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正确率60.0%已知幂函数$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$的图象经过点$${（{2}{，}{4}{）}}$$，则$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$的解析式为（）
B
A.$${{y}{=}{{2}^{x}}}$$
B.$${{y}{=}{{x}^{2}}}$$
C.$${{y}{=}{\sqrt {x}}}$$
D.$${{y}{=}{2}{x}}$$
2、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质'， '幂函数的特征']正确率60.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {\hfill} \\ {\hfill} \\ \end{matrix} \right) ~=~ ( \begin{matrix} {m^{2}-m-1} \\ \end{matrix} ) ~ \begin{matrix} {\hfill} \\ {\hfill} \\ \end{matrix} \left( \begin{matrix} {m^{2}+2 m-5} \\ \end{matrix} \right)$$是幂函数，对任意的$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{∈}{（}{0}{，}{+}{∞}{）}}$$，且$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$，满足$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} > 0，$$若$${{a}{，}{b}{∈}{R}}$$，且$${{a}{+}{b}{>}{0}}$$，则$${{f}{（}{a}{）}{+}{f}{（}{b}{）}}$$的值（）
A
A.恒大于$${{0}}$$
B.恒小于$${{0}}$$
C.等于$${{0}}$$
D.无法判断
3、['函数的最大(小)值'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '幂函数的定义'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%若幂函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$的图象过点$${{(}{8}{，}{2}{\sqrt {2}}{)}}$$，则函数$${{f}{{(}{x}{−}{1}{)}}{−}{{f}^{2}}{{(}{x}{)}}}$$的最大值为（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$${{−}{1}}$$
4、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']正确率60.0%下列函数既是偶函数又是幂函数的是（）
B
A.$${{y}{=}{x}}$$
B.$$y=x^{\frac{2} {3}}$$
C.$$y=x^{\frac{1} {2}}$$
D.$${{y}{=}{|}{x}{|}}$$
5、['五个常见幂函数的图象与性质'， '幂指对综合比较大小'， '幂函数的定义'， '利用函数单调性比较大小']正确率40.0%已知点$${{(}{m}{，}{9}{)}}$$在幂函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{(}{m}{−}{2}{)}{{x}^{n}}}$$的图象上，设$$a=f \left( m^{-\frac{1} {3}} \right)， b=f \left( \operatorname{l n} \frac{1} {3} \right)$$$$c=f ( \frac{\sqrt{2}} {2} )$$，则$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$的大小关系为（）
A
A.$${{a}{<}{c}{<}{b}}$$
B.$${{b}{<}{c}{<}{a}}$$
C.$${{c}{<}{a}{<}{b}}$$
D.$${{b}{<}{a}{<}{c}}$$
7、['幂函数的定义']正确率60.0%已知幂函数$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$得图象过点$$( 2， ~ \frac{\sqrt{2}} {2} )$$，则$$f ( \frac{1} {4} )=$$（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}}$$
8、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']正确率60.0%设幂函数$$f ( x )=( a^{2}-3 a+3 ) x^{a^{2}-a-1}$$的图象不过原点，则$${{(}{)}}$$
B
A.$${{−}{1}{⩽}{a}{⩽}{2}}$$
B.$${{a}{=}{1}}$$
C.$${{a}{=}{2}}$$
D.$${{a}{=}{1}}$$或$${{a}{=}{2}}$$
