五个常见幂函数的图象与性质-3.3 幂函数知识点教师选题基础自测题解析-新疆维吾尔自治区等高一数学必修,平均正确率62.0%

1、['五个常见幂函数的图象与性质'， '一般幂函数的图象和性质'， '幂函数的特征']

正确率80.0%已知幂函数$$f ( x )=x^{-\frac{1} {2}}，$$则下列结论正确的是（）

A.$$y=f ( x )$$的定义域为$$[ 0， ~+\infty)$$

B.$$y=f ( x )$$在定义域上为减函数

C.$$y=f ( x )$$是偶函数

D.$$y=f ( x )$$是奇函数

2、['指数（型）函数的单调性'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '利用函数单调性比较大小']

正确率60.0%若$$2^{x}-2^{y} < 3^{-x}-3^{-y}，$$则（）

A.$${{y}^{2}{>}{{x}^{2}}}$$

B.$$\frac{x} {y} < 1$$

C.$${{x}^{3}{>}{{y}^{3}}}$$

D.$$\left( \frac{1} {2} \right)^{y} < 2^{-x}$$

4、['五个常见幂函数的图象与性质'， '利用函数单调性比较大小'， '幂函数的特征']

正确率60.0%已知点$$( 2， \ 8 )$$在幂函数$$f ( x )=x^{n}$$的图象上，设$$a=f \left( \frac{\sqrt{3}} {3} \right)， \， \， \， b=f ( \operatorname{l n} \pi)， \， \， \， c=f \left( \frac{\sqrt{2}} {2} \right)，$$则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系为（）

A.$$a < c < b$$

B.$$a < b < c$$

C.$$b < c < a$$

D.$$b < a < c$$

5、['对数（型）函数的单调性'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '不等式的性质']

正确率40.0%若$$\frac{1} {a} > \frac{1} {b} > 0，$$有四个不等式：$$①$$，则下列组合中全部正确的为（）

A.$${①{②}}$$

B.$${①{③}}$$

C.$${②{③}}$$

D.$${①{④}}$$

6、['五个常见幂函数的图象与性质'， '不等式比较大小'， '不等式的性质']

正确率60.0%已知$$a_{\i} \， \， b \in R$$且$${{a}{>}{b}}$$，则下列不等关系正确的是（）

A.$${{a}^{2}{>}{{b}^{2}}}$$

B.$$| a | < | b |$$

C.$$\frac{a} {b} > 1$$

D.$${{a}^{3}{>}{{b}^{3}}}$$

7、['五个常见幂函数的图象与性质'， '函数求解析式'， '幂函数的特征']

正确率60.0%已知幂函数$$y=f ( x )$$的图象过点$$( 2， \sqrt2 )$$，则该函数的解所式为$${{(}{)}}$$

A.$$y=x^{\frac{1} {2}}， x \geqslant0$$

B.$$y=2 x^{-\frac{1} {2}}， x \geq0$$

C.$$y=x^{-\frac{1} {2}}， x \geq0$$

D.$$y=\frac{1} {2} x^{-\frac{1} {2}}， x \geqslant0$$

8、['函数求值域'， '函数奇、偶性的定义'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '函数单调性的判断'， '一般幂函数的图象和性质']

正确率40.0%有四个幂函数：$$\odot f \left( x \right)=x^{-1} ; \oplus f \left( x \right)=x^{-2} ; \odot f \left( x \right)=x^{3} ; \oplus f \left( x \right)=x^{\frac{1} {3}}$$.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：$${{(}{1}{)}}$$偶函数；$${{(}{2}{)}}$$值域是$$\{y \left| y \in R， \right.$$在$$(-\infty， 0 )$$上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（）

A.$${①}$$

B.$${②}$$

C.$${③}$$

D.$${④}$$

9、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '函数单调性的判断']

正确率60.0%在区间$${{(}{{0}{，}{1}}{)}}$$上单调递减的函数是（）

A.$$y=x^{\frac{1} {2}}$$

B.$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{{(}{{x}{+}{1}}{)}}}$$

C.$$y=2^{x+1}$$

D.$$y=| x-1 |$$

10、['指数（型）函数的单调性'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '利用函数单调性比较大小']

