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正确率60.0%若函数$$f ( x )=( m-3 ) x^{a}$$是幂函数，则函数$$g ( x )=\operatorname{l o g}_{a} ( x+m )+1$$(其中$${{a}{>}{0}}$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$的图象过定点（）
A
A.$$(-3， ~ 1 )$$
B.$$( 2， ~ 1 )$$
C.$$(-3， \ 0 )$$
D.$$( 3， ~ 1 )$$
2、['函数的最大(小)值'， '幂函数的特征']正确率60.0%已知幂函数$$f ( x )=x^{\alpha}$$的图像过点$$\left( 5， \frac{1} {5} \right)，$$则函数$$g ( x )=( x-3 ) f ( x )$$在区间$$\left[ \frac{1} {3}， 1 \right]$$上的最小值是（）
D
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{4}}$$
D.$${{−}{8}}$$
3、['函数的单调区间'， '一般幂函数的图象和性质'， '幂函数的特征']正确率60.0%若幂函数$$y=f ( x )$$的图象过点$$( 2， \frac{1} {4} )$$，则它的单调递增区间是$${{(}{)}}$$
B
A.$$(-\infty，+\infty)$$
B.$$(-\infty， 0 )$$
C.$$[ 0，+\infty)$$
D.$$( 0，+\infty)$$
4、['幂函数的定义'， '幂函数的特征']正确率60.0%若幂函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{n}$$的图象经过点$$( 2， ~ \frac{\sqrt{2}} {2} )$$，则$$f \left( 4 \right) ~=~$$（）
B
A.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}}$$
5、['幂函数的定义'， '幂函数的特征']正确率80.0%函数$$y=( m-1 ) x^{m^{2}-m}$$为幂函数，则该函数在定义域上为（）
B
A.奇函数
B.偶函数
C.增函数
D.减函数
6、['幂函数的定义'， '幂函数的特征']正确率80.0%已知幂函数$$f ( x )=\lambda\cdot x^{a}$$的图象过点$$( \frac{1} {2}， \frac{\sqrt{2}} {2} )$$，则$${{λ}{+}{α}{=}}$$
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
7、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质'， '幂函数的特征']正确率60.0%已知函数$$y=x^{n^{2}-2 n-3} ( n \in N^{*} )$$的图象与$${{x}}$$轴无交点，且图象关于$${{y}}$$轴对称，则$${{n}{=}{(}{)}}$$
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{1}}$$或$${{3}}$$
9、['一般幂函数的图象和性质'， '幂函数的特征']正确率60.0%已知幂函数$$f ( x )=( m^{2}-m-1 ) x^{m-1}$$在$$x \in( 0，+\infty)$$单调递减，则实数$${{m}{=}{（}}$$）
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{2}}$$或$${{−}{1}}$$
10、['函数求解析式'， '幂函数的特征']正确率60.0%若幂函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象经过点$$( 2， \sqrt{2} )$$，则$${{f}{{(}{3}{)}}{=}{(}}$$)
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{9}}$$
1. 解析：函数 $$f(x) = (m-3)x^a$$ 是幂函数，因此 $$m-3=1$$，解得 $$m=4$$。所以 $$f(x) = x^a$$。函数 $$g(x) = \log_a (x+4) + 1$$ 的图象过定点需满足 $$x+4=1$$，即 $$x=-3$$，此时 $$g(-3) = \log_a 1 + 1 = 1$$。故图象过定点 $$(-3, 1)$$，选 A。
2. 解析：幂函数 $$f(x) = x^\alpha$$ 过点 $$(5, \frac{1}{5})$$，代入得 $$5^\alpha = \frac{1}{5}$$，解得 $$\alpha = -1$$。函数 $$g(x) = (x-3)f(x) = \frac{x-3}{x} = 1 - \frac{3}{x}$$ 在区间 $$\left[\frac{1}{3}, 1\right]$$ 上单调递增，最小值在 $$x = \frac{1}{3}$$ 处取得，$$g\left(\frac{1}{3}\right) = 1 - 9 = -8$$，选 D。
3. 解析：幂函数 $$y = f(x)$$ 过点 $$(2, \frac{1}{4})$$，设 $$f(x) = x^k$$，代入得 $$2^k = \frac{1}{4}$$，解得 $$k = -2$$。函数 $$f(x) = x^{-2}$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递减，但其单调递增区间为 $$(-\infty, 0)$$，选 B。
4. 解析：幂函数 $$f(x) = x^n$$ 过点 $$(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$$，代入得 $$2^n = \frac{\sqrt{2}}{2} = 2^{-\frac{1}{2}}$$，解得 $$n = -\frac{1}{2}$$。因此 $$f(4) = 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$$，选 B。
5. 解析：函数 $$y = (m-1)x^{m^2 - m}$$ 为幂函数，故 $$m-1=1$$，解得 $$m=2$$。函数为 $$y = x^{2}$$，在定义域上为偶函数，选 B。
6. 解析：幂函数 $$f(x) = \lambda x^a$$ 过点 $$\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$，代入得 $$\lambda \left(\frac{1}{2}\right)^a = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。假设 $$\lambda = 1$$，则 $$\left(\frac{1}{2}\right)^a = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，解得 $$a = \frac{1}{2}$$。验证 $$\lambda + a = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$，选 B。
7. 解析：函数 $$y = x^{n^2 - 2n - 3}$$ 与 $$x$$ 轴无交点，故指数 $$n^2 - 2n - 3 \leq 0$$，解得 $$-1 \leq n \leq 3$$。又 $$n \in N^*$$，可能取值为 $$1, 2, 3$$。图象关于 $$y$$ 轴对称，说明函数为偶函数，即指数为偶数。验证得 $$n=1$$ 或 $$n=3$$ 时指数为偶数，选 D。
9. 解析：幂函数 $$f(x) = (m^2 - m - 1)x^{m-1}$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 单调递减，需满足系数 $$m^2 - m - 1 = 1$$ 且指数 $$m-1 < 0$$。解得 $$m^2 - m - 2 = 0$$，即 $$m = 2$$ 或 $$m = -1$$。结合 $$m-1 < 0$$，得 $$m = -1$$，选 A。
10. 解析：幂函数 $$y = f(x)$$ 过点 $$(2, \sqrt{2})$$，设 $$f(x) = x^k$$，代入得 $$2^k = \sqrt{2}$$，解得 $$k = \frac{1}{2}$$。因此 $$f(3) = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$，选 B。
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