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正确率80.0%下列函数中，既是幂函数又在$$( 0， ~+\infty)$$上是减函数的是（）
D
A.$${{y}{=}{2}{x}}$$
B.$${{y}{=}{−}{{x}^{3}}}$$
C.$${{y}{=}{{2}^{x}}}$$
D.$$y=\frac{1} {x}$$
2、['一般幂函数的图象和性质']正确率80.0%若四个幂函数$$y=x^{a}， \， \， \， y=x^{b}， \， \， \， y=x^{c}， \， \， \， y=x^{d}$$在同一坐标系中的部分图像如图所示，则$$a， ~ b， ~ c， ~ d$$的大小关系正确的是（）
B
A.$$a > b > 1$$
B.$$a > 1 > b$$
C.$$0 > b > c$$
D.$$0 > d > c$$
3、['函数单调性的判断'， '函数求解析式'， '一般幂函数的图象和性质'， '利用函数单调性比较大小']正确率40.0%已知点$$( \ m， \ 8 )$$在幂函数
的图象上，设$$a=f ( \frac{\sqrt{3}} {3} )， b=f ( \operatorname{l n} {\pi} )， c=f ( \frac{\sqrt{2}} {2} )$$，则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系为（）
A
A.$$a \textless c \textless b$$
B.$$a < b < c$$
C.$$b < c < a$$
D.$$b < a < c$$
4、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']正确率60.0%幂函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {\mu} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{a}$$的图象过点$$( \ -2， \ 4 )$$，那么函数$${{f}{（}{x}{）}}$$单调递增区间是（）
B
A.
B.$$[ 0， \ \ +\infty)$$
C.$$( \ -\infty， \ 0 ]$$
D.$$( \mathbf{-} \infty， \ \mathbf{0} ) \ \cup\ ( \mathbf{0}， \ \mathbf{+} \infty)$$
5、['指数（型）函数的单调性'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '余弦（型）函数的定义域和值域'， '一般幂函数的图象和性质']正确率40.0%设$$\alpha\in\left( \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} \right)，$$$$a=\left( \operatorname{c o s} \alpha\right)^{\operatorname{c o s} \alpha}，$$$$b=\left( \operatorname{s i n} \alpha\right)^{\operatorname{c o s} \alpha}，$$$$c=\left( \operatorname{c o s} \alpha\right)^{\operatorname{s i n} \alpha}，$$则$$a， b， c$$的大小关系为（）
D
A.$$a < b < c$$
B.$$a < c < b$$
C.$$b < a < c$$
D.$$c < a < b$$
6、['函数奇偶性的应用'， '一元二次不等式的解法'， '利用函数奇偶性求值'， '函数单调性的判断'， '一般幂函数的图象和性质']正确率60.0%幂函数$$y=x^{a^{2}-2 a-3}$$是偶函数，且在$$( 0，+\infty)$$是减函数，则整数$${{a}}$$的值是（）
C
A.$${{0}}$$或$${{1}}$$
B.$${{1}}$$或$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
7、['一般幂函数的图象和性质'， '幂函数的特征']正确率60.0%幂函数$$y=x^{| m-1 |}$$与$$y=x^{3 m-m^{2}}$$在$$( 0，+\infty)$$上都是单调递增函数，则满足条件的整数$${{m}}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$和$${{2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{0}}$$和$${{3}}$$
8、['指数（型）函数的单调性'， '一般幂函数的图象和性质'， '利用函数单调性比较大小']正确率40.0%$$a=\left( \frac{2} {3} \right)^{\frac{1} {3}}， b=\left( \frac{1} {3} \right)^{\frac{2} {3}}， c=\left( \frac{1} {3} \right)^{\frac{1} {3}}$$，则$$a， b， c$$的大小关系是（）
A
A.$$a > c > b$$
B.$$a > b > c$$
C.$$c > a > b$$
D.$$b > c > a$$
