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正确率60.0%已知幂函数$$f ( x )=(-2 m^{2}+m+2 ) x^{m+1}$$为偶函数，若函数$$g ( x )=f ( x )-4 ( a-1 ) x$$在区间$$( 2， ~ 4 )$$上为单调函数，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
B
A.$$(-\infty， \; 2 ]$$
B.$$(-\infty， ~ 2 ] \cup[ 3， ~+\infty)$$
C.$$[ 2， \ 3 ]$$
D.$$(-1， ~ 2 ] \cup[ 3， ~ 6 )$$
2、['函数的最大(小)值'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '幂函数的定义'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%若幂函数$$y=f ( x )$$的图象过点$$( 8， 2 \sqrt{2} )$$，则函数$$f \left( x-1 \right)-f^{2} \left( x \right)$$的最大值为（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$${{−}{1}}$$
3、['函数求值域'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '幂函数的定义']正确率60.0%已知幂函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象过点$$( 2， \sqrt{2} ) \;，$$则函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的值域为（）
C
A.$${{R}}$$
B.$$( 0，+\infty)$$
C.$$[ 0，+\infty)$$
D.$$(-\infty， 0 ) \cup( 0，+\infty)$$
4、['利用函数单调性解不等式'， '幂函数的定义']正确率60.0%若幂函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象过点$$( \ 1 6， \ 8 )$$，则$$f \left( \begin{array} {c} {x} \\ \end{array} \right) < f \left( \begin{array} {c} {x^{2}} \\ \end{array} \right)$$的解集为（）
D
A.$$( \mathbf{\alpha}-\infty， \ \mathbf{0} ) \cup\mathbf{\alpha} ( \mathbf{1}， \ +\infty)$$
B.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$
C.$$( \mathrm{\mathbf{~-\infty， \ 0 ~}} )$$
D.$$( 1， ~+\infty)$$
5、['对数（型）函数过定点'， '幂函数的定义']正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=l o g_{a} \ ( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \begin{matrix} {\sqrt{2}+1} \\ \end{matrix} ) \ +2 \sqrt{2} \ ( \begin{matrix} {a} \\ {\cdot a} \\ \end{matrix} > 0， \begin{matrix} {a \neq1} \\ \end{matrix} )$$的图象经过定点$${{P}}$$，且点$${{P}}$$在幂函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象上，则$${{g}{（}{x}{）}}$$的表达式为（）
C
A.$$g \ ( \textbf{x} ) \ =x^{2}$$
B.$$g ( x )=\frac{1} {x}$$
C.$$g \ ( \textbf{x} ) \ =x^{3}$$
D.$$g ( x )=x^{\frac{1} {2}}$$
6、['幂函数的定义']正确率60.0%已知幂函数$$f \left( x \right)=k x^{\alpha} \left( k \in R， \alpha\in R \right)$$的图象过点$$\left( \frac1 2， \sqrt{2} \right)，$$则$$k+\alpha=( \textit{} )$$
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{2}}$$
7、['幂函数的定义']正确率60.0%已知幂函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {\mu} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{a}$$的图象经过$$( 2， \ \sqrt{2} )$$，则$$f ( 4 ) ~=~ ($$）
B
A.$${{±}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{8}}$$
8、['幂函数的定义']正确率60.0%已知幂函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{x}^{α}}}$$图像经过经过点$$( 2， \frac{1} {1 6} )$$，则指数$${{α}}$$的值为（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$- \frac{1} {4}$$
9、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']正确率60.0%若函数$$f ( x )=( m^{2}-6 m+9 ) x^{m^{2}-3 m+1}$$是幂函数且为奇函数，则$${{m}}$$的值为（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{2}}$$或$${{4}}$$
10、['五个常见幂函数的图象与性质'， '幂函数的定义']正确率60.0%若幂函数$$f ( x )=x^{a^{2}-1 0 a+2 3} ( a \in{\bf Z} )$$为偶函数，且$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$${{(}{0}}$$，$${{+}{∞}{)}}$$上单调递减，则$${{a}{=}}$$（）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
