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正确率40.0%已知函数$$y=m^{x-1}+3 ( m > 0$$且$${{m}{≠}{1}{)}}$$的图象恒过的定点$${{A}}$$在直线$$\frac{x} {a}+\frac{y} {b}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$上，若关于$${{t}}$$的不等式$$a+b \geqslant2 7^{t}$$恒成立，则实数$${{t}}$$的最大值为（）
B
A.$$- \frac2 3$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$- \frac{3} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
2、['函数奇偶性的应用'， '全称量词命题、存在量词命题的真假判断'， '幂函数的定义'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%下列说法正确的为（）
C
A.幂函数的图象都经过$$( \ 0， \ 0 ) \， \quad( \ 1， \ 1 )$$两点
B.$$a， ~ b， ~ c$$均为不等于$${{1}}$$的正实数，则$$l o g_{a} b \cdot l o g_{c} a=l o g_{b} c$$
C.$$f ( x )=x^{\frac2 3}$$是偶函数
D.若$$a < \frac{1} {4}$$，则$$\sqrt{( 4 a-1 )^{4}}=4 a-1$$
3、['导数与单调性'， '幂函数的定义']正确率60.0%若幂函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图像过点$$\left( \frac{\sqrt{2}} {2}， \ \frac{1} {2} \right)，$$则函数$$g ( x )=\frac{f ( x )} {\mathrm{e}^{x}}$$的单调递增区间为（）
A
A.$$( 0， \ 2 )$$
B.$$(-\infty， ~ 0 )， ~ ( 2， ~+\infty)$$
C.$$(-2， \ 0 )$$
D.$$(-\infty， ~-2 )， ~ ( 0， ~+\infty)$$
4、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=( m^{2}-m-1 ) x^{m^{3}-1}$$是幂函数，对任意的$$x_{1}， x_{2} \in( 0，+\infty)$$且$$x_{1} \neq x_{2}，$$总有$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} > 0，$$若$$a， b \in{\bf R}， a+b < ~ 0，$$则$$f ( a )+f ( b )$$的值（）
B
A.恒大于$${{0}}$$
B.恒小于$${{0}}$$
C.等于$${{0}}$$
D.无法判断
5、['函数的单调区间'， '幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']正确率60.0%已知幂函数$$y=f ( x )$$的图象过$$( 3， \frac{\sqrt{3}} {3} )$$，则它的一个单调递减区间是（）
D
A.$$[ 0，+\infty)$$
B.$$(-\infty， 0 )$$
C.$$(-\infty，+\infty)$$
D.$$( 2，+\infty)$$
6、['五个常见幂函数的图象与性质'， '幂函数的定义']正确率60.0%下列函数是幂函数且在$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上是增函数的是（）
C
A.$${{y}{=}{2}{{x}^{2}}}$$
B.$$y=x^{-1}$$
C.$$y=x^{\frac{1} {2}}$$
D.$$y=x^{3}-x$$
7、['幂函数的定义']正确率80.0%幂函数$$f ( x ) \!=\! x^{a}$$的图象经过点$$( 2， 4 )$$，则$$f (-\frac{1} {2} )=($$）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$- \frac{1} {4}$$
D.$${{2}}$$
8、['函数求值'， '函数求解析式'， '幂函数的定义']正确率60.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$是幂函数，若$$f \left( \begin{matrix} {2} \\ {2} \\ \end{matrix} \right) \ =4$$，则$${{f}{（}{3}{）}}$$等于（）
A
A.$${{9}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
9、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']正确率60.0%已知幂函数$$f \left( x \right)=\left( n^{2}+2 n-2 \right) \cdot x^{n^{2}-3 n} \left( n \in{\bf Z} \right)$$的图像关于$${{y}}$$轴对称，且在$$( 0，+\infty)$$内是减函数，则$${{n}}$$的值为（）
B
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$或$${{2}}$$
10、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']正确率60.0%已知幂函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=~ ( \begin{matrix} {m^{2}-3 m-3} \\ \end{matrix} ) ~ \left. x^{2 m-3} \right.$$在$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上为增函数，则$${{m}}$$值为（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$或$${{4}}$$
1. 解析：函数 $$y = m^{x-1} + 3$$ 恒过定点 $$A(1, 4)$$，代入直线方程 $$\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1$$。由不等式 $$a + b \geq 27^t$$ 恒成立，利用不等式 $$\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1$$ 的最小值条件，当 $$a = 3$$，$$b = 6$$ 时，$$a + b = 9$$，故 $$9 \geq 27^t$$，解得 $$t \leq \frac{2}{3}$$，最大值为 $$\frac{2}{3}$$。答案为 B。
A. 错误，幂函数 $$y = x^0$$ 不经过 $$(0, 0)$$。
B. 错误，正确公式为 $$\log_a b \cdot \log_c a = \log_c b$$。
C. 正确，$$f(x) = x^{\frac{2}{3}}$$ 是偶函数。
D. 错误，$$\sqrt{(4a-1)^4} = |4a-1| \neq 4a-1$$（当 $$a < \frac{1}{4}$$ 时为 $$1-4a$$）。
答案为 C。3. 解析：设幂函数 $$f(x) = x^k$$，代入点 $$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$$ 得 $$k = 2$$。函数 $$g(x) = \frac{x^2}{e^x}$$，求导得 $$g'(x) = \frac{2x - x^2}{e^x}$$，令 $$g'(x) > 0$$ 得 $$0 < x < 2$$，单调递增区间为 $$(0, 2)$$。答案为 A。
由幂函数定义得 $$m^2 - m - 1 = 1$$，解得 $$m = 2$$ 或 $$m = -1$$。由单调递增性排除 $$m = -1$$，故 $$f(x) = x^{7}$$。由于 $$f(x)$$ 为奇函数且在 $$R$$ 上单调递增，由 $$a + b < 0$$ 得 $$a < -b$$，故 $$f(a) < f(-b) = -f(b)$$，即 $$f(a) + f(b) < 0$$。答案为 B。
5. 解析：设幂函数 $$f(x) = x^k$$，代入点 $$(3, \frac{\sqrt{3}}{3})$$ 得 $$k = -\frac{1}{2}$$。函数 $$f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 单调递减。答案为 A。
A. 不是幂函数。
B. 是幂函数但在 $$(0, +\infty)$$ 单调递减。
C. 是幂函数且在 $$(0, +\infty)$$ 单调递增。
D. 不是幂函数。
答案为 C。7. 解析：幂函数 $$f(x) = x^a$$ 过点 $$(2, 4)$$，得 $$a = 2$$。故 $$f(-\frac{1}{2}) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$。答案为 B。
8. 解析：设幂函数 $$f(x) = x^k$$，由 $$f(2) = 4$$ 得 $$k = 2$$，故 $$f(3) = 9$$。答案为 A。
由幂函数定义得 $$n^2 + 2n - 2 = 1$$，解得 $$n = 1$$ 或 $$n = -3$$。
当 $$n = 1$$ 时，$$f(x) = x^{-2}$$，满足图像关于 $$y$$ 轴对称且在 $$(0, +\infty)$$ 单调递减。
当 $$n = -3$$ 时，$$f(x) = x^{18}$$，不满足单调递减。
答案为 B。10. 解析：由幂函数定义得 $$m^2 - 3m - 3 = 1$$，解得 $$m = 4$$ 或 $$m = -1$$。当 $$m = 4$$ 时，$$f(x) = x^5$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 单调递增；当 $$m = -1$$ 时，$$f(x) = x^{-5}$$ 单调递减。故 $$m = 4$$。答案为 A。
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