幂函数的定义-3.3 幂函数知识点考前基础选择题自测题解析-山西省等高一数学必修,平均正确率60.0%

1、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']

正确率60.0%已知幂函数$$f ( x )=( a^{2}-2 a-2 ) x^{a^{2}+2 a}，$$且$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$( 0， ~+\infty)$$上单调递减，则$${{a}}$$的值为（）

A.$${{3}}$$或$${{−}{1}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$${{−}{3}}$$

2、['函数的最大(小)值'， '幂函数的定义']

正确率80.0%已知幂函数$$f ( x )=x^{a}$$的图像过点$$\left( 3， \frac{1} {3} \right)$$，则函数$$g ( x )=( 2 x-1 ) f ( x )$$在区间$$[ \frac{1} {2}， 2 \brack$$上的最小值是（）

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{−}{2}}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

4、['一元二次方程的解集'， '幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质'， '幂函数的特征']

正确率60.0%幂函数$$f ( x )=( m^{2}-m-1 ) x^{m^{2}+2 m-3}$$在$$( 0，+\infty)$$上为增函数，则$${{m}}$$的取值是（）

A.$${{m}{=}{2}}$$或$${{m}{=}{−}{1}}$$

B.$${{m}{=}{−}{1}}$$

C.$${{m}{=}{2}}$$

D.$$- 3 \leqslant m \leqslant1$$

5、['函数奇偶性的应用'， '单调性的定义与证明'， '幂函数的定义']

正确率40.0%函数$$f ( x )=( m^{2}-m-1 ) x^{4 m^{9}-m^{5}-1}$$是幂函数，对任意$$x_{1}， \， \， x_{2} \in( 0，+\infty)$$，且$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$，满足$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} > 0，$$若$$a， \， \， b \in R$$，且$$a+b > 0， \， \， a b < 0$$，则$$f ( a )+f ( b )$$的值$${{(}{)}}$$

A.恒大于$${{0}}$$

B.恒小于$${{0}}$$

C.等于$${{0}}$$

D.无法判断

6、['函数求值'， '函数求解析式'， '幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']

正确率60.0%幂函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象过点$$( 2， \ \sqrt{2} )$$，则$$f ~ ( {\bf1 6} ) ~=~ ($$）

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

D.$$\frac{1} {4}$$

7、['幂函数的定义']

正确率60.0%已知幂函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {\mu} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{a}$$的图象经过$$( 2， \ \sqrt{2} )$$，则$$f ( 4 ) ~=~ ($$）

A.$${{±}{2}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{−}{2}}$$

D.$${{8}}$$

8、['对数（型）函数过定点'， '对数的运算性质'， '幂函数的定义']

正确率60.0%已知函数$$y=l o g_{a} \， \， ( \， x-1 ) \， \， \，+4 \， \， ( \， a > 0$$且$${{a}{≠}{1}{）}}$$的图象恒过定点$${{P}}$$，点$${{P}}$$在幂函数$$y=f ~ ( x )$$的图象上，则$$\lg f ~ ( \mathrm{\bf~ 2} ) ~+\l g f ~ ( \mathrm{\bf~ 5} ) ~=~ ( \mathrm{\bf~$$）

A.$${{−}{2}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$${{1}}$$

9、['幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质']

正确率60.0%幂函数$$f \left( \begin{array} {c} {x} \\ \end{array} \right)=x^{\alpha}$$的图象过点$$( \frac{1} {2}， \ 2 )$$，则函数$${{f}{（}{x}{）}}$$为（）

A.奇函数且在$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上单调递增

B.奇函数且在$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上单调递减

C.偶函数且在$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上单调递增

D.偶函数且在$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上单调递减

10、['函数求值'， '函数求解析式'， '幂函数的定义']

正确率60.0%已知幂函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {\mu} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{a}$$的图象过点$$( 4， \ 2 )$$，则$${{f}{（}{9}{）}}$$的值为（）

