案：B
7. 分析各选项：
A：$$1.8^{-2.1} < 1.7^{-2.1}$$，因为 $$1.8 > 1.7$$ 且指数为负，错误。
B：$$\log_{0.5} 1.7 < \log_{0.5} 1.8$$，因为对数函数底数为 $$0.5 < 1$$ 时单调递减，正确。
C：$$2.1^{-1.7} < 2.1^{-1.8}$$，因为 $$2.1 > 1$$ 且指数减小，函数值增大，错误。
D：$$\cos 4 < \cos 3$$，因为 $$4$$ 和 $$3$$ 弧度均在第二象限，且 $$4$$ 更接近 $$\pi$$，$$\cos 4$$ 更小，正确。
但题目要求单选，可能为 B 或 D，需进一步确认。
答案：B
8. 分析各函数在 $$(0, 1)$$ 上的单调性：
① $$y = 2^x$$：单调递增。
② $$y = \log_{0.5}(x+1)$$：底数为 $$0.5 < 1$$，单调递减。
③ $$y = \sqrt{x}$$：单调递增。
④ $$y = |x-1|$$：在 $$(0, 1)$$ 上单调递减。
因此，②和④符合条件。
答案：D
9. 解不等式 $$f(x) > 1$$：
（1）当 $$x \leq 0$$ 时，$$2^{-x} - 1 > 1 \Rightarrow 2^{-x} > 2 \Rightarrow -x > 1 \Rightarrow x < -1$$。
（2）当 $$x > 0$$ 时，$$x^{\frac{1}{2}} > 1 \Rightarrow x > 1$$。
综上，$$x < -1$$ 或 $$x > 1$$。
答案：D
10. 幂函数 $$f(x) = (a^2-3a+3)x^{a^2-a-1}$$ 的图象不过原点，需满足：
（1）系数 $$a^2-3a+3 \neq 0$$（恒成立，因为判别式 $$9-12 < 0$$）。
（2）指数 $$a^2-a-1 \leq 0$$，解得 $$\frac{1-\sqrt{5}}{2} \leq a \leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$。
结合选项，$$a=1$$ 或 $$a=2$$ 满足条件。
答案：D