9、['函数的综合问题'， '指数函数的定义'， '对数函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']正确率40.0%在$$y=2^{x}， y=\operatorname{l o g}_{2} x， y=x^{2}$$，这三个函数中，当$$0 < x_{1} < x_{2} < 1$$时，使$$f \left( \frac{x_{1}+x_{2}} {2} \right) < \frac{f \left( x_{1} \right)+f \left( x_{2} \right)} {2}$$恒成立的函数的个数是（）
B
A.$${{3}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{1}}$$个
D.$${{0}}$$个
10、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']正确率60.0%幂函数$$f ( x )=x^{a}$$的图像过点$$\left( 2， ~ \frac{1} {4} \right)$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的单调递减区间是（）
B
A.$$[ 0， ~+\infty)$$
B.$$( 0， ~+\infty)$$
C.$$(-\infty， 0 )$$
D.$$(-\infty， \ 0 ]$$
1. 题目要求既是幂函数又在$$(0, +\infty)$$上减函数。幂函数形式为$$y = x^a$$，减函数要求$$a < 0$$。选项分析：
A. $$y=2x$$ 不是幂函数。
B. $$y=-x^3$$ 是减函数但不是幂函数。
C. $$y=2^x$$ 是指数函数。
D. $$y=\frac{1}{x} = x^{-1}$$ 是幂函数且$$a=-1 <0$$，满足条件。故选 D。
2. 观察图像可知，$$y=x^a$$和$$y=x^b$$在$$x>1$$时增长较快，且$$a > b$$；$$y=x^c$$和$$y=x^d$$在$$0
3. 点$$(m, 8)$$在幂函数$$f(x) = x^n$$上，故$$m^n = 8$$。若$$m=2$$，则$$n=3$$，即$$f(x)=x^3$$。比较$$a=f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$，$$b=f(\ln \pi)$$，$$c=f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$：
由于$$f(x)$$在$$(0, +\infty)$$递增，且$$\ln \pi > \frac{\sqrt{2}}{2} > \frac{\sqrt{3}}{3}$$，故$$a < c < b$$。选 A。
4. 幂函数$$f(x)=x^a$$过点$$(-2, 4)$$，代入得$$(-2)^a=4$$，解得$$a=2$$。函数为$$f(x)=x^2$$，其递增区间为$$[0, +\infty)$$。选 B。
5. 设$$\alpha \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$$，则$$\sin \alpha > \cos \alpha$$且$$\cos \alpha \in (0,1)$$。比较$$a=(\cos \alpha)^{\cos \alpha}$$，$$b=(\sin \alpha)^{\cos \alpha}$$，$$c=(\cos \alpha)^{\sin \alpha}$$：
由于$$\sin \alpha > \cos \alpha$$且底数$$\cos \alpha <1$$，指数函数递减，故$$b > a$$；又$$\cos \alpha > \sin \alpha$$时$$a > c$$。综上$$b > a > c$$。选 D。
6. 幂函数$$y=x^{a^2-2a-3}$$是偶函数且减函数，要求指数为负偶数。解$$a^2-2a-3 <0$$得$$-1 < a <3$$，且$$a^2-2a-3$$为偶数。整数$$a=1$$时指数为$$-4$$，满足条件。选 C。
7. 幂函数$$y=x^{|m-1|}$$和$$y=x^{3m-m^2}$$在$$(0, +\infty)$$递增，要求指数$$|m-1| >0$$且$$3m-m^2 >0$$。解得$$m \neq 1$$且$$0 < m <3$$。整数$$m=2$$满足。选 C。
8. 比较$$a=\left(\frac{2}{3}\right)^{1/3}$$，$$b=\left(\frac{1}{3}\right)^{2/3}$$，$$c=\left(\frac{1}{3}\right)^{1/3}$$：
由于$$\frac{2}{3} > \frac{1}{3}$$，且指数函数递增，故$$a > c$$；又$$\left(\frac{1}{3}\right)^{2/3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{1/3} < c$$。因此$$a > c > b$$。选 A。
9. 题目要求函数在$$(0,1)$$上为凸函数（即二阶导数大于0）。计算：
$$y=2^x$$的二阶导数为$$2^x (\ln 2)^2 >0$$，满足；
$$y=\log_2 x$$的二阶导数为$$-\frac{1}{x^2 \ln 2} <0$$，不满足；
$$y=x^2$$的二阶导数为$$2 >0$$，满足。故有2个函数满足条件。选 B。
10. 幂函数$$f(x)=x^a$$过点$$\left(2, \frac{1}{4}\right)$$，代入得$$2^a = \frac{1}{4}$$，解得$$a=-2$$。函数为$$f(x)=x^{-2}$$，其递减区间为$$(0, +\infty)$$。选 B。