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正确率60.0%若幂函数$$y=( m^{2}-3 m+3 ) x^{m+1}$$在$${{R}}$$上单调递增，则（）
C
A.$$1 \leqslant m \leqslant2$$
B.$${{m}{=}{1}}$$或$${{m}{=}{2}}$$
C.$${{m}{=}{2}}$$
D.$${{m}{=}{1}}$$
2、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '对数（型）函数的单调性'， '函数奇、偶性的定义'， '单调性的定义与证明'， '五个常见幂函数的图象与性质']正确率60.0%下列函数中，同时满足:①对于定义域内任意的$${{x}{，}}$$都有$$f (-x )=-f ( x )$$；②存在区间$${{D}{，}}$$使得$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$${{D}}$$上单调递减的函数是（）
A
A.$$f ( x )=\operatorname{s i n} \! x$$
B.$$f ( x )=x^{3}$$
C.$$f ( x )=\frac{1} {x^{2}+1}$$
D.$$f ( x )=\operatorname{l n} \! x$$
3、['利用函数单调性解不等式'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '幂函数的定义']正确率60.0%若幂函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图像过点$$( 9， 3 )，$$则不等式$$f ( x ) < f ( x^{2} )$$的解集为（）
D
A.$$(-\infty， 0 ) \cup( 1，+\infty)$$
B.$$( 0， 1 )$$
C.$$(-\infty， 0 )$$
D.$$( 1，+\infty)$$
4、['正弦（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '利用函数单调性比较大小']正确率60.0%如果$$a=\operatorname{s i n} 2， \， \， \， b=\， \， ( \， \frac{1} {2} \， )^{\， \， \， \frac{1} {2}}， \， \， \， c=l o g_{\frac{1} {2}} \， \frac{1} {3}$$，那么（）
D
A.$$a > b > c$$
B.$$c > b > a$$
C.$$a > c > b$$
D.$$c > a > b$$
5、['五个常见幂函数的图象与性质'， '不等式比较大小'， '不等式的性质']正确率60.0%已知$$a_{\i} \， \， b \in R$$且$${{a}{>}{b}}$$，则下列不等关系正确的是（）
D
A.$${{a}^{2}{>}{{b}^{2}}}$$
B.$$| a | < | b |$$
C.$$\frac{a} {b} > 1$$
D.$${{a}^{3}{>}{{b}^{3}}}$$
6、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '对数（型）函数的单调性'， '函数奇、偶性的定义'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '函数单调性的判断']正确率60.0%下列函数中，既是偶函数，又在区间$$( 0，+\infty)$$内为增函数的是（）
C
A.$$f ( x )=2-x^{2}$$
B.$$f ( x )=x^{\frac{1} {2}}$$
C.$$f ( x )=| x |-1$$
D.$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{2} x$$
7、['函数求值域'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '幂函数的定义']正确率60.0%已知幂函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象过点$$( 2， \sqrt{2} ) \;，$$则函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的值域为（）
C
A.$${{R}}$$
B.$$( 0，+\infty)$$
C.$$[ 0，+\infty)$$
D.$$(-\infty， 0 ) \cup( 0，+\infty)$$
8、['五个常见幂函数的图象与性质'， '幂函数的定义']正确率60.0%幂函数$$f ( x )=( m^{2}-m-1 ) x^{m^{2}+2 m-3}$$在$${{(}{0}{{，}{+}{∞}}{)}}$$上为增函数，则$${{m}}$$的取值是（）
C
A.$${{m}{=}{2}}$$或$${{m}{{=}{-}}{1}}$$