A.$${{±}{3}}$$

B.$$\pm\frac{9} {2}$$

C.$${{3}}$$

D.$$\frac{9} {2}$$

1. 解析：

幂函数$$f(x)=(a^2-2a-2)x^{a^2+2a}$$在$$(0, +\infty)$$上单调递减，需满足以下条件：

1. 系数$$a^2-2a-2=1$$，解得$$a=3$$或$$a=-1$$。

2. 指数$$a^2+2a<0$$，代入$$a=3$$得$$15>0$$（不满足），代入$$a=-1$$得$$-1<0$$（满足）。

综上，$$a=-1$$，选C。

2. 解析：

幂函数$$f(x)=x^a$$过点$$(3, \frac{1}{3})$$，代入得$$3^a=\frac{1}{3}$$，解得$$a=-1$$。

函数$$g(x)=(2x-1)f(x)=\frac{2x-1}{x}=2-\frac{1}{x}$$在区间$$[\frac{1}{2}, 2]$$上单调递增，最小值为$$g(\frac{1}{2})=0$$，选B。

4. 解析：

幂函数$$f(x)=(m^2-m-1)x^{m^2+2m-3}$$在$$(0, +\infty)$$上为增函数，需满足：

1. 系数$$m^2-m-1=1$$，解得$$m=2$$或$$m=-1$$。

2. 指数$$m^2+2m-3>0$$，代入$$m=2$$得$$5>0$$（满足），代入$$m=-1$$得$$-4>0$$（不满足）。

综上，$$m=2$$，选C。

5. 解析：

幂函数$$f(x)=(m^2-m-1)x^{4m^9-m^5-1}$$满足$$m^2-m-1=1$$，解得$$m=2$$或$$m=-1$$。

由题意，$$f(x)$$在$$(0, +\infty)$$上单调递增，代入$$m=2$$得指数为$$4 \times 512 - 32 - 1 = 2015 > 0$$（满足），$$m=-1$$不满足。

故$$f(x)=x^{2015}$$为奇函数且在$$R$$上单调递增。由$$a+b>0$$且$$ab<0$$，不妨设$$a>0$$，$$b<0$$，则$$f(a)+f(b)=f(a)-f(-b)$$。由$$a>-b$$及单调性，$$f(a)>f(-b)$$，故$$f(a)+f(b)>0$$，选A。

6. 解析：

幂函数$$f(x)=x^a$$过点$$(2, \sqrt{2})$$，代入得$$2^a=\sqrt{2}$$，解得$$a=\frac{1}{2}$$。

故$$f(16)=16^{\frac{1}{2}}=4$$，选B。

7. 解析：

幂函数$$f(x)=x^a$$过点$$(2, \sqrt{2})$$，代入得$$2^a=\sqrt{2}$$，解得$$a=\frac{1}{2}$$。

故$$f(4)=4^{\frac{1}{2}}=2$$，选B。

8. 解析：

函数$$y=\log_a(x-1)+4$$恒过定点$$P(2, 4)$$。

设幂函数$$f(x)=x^a$$，代入$$P(2, 4)$$得$$2^a=4$$，解得$$a=2$$。

故$$f(2)=4$$，$$f(5)=25$$，$$\lg f(2) + \lg f(5) = \lg 4 + \lg 25 = \lg 100 = 2$$，选B。

9. 解析：

幂函数$$f(x)=x^\alpha$$过点$$(\frac{1}{2}, 2)$$，代入得$$\left(\frac{1}{2}\right)^\alpha=2$$，解得$$\alpha=-1$$。

故$$f(x)=\frac{1}{x}$$为奇函数且在$$(0, +\infty)$$上单调递减，选B。

10. 解析：

幂函数$$f(x)=x^a$$过点$$(4, 2)$$，代入得$$4^a=2$$，解得$$a=\frac{1}{2}$$。

故$$f(9)=9^{\frac{1}{2}}=3$$，选C。

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