1. 首先确定幂函数 $$f(x) = (-2m^2 + m + 2)x^{m+1}$$ 为偶函数的条件。偶函数满足 $$f(-x) = f(x)$$，因此指数 $$m+1$$ 必须为偶数，且系数 $$-2m^2 + m + 2 \neq 0$$。解得 $$m = 1$$（因为 $$m+1=2$$ 是偶数，且系数为 $$-2(1)^2 + 1 + 2 = 1 \neq 0$$）。因此 $$f(x) = x^2$$。
函数 $$g(x) = f(x) - 4(a-1)x = x^2 - 4(a-1)x$$ 在区间 $$(2, 4)$$ 上单调，需要其导数 $$g'(x) = 2x - 4(a-1)$$ 在该区间内恒非正或恒非负。
- 若单调递增，则 $$g'(x) \geq 0$$ 对所有 $$x \in (2, 4)$$ 成立，即 $$2x - 4(a-1) \geq 0$$，得 $$a \leq \frac{x}{2} + 1$$。由于 $$x \in (2, 4)$$，最小值为 $$a \leq 2$$。
- 若单调递减，则 $$g'(x) \leq 0$$ 对所有 $$x \in (2, 4)$$ 成立，即 $$2x - 4(a-1) \leq 0$$，得 $$a \geq \frac{x}{2} + 1$$。由于 $$x \in (2, 4)$$，最大值为 $$a \geq 3$$。
综上，$$a \leq 2$$ 或 $$a \geq 3$$，答案为 B。
2. 设幂函数 $$y = f(x) = x^\alpha$$，过点 $$(8, 2\sqrt{2})$$，代入得 $$8^\alpha = 2\sqrt{2}$$。将 $$8$$ 和 $$2\sqrt{2}$$ 表示为 2 的幂次：$$2^{3\alpha} = 2^{3/2}$$，解得 $$\alpha = \frac{1}{2}$$。因此 $$f(x) = \sqrt{x}$$。
函数 $$f(x-1) - f^2(x) = \sqrt{x-1} - x$$，定义域为 $$x \geq 1$$。求导得 $$\frac{1}{2\sqrt{x-1}} - 1$$，令导数为 0，解得 $$x = \frac{5}{4}$$。代入得最大值为 $$\sqrt{\frac{5}{4}-1} - \frac{5}{4} = \frac{1}{2} - \frac{5}{4} = -\frac{3}{4}$$，答案为 C。
3. 设幂函数 $$f(x) = x^\alpha$$，过点 $$(2, \sqrt{2})$$，代入得 $$2^\alpha = \sqrt{2}$$，解得 $$\alpha = \frac{1}{2}$$。因此 $$f(x) = \sqrt{x}$$，其值域为 $$[0, +\infty)$$，答案为 C。
4. 设幂函数 $$f(x) = x^\alpha$$，过点 $$(16, 8)$$，代入得 $$16^\alpha = 8$$，将 $$16$$ 和 $$8$$ 表示为 2 的幂次：$$2^{4\alpha} = 2^3$$，解得 $$\alpha = \frac{3}{4}$$。因此 $$f(x) = x^{3/4}$$。
解不等式 $$f(x) < f(x^2)$$，即 $$x^{3/4} < (x^2)^{3/4}$$，化简得 $$x^{3/4} < x^{3/2}$$。由于 $$x > 0$$，两边除以 $$x^{3/4}$$ 得 $$1 < x^{3/4}$$，即 $$x > 1$$。答案为 D。
5. 函数 $$f(x) = \log_a (x^{\sqrt{2}+1}) + 2\sqrt{2}$$ 的图象经过定点 $$P$$，当 $$x = 1$$ 时，$$f(1) = \log_a 1 + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$，因此 $$P(1, 2\sqrt{2})$$。
设幂函数 $$g(x) = x^\beta$$，过点 $$P$$，代入得 $$1^\beta = 2\sqrt{2}$$，显然不成立。重新检查题目描述，可能是 $$f(x) = \log_a (x + \sqrt{2} + 1) + 2\sqrt{2}$$，则当 $$x = -\sqrt{2}$$ 时，$$f(-\sqrt{2}) = \log_a 1 + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$，此时 $$P(-\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$$。但幂函数定义域限制，无解。题目可能有误，暂不解析。
6. 设幂函数 $$f(x) = kx^\alpha$$，过点 $$\left(\frac{1}{2}, \sqrt{2}\right)$$，代入得 $$k \left(\frac{1}{2}\right)^\alpha = \sqrt{2}$$。题目未给出其他条件，无法唯一确定 $$k$$ 和 $$\alpha$$，可能遗漏条件。
7. 设幂函数 $$f(x) = x^\alpha$$，过点 $$(2, \sqrt{2})$$，代入得 $$2^\alpha = \sqrt{2}$$，解得 $$\alpha = \frac{1}{2}$$。因此 $$f(4) = 4^{1/2} = 2$$，答案为 B。
8. 设幂函数 $$f(x) = x^\alpha$$，过点 $$\left(2, \frac{1}{16}\right)$$，代入得 $$2^\alpha = \frac{1}{16}$$，解得 $$\alpha = -4$$，答案为 B。
9. 函数 $$f(x) = (m^2 - 6m + 9)x^{m^2 - 3m + 1}$$ 是幂函数且为奇函数。幂函数要求系数为 1，即 $$m^2 - 6m + 9 = 1$$，解得 $$m = 2$$ 或 $$m = 4$$。
奇函数要求指数 $$m^2 - 3m + 1$$ 为奇数：
- 当 $$m = 2$$ 时，指数为 $$4 - 6 + 1 = -1$$（奇数）。
- 当 $$m = 4$$ 时，指数为 $$16 - 12 + 1 = 5$$（奇数）。
因此 $$m = 2$$ 或 $$4$$，答案为 D。
10. 幂函数 $$f(x) = x^{a^2 - 10a + 23}$$ 为偶函数，且 $$a \in \mathbb{Z}$$。偶函数要求指数 $$a^2 - 10a + 23$$ 为偶数。
在区间 $$(0, +\infty)$$ 上单调递减，要求指数为负数。解不等式 $$a^2 - 10a + 23 < 0$$，得 $$5 - \sqrt{2} < a < 5 + \sqrt{2}$$，即 $$a = 4, 5, 6$$。
验证指数为偶数：
- 当 $$a = 4$$ 时，指数为 $$16 - 40 + 23 = -1$$（奇数，不符合）。
- 当 $$a = 5$$ 时，指数为 $$25 - 50 + 23 = -2$$（偶数，符合）。
- 当 $$a = 6$$ 时，指数为 $$36 - 60 + 23 = -1$$（奇数，不符合）。
因此 $$a = 5$$，答案为 C。