正确率60.0%已知$$a=e^{3}， ~ b=3^{\pi}， ~ c=e^{\pi}$$，则它们的大小关系是$${{(}{)}}$$

A.$$a > b > c$$

B.$$c > b > a$$

C.$$c > a > b$$

D.$$b > c > a$$

1. 解析：

对于幂函数 $$f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$$：

A. 定义域为 $$(0, +\infty)$$，因为分母不能为零且根号内非负，故错误。

B. 在定义域 $$(0, +\infty)$$ 上，$$f(x)$$ 为减函数，因为指数为负，正确。

C. $$f(-x)$$ 无定义，故不是偶函数，错误。

D. 同理，不是奇函数，错误。

正确答案：B。

2. 解析：

不等式 $$2^x - 2^y < 3^{-x} - 3^{-y}$$ 可变形为 $$2^x - 3^{-x} < 2^y - 3^{-y}$$。

设函数 $$g(t) = 2^t - 3^{-t}$$，则 $$g(x) < g(y)$$。

$$g(t)$$ 是增函数（因为 $$2^t$$ 增，$$-3^{-t}$$ 也增），故 $$x < y$$。

A. $$y^2 > x^2$$ 不一定成立（如 $$x=-1, y=0$$）。

B. $$\frac{x}{y} < 1$$ 不一定成立（如 $$x=-2, y=-1$$）。

C. $$x^3 > y^3$$ 不成立（因为 $$x < y$$ 且立方函数单调增）。

D. $$\left(\frac{1}{2}\right)^y < 2^{-x}$$ 可化为 $$2^{-y} < 2^{-x}$$，即 $$-y < -x$$ 或 $$x < y$$，与条件一致，正确。

正确答案：D。

4. 解析：

点 $$(2, 8)$$ 代入 $$f(x) = x^n$$ 得 $$2^n = 8$$，故 $$n = 3$$。

比较 $$a = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3$$，$$b = (\ln \pi)^3$$，$$c = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3$$：

$$\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$$，$$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$$，$$\ln \pi \approx 1.144$$。

立方后大小关系为 $$a < c < b$$。

正确答案：A。

5. 解析：

题目描述不完整，无法解析。

6. 解析：

对于 $$a > b$$：

A. 不成立（如 $$a=-1, b=-2$$）。

B. 不成立（如 $$a=1, b=-2$$）。

C. 不成立（如 $$a=-1, b=-2$$）。

D. 立方函数单调增，故 $$a^3 > b^3$$ 成立。

正确答案：D。

7. 解析：

幂函数 $$y = f(x) = x^k$$ 过点 $$(2, \sqrt{2})$$，代入得 $$2^k = \sqrt{2}$$，故 $$k = \frac{1}{2}$$。

定义域为 $$[0, +\infty)$$，故解析式为 $$y = x^{\frac{1}{2}}, x \geq 0$$。

正确答案：A。

8. 解析：

分析四个函数：

① $$f(x) = x^{-1}$$：奇函数，值域 $$\mathbb{R} \setminus \{0\}$$，减函数，不满足条件。

② $$f(x) = x^{-2}$$：偶函数，值域 $$(0, +\infty)$$，在 $$(-\infty, 0)$$ 增函数，满足两个正确（偶函数、增函数），一个错误（值域）。

③ $$f(x) = x^3$$：奇函数，值域 $$\mathbb{R}$$，增函数，不满足条件。

④ $$f(x) = x^{\frac{1}{3}}$$：奇函数，值域 $$\mathbb{R}$$，增函数，不满足条件。

正确答案：B。

9. 解析：

A. $$y = x^{\frac{1}{2}}$$ 在 $$(0, 1)$$ 上单调增。

B. $$y = \log_2(x+1)$$ 在 $$(0, 1)$$ 上单调增。

C. $$y = 2^{x+1}$$ 在 $$(0, 1)$$ 上单调增。

D. $$y = |x-1| = 1 - x$$ 在 $$(0, 1)$$ 上单调减。

正确答案：D。

10. 解析：

比较 $$a = e^3$$，$$b = 3^\pi$$，$$c = e^\pi$$：

取自然对数：$$\ln a = 3$$，$$\ln b = \pi \ln 3 \approx 3.432$$，$$\ln c = \pi \approx 3.142$$。

故 $$\ln b > \ln c > \ln a$$，即 $$b > c > a$$。

正确答案：D。

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