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正确率40.0%若幂函数$$y=f ( x )$$的图像过点$$( 2 7， 3 \sqrt{3} )，$$则函数$$y=f ( x-1 )-[ f ( x ) ]^{2}$$的最大值为（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$${{−}{1}}$$
2、['幂函数的定义']正确率80.0%若幂函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f ( 2 )=4，$$则$$f ( x )=$$（）
B
A.$${\sqrt {x}}$$
B.$${{x}^{2}}$$
C.$${{2}^{x}}$$
D.$$2^{-x}$$
3、['函数奇、偶性的定义'， '幂函数的定义']正确率60.0%下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（）
D
A.$$f ( x )=-x^{3}$$
B.$$f ( x )=\sqrt{x}$$
C.$$f ( x )=\frac{1} {x^{4}}$$
D.$$f ( x )=x^{5}$$
4、['函数求解析式'， '幂函数的定义']正确率60.0%已知幂函数$$y=f ~ ( x )$$的图象经过点$$( \ 2， \ 4 )$$，则$$y=f ~ ( x )$$的解析式为（）
B
A.$${{y}{=}{{2}^{x}}}$$
B.$${{y}{=}{{x}^{2}}}$$
C.$${{y}{=}{\sqrt {x}}}$$
D.$${{y}{=}{2}{x}}$$
5、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质'， '不等式的性质']正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {\hfill} \\ {\hfill} \\ \end{matrix} \right) ~=~ ( \begin{matrix} {m^{2}-m-1} \\ \end{matrix} ) ~ \begin{matrix} {\jmath} \\ {\jmath} \\ \end{matrix} \left( \begin{matrix} {m^{2}+m-3} \\ \end{matrix} \right)$$是幂函数，且当$$x \in~ ( {\bf0}， ~ {\it+\infty} )$$时，$${{f}{（}{x}{）}}$$是增加的，则$${{m}}$$的值为（）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{1}}$$或$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
7、['幂函数的定义']正确率60.0%下列函数中哪个是幂函数（）
A
A.$$y=( \frac{1} {x} )^{-3}$$
B.$$y=( \frac{x} {2} )^{-2}$$
C.$$y=\sqrt{2 x}^{-3}$$
D.$$y=\mathit{\Pi} ( \mathit{\Pi}-2 x )^{-3}$$
8、['幂函数的定义']正确率60.0%已知幂函数$$y=f ~ ( x )$$的图象过$$( 4， \ 2 )$$点，则$$f \left( \begin{matrix} {2} \\ {2} \\ \end{matrix} \right) \ =\textsubscript{(}$$）
A
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
9、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']正确率60.0%函数$$f \left( \frac{} {} x \right) ~=~ ( \frac{} {} m^{2}-m-1 ) ~ x^{m}$$是幂函数，且函数$${{f}{（}{x}{）}}$$图象不经过原点，则实数$${{m}{=}}$$（）
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{1}}$$或$${{2}}$$
10、['函数求解析式'， '幂函数的定义']正确率60.0%已知幂函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象经过点$$( 3， 2 7 )$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的解析式$$f ( x )=( \textsubscript{\Pi} )$$
A
A.$${{x}^{3}}$$
B.$${{3}^{x}}$$
C.$${{9}{x}}$$
D.$$\operatorname{l o g}_{3} x$$
1. 设幂函数为 $$f(x) = x^k$$，代入点 $$(27, 3\sqrt{3})$$ 得：$$27^k = 3\sqrt{3}$$
将两边化为同底：$$(3^3)^k = 3 \times 3^{1/2} = 3^{3/2}$$，即 $$3^{3k} = 3^{3/2}$$
解得：$$3k = \frac{3}{2}$$，$$k = \frac{1}{2}$$，所以 $$f(x) = x^{1/2}$$
构造函数：$$y = f(x-1) - [f(x)]^2 = \sqrt{x-1} - (\sqrt{x})^2 = \sqrt{x-1} - x$$
定义域：$$x-1 \geq 0$$ 即 $$x \geq 1$$
令 $$t = \sqrt{x-1}$$，则 $$x = t^2 + 1$$，代入得：$$y = t - (t^2 + 1) = -t^2 + t - 1$$
这是关于 $$t$$ 的二次函数，开口向下，最大值在 $$t = -\frac{b}{2a} = \frac{1}{2}$$ 处
最大值为：$$y_{max} = -(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{4}$$
答案：C
2. 设幂函数为 $$f(x) = x^a$$，由 $$f(2) = 4$$ 得：$$2^a = 4 = 2^2$$，所以 $$a = 2$$
因此 $$f(x) = x^2$$
答案：B
3. 幂函数形式为 $$f(x) = x^a$$
A：$$f(x) = -x^3$$ 是奇函数但不是幂函数（多了一个负号系数）
B：$$f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$$ 是幂函数但不是奇函数（定义域不关于原点对称）
C：$$f(x) = \frac{1}{x^4} = x^{-4}$$ 是幂函数但不是奇函数（偶函数）
D：$$f(x) = x^5$$ 既是幂函数又是奇函数
答案：D
4. 设幂函数为 $$f(x) = x^a$$，代入点 $$(2, 4)$$ 得：$$2^a = 4 = 2^2$$，所以 $$a = 2$$
因此 $$f(x) = x^2$$
答案：B
5. 幂函数形式为 $$f(x) = x^a$$，所以系数 $$m^2 - m - 1 = 1$$
解方程：$$m^2 - m - 2 = 0$$，$$(m-2)(m+1) = 0$$，$$m = 2$$ 或 $$m = -1$$
当 $$m = 2$$ 时，指数为 $$m^2 + m - 3 = 4 + 2 - 3 = 3$$，函数为 $$f(x) = x^3$$，在 $$(0, +\infty)$$ 上递增
当 $$m = -1$$ 时，指数为 $$1 - 1 - 3 = -3$$，函数为 $$f(x) = x^{-3}$$，在 $$(0, +\infty)$$ 上递减
因此只有 $$m = 2$$ 满足条件
答案：B
7. 幂函数标准形式为 $$f(x) = x^a$$（系数为1）
A：$$y = (\frac{1}{x})^{-3} = x^3$$，是幂函数
B：$$y = (\frac{x}{2})^{-2} = 4x^{-2}$$，系数不为1，不是幂函数
C：$$y = \sqrt{2x}^{-3}$$ 形式不符合
D：$$y = \pi(\pi-2x)^{-3}$$ 形式不符合
答案：A
8. 设幂函数为 $$f(x) = x^a$$，代入点 $$(4, 2)$$ 得：$$4^a = 2$$，即 $$2^{2a} = 2^1$$，所以 $$2a = 1$$，$$a = \frac{1}{2}$$
因此 $$f(x) = x^{1/2}$$，$$f(2) = \sqrt{2}$$
答案：A
9. 幂函数系数为1：$$m^2 - m - 1 = 1$$，即 $$m^2 - m - 2 = 0$$，$$(m-2)(m+1) = 0$$，$$m = 2$$ 或 $$m = -1$$
当 $$m = 2$$ 时，$$f(x) = x^2$$，经过原点
当 $$m = -1$$ 时，$$f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}$$，不经过原点
因此 $$m = -1$$
答案：A
10. 设幂函数为 $$f(x) = x^a$$，代入点 $$(3, 27)$$ 得：$$3^a = 27 = 3^3$$，所以 $$a = 3$$
因此 $$f(x) = x^3$$
答案：A