B.$${{m}{{=}{-}}{1}}$$
C.$${{m}{=}{2}}$$
D.$$\mathrm{-3 \leqslant m \leqslant1}$$
9、['五个常见幂函数的图象与性质'， '一般幂函数的图象和性质'， '幂函数的特征']正确率40.0%已知幂函数$$f \left( \begin{array} {c} {x} \\ \end{array} \right)=x^{-\frac{1} {2}}$$，若$$f \left( \begin{matrix} {a+1} \\ \end{matrix} \right) < f \left( \begin{matrix} {1 0} \\ {-2 a} \\ \end{matrix} \right)$$，则$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$$( \; 0， \; \; 5 )$$
B.$$( \mathrm{\vec{5}， \vec{\}+\infty} )$$
C.$$( \mathbf{\alpha}-\mathbf{1}， \mathbf{\alpha} 3 )$$
D.$$( 3， \ 5 )$$
10、['指数式的大小的比较'， '五个常见幂函数的图象与性质']正确率60.0%设$$a=3^{\frac{3} {2}} \，， \， \， b=5^{\frac{3} {4}} \，， \， \， c=8^{\frac{1} {2}}$$，则（）
D
A.$$a < c < b$$
B.$$b < a < c$$
C.$$c < a < b$$
D.$$c < b < a$$
1. 幂函数形式为 $$y = kx^n$$，其中系数为1且指数为实数。题中 $$y = (m^2 - 3m + 3)x^{m+1}$$ 在 $$R$$ 上单调递增。
首先需满足幂函数定义：系数 $$m^2 - 3m + 3 = 1$$，解得 $$m^2 - 3m + 2 = 0$$，即 $$(m-1)(m-2) = 0$$，所以 $$m = 1$$ 或 $$m = 2$$。
再判断单调性：当 $$m = 1$$ 时，指数为 $$2$$，函数为 $$y = x^2$$，在 $$R$$ 上不单调递增（在 $$(-\infty, 0)$$ 递减）。当 $$m = 2$$ 时，指数为 $$3$$，函数为 $$y = x^3$$，在 $$R$$ 上单调递增。
因此答案为 $$m = 2$$，选 C。
2. 条件①要求函数为奇函数：$$f(-x) = -f(x)$$。条件②要求存在区间 $$D$$ 上单调递减。
A. $$f(x) = \sin x$$：是奇函数，在区间如 $$[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$$ 上递减，满足条件。
B. $$f(x) = x^3$$：是奇函数，但在整个定义域 $$R$$ 上单调递增，不存在递减区间，不满足②。
C. $$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$$：是偶函数（因为 $$f(-x) = f(x)$$），不满足①。
D. $$f(x) = \ln x$$：定义域为 $$(0, +\infty)$$，不关于原点对称，非奇非偶，不满足①。
因此答案为 A。
3. 设幂函数为 $$f(x) = x^a$$，过点 $$(9, 3)$$，代入得 $$9^a = 3$$，即 $$3^{2a} = 3^1$$，所以 $$2a = 1$$，$$a = \frac{1}{2}$$。函数为 $$f(x) = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$$，定义域为 $$[0, +\infty)$$。
解不等式 $$f(x) < f(x^2)$$，即 $$\sqrt{x} < \sqrt{x^2}$$。由于定义域要求 $$x \geq 0$$，且 $$\sqrt{x^2} = |x| = x$$（因为 $$x \geq 0$$），所以不等式化为 $$\sqrt{x} < x$$。
两边平方（$$x \geq 0$$ 保证非负）：$$x < x^2$$，即 $$x^2 - x > 0$$，$$x(x-1) > 0$$，解得 $$x < 0$$ 或 $$x > 1$$。结合定义域 $$x \geq 0$$，得 $$x > 1$$。
因此解集为 $$(1, +\infty)$$，选 D。
4. 比较 $$a = \sin 2$$，$$b = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$$，$$c = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} = \frac{\ln \frac{1}{3}}{\ln \frac{1}{2}} = \frac{-\ln 3}{-\ln 2} = \frac{\ln 3}{\ln 2} \approx \frac{1.099}{0.693} \approx 1.585$$。