9、['指数函数的定义'， '函数求解析式'， '幂函数的定义']正确率60.0%已知幂函数$$g ~ ( \textit{} \mathrm{\ensuremath{~}} \mathrm{\ensuremath{~}} \mathrm{\ensuremath{~}} \mathrm{\ensuremath{~} \left( \vphantom{~} 2 a-1 \right) ~ x^{a+1}}$$的图象过函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=m^{x-b}-\frac{1} {2} \left( \begin{matrix} {m} \\ \end{matrix} \right) > 0$$，且$${{m}{≠}{1}{）}}$$的图象所经过的定点，则$${{b}}$$的值等于（）
B
A.$$\pm\frac{1} {2}$$
B.$$\pm\frac{\sqrt{2}} {2}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{±}{2}}$$
10、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']正确率60.0%已知幂函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=~ ( \begin{matrix} {m^{2}-3 m-3} \\ \end{matrix} ) ~ \left. x^{2 m-3} \right.$$在$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$上为增函数，则$${{m}}$$值为（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$或$${{4}}$$
1. 解析：幂函数的一般形式为$$y = x^k$$。将点$$(2,4)$$代入得$$4 = 2^k$$，解得$$k=2$$，因此解析式为$$y = x^2$$。正确答案是B。
2. 解析：由题意，$$f(x)$$是幂函数且单调递增，故$$m^2 - m - 1 = 1$$且$$m^2 + 2m - 5 > 0$$。解得$$m=2$$（$$m=-1$$不满足单调递增）。幂函数为$$f(x) = x^7$$。由于$$a+b>0$$且$$f(x)$$为奇函数且单调递增，$$f(a) + f(b)$$的符号与$$a+b$$相同，故恒大于0。正确答案是A。
3. 解析：设幂函数为$$y = x^k$$，代入点$$(8, 2\sqrt{2})$$得$$2\sqrt{2} = 8^k$$，解得$$k=\frac{1}{2}$$。函数$$f(x-1) - f(x)^2 = \sqrt{x-1} - x$$，求导得最大值在$$x=\frac{5}{4}$$处取得，值为$$-\frac{3}{4}$$。正确答案是C。
4. 解析：偶函数需满足$$f(-x) = f(x)$$，幂函数需为$$y = x^k$$形式。选项B$$y = x^{\frac{2}{3}}$$满足$$f(-x) = (-x)^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{2}{3}} = f(x)$$，且是幂函数。正确答案是B。
5. 解析：由题意，$$f(x) = (m-2)x^n$$过点$$(m,9)$$，故$$9 = (m-2)m^n$$。又$$f(x)$$为幂函数，$$m-2=1$$，即$$m=3$$，代入得$$n=2$$。比较$$a = f(3^{-\frac{1}{3}})$$，$$b = f(\ln \frac{1}{3})$$，$$c = f(\frac{\sqrt{2}}{2})$$，由于$$f(x) = x^2$$单调递增，且$$\ln \frac{1}{3} < \frac{\sqrt{2}}{2} < 3^{-\frac{1}{3}}$$，故$$b < c < a$$。正确答案是B。
7. 解析：设幂函数为$$y = x^k$$，代入点$$(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$$得$$\frac{\sqrt{2}}{2} = 2^k$$，解得$$k=-\frac{1}{2}$$。故$$f(\frac{1}{4}) = (\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = 2$$。正确答案是D。
8. 解析：幂函数$$f(x) = (a^2-3a+3)x^{a^2-a-1}$$不过原点，需$$a^2-3a+3=0$$无解或指数为负。$$a^2-3a+3 \neq 0$$恒成立，故需$$a^2-a-1 < 0$$，解得$$a=1$$或$$a=2$$（验证得$$a=1$$时指数为-1，$$a=2$$时指数为1，但$$a=2$$时函数过原点，舍去）。正确答案是B。
9. 解析：幂函数$$g(x) = (2a-1)x^{a+1}$$过$$f(x)=m^{x-b}-\frac{1}{2}$$的定点$$(b, -\frac{1}{2})$$。故$$-\frac{1}{2} = (2a-1)b^{a+1}$$，且$$2a-1=1$$（幂函数系数为1），解得$$a=1$$，代入得$$b=\pm \frac{1}{2}$$。正确答案是A。
10. 解析：幂函数$$f(x) = (m^2-3m-3)x^{2m-3}$$在$$(0, +\infty)$$上增，需$$m^2-3m-3=1$$且$$2m-3 > 0$$。解得$$m=4$$（$$m=-1$$不满足指数条件）。正确答案是A。
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