注意 $$2$$ 弧度约等于 $$114.6^\circ$$，$$\sin 2 \approx \sin 114.6^\circ = \sin (180^\circ - 65.4^\circ) = \sin 65.4^\circ \approx 0.906$$。
所以 $$c \approx 1.585 > a \approx 0.906 > b \approx 0.707$$，即 $$c > a > b$$，选 D。
5. 已知 $$a > b$$，但未指定正负。
A. $$a^2 > b^2$$：反例 $$a = -1, b = -2$$，则 $$a > b$$，但 $$a^2 = 1, b^2 = 4$$，不成立。
B. $$|a| < |b|$$：反例 $$a = 3, b = 2$$，不成立。
C. $$\frac{a}{b} > 1$$：反例 $$a = -1, b = -2$$，则 $$\frac{a}{b} = 0.5 < 1$$，不成立。
D. $$a^3 > b^3$$：函数 $$y = x^3$$ 在 $$R$$ 上单调递增，所以 $$a > b$$ 必然有 $$a^3 > b^3$$，正确。
因此选 D。
6. 要求函数偶函数且在 $$(0, +\infty)$$ 内增函数。
A. $$f(x) = 2 - x^2$$：偶函数，但在 $$(0, +\infty)$$ 上递减（开口向下抛物线），不满足。
B. $$f(x) = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$$：定义域 $$[0, +\infty)$$ 不关于原点对称，非偶函数，不满足。
C. $$f(x) = |x| - 1$$：偶函数，在 $$(0, +\infty)$$ 上即 $$f(x) = x - 1$$，为增函数，满足。
D. $$f(x) = \log_2 x$$：定义域 $$(0, +\infty)$$，非偶函数，不满足。
因此选 C。
7. 设幂函数 $$f(x) = x^a$$，过点 $$(2, \sqrt{2})$$，代入得 $$2^a = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$$，所以 $$a = \frac{1}{2}$$。函数为 $$f(x) = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$$，定义域为 $$[0, +\infty)$$，值域为 $$[0, +\infty)$$。
因此选 C。
8. 幂函数 $$f(x) = (m^2 - m - 1)x^{m^2 + 2m - 3}$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 上为增函数。
首先需满足幂函数定义：系数 $$m^2 - m - 1 = 1$$，解得 $$m^2 - m - 2 = 0$$，即 $$(m-2)(m+1) = 0$$，所以 $$m = 2$$ 或 $$m = -1$$。
再判断单调性：指数部分为 $$n = m^2 + 2m - 3$$。
当 $$m = 2$$ 时，$$n = 4 + 4 - 3 = 5 > 0$$，函数在 $$(0, +\infty)$$ 上递增。
当 $$m = -1$$ 时，$$n = 1 - 2 - 3 = -4 < 0$$，函数在 $$(0, +\infty)$$ 上递减，不满足。
因此 $$m = 2$$，选 C。
9. 幂函数 $$f(x) = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$，定义域为 $$(0, +\infty)$$。该函数在定义域内单调递减（因为指数为负）。
不等式 $$f(a+1) < f(10-2a)$$，由于函数递减，所以自变量大小关系相反：$$a+1 > 10-2a$$。
解不等式：$$a + 1 > 10 - 2a$$ → $$3a > 9$$ → $$a > 3$$。
同时需满足定义域要求：$$a+1 > 0$$ 且 $$10-2a > 0$$。$$a+1 > 0$$ 得 $$a > -1$$；$$10-2a > 0$$ 得 $$a < 5$$。
综合得 $$3 < a < 5$$。
因此选 D。
10. 比较 $$a = 3^{\frac{3}{2}} = (3^3)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{27} \approx 5.196$$，$$b = 5^{\frac{3}{4}} = (5^3)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{125} \approx \sqrt[4]{121} \approx 3.317$$（实际 $$\sqrt[4]{125} \approx 3.343$$），$$c = 8^{\frac{1}{2}} = \sqrt{8} \approx 2.828$$。
所以大小关系为 $$c \approx 2.828 < b \approx 3.343 < a \approx 5.196$$，即 $$c < b < a$$。
因此选 D。