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正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {\hfill} \\ {\hfill} \\ \end{matrix} \right) ~=~ ( \begin{matrix} {m^{2}-m-1} \\ \end{matrix} ) ~ \begin{matrix} {\jmath} \\ {\jmath} \\ \end{matrix} \left( \begin{matrix} {m^{2}+m-3} \\ \end{matrix} \right)$$是幂函数，对任意的$$x_{1}， x_{2} \in\ ( \ 0， \ \ +\infty)$$，且$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$，满足$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} < 0，$$若$$a， b \in{\bf R}$$，且$$f \left( \textit{a} \right)+f \left( \textit{b} \right)$$的值为负值，则下列结论可能成立的是（）
A
A.$$a+b > 0， \， \， a b < 0$$
B.$$a+b > 0， \， \， a b > 0$$
C.$$a+b < 0， \， \， \， a b < 0$$
D.以上都可能
2、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的证明'， '函数奇、偶性的图象特征'， '函数奇、偶性的定义'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质'， '幂函数的特征']正确率19.999999999999996%若幂函数$$y=( m^{2}-3 m+3 ) x^{m-2}$$的图象不过原点且在定义域上为奇函数，则（）
D
A.$$1 \leqslant m \leqslant2$$
B.$${{m}{=}{1}}$$或$${{m}{=}{2}}$$
C.$${{m}{=}{2}}$$
D.$${{m}{=}{1}}$$
3、['一元二次方程的解集'， '幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质'， '幂函数的特征']正确率60.0%幂函数$$f ( x )=( m^{2}-m-1 ) x^{m^{2}+2 m-3}$$在$$( 0，+\infty)$$上为增函数，则$${{m}}$$的取值是（）
C
A.$${{m}{=}{2}}$$或$${{m}{=}{−}{1}}$$
B.$${{m}{=}{−}{1}}$$
C.$${{m}{=}{2}}$$
D.$$- 3 \leqslant m \leqslant1$$
4、['命题的真假性判断'， '一般幂函数的图象和性质'， '幂函数的特征']正确率60.0%下列结论中，正确的是（）
C
A.幂函数的图象都通过点$$( \ 0， \ 0 ) \， \quad( \ 1， \ 1 )$$
B.幂函数的图象可以出现在第四象限
C.当幂指数$${{α}}$$取$$1， ~ 3， ~ \frac{1} {2}$$时，幂函数$${{y}{=}{{x}^{a}}}$$在定义域上是增函数
D.当幂指数$${{α}{=}{−}{1}}$$时，幂函数$${{y}{=}{{x}^{a}}}$$在定义域上是减函数
5、['函数求解析式'， '幂函数的定义'， '幂函数的特征']正确率60.0%幂函数 $${{y}}$$$${{=}}$$ $${{f}}$$( $${{x}}$$)的图象经过点$$( 2， 4 )$$，则 $${{f}}$$( $${{x}}$$)的解析式为$${{(}{)}}$$
B
A. $${{f}}$$( $${{x}}$$$${{)}{=}{2}}$$ $${{x}}$$
B. $${{f}}$$( $${{x}}$$$${{)}{=}}$$ $${{x}}$$$${^{2}}$$
C. $${{f}}$$( $${{x}}$$$${{)}{=}{2}}$$ $${^{x}}$$
D. $${{f}}$$( $${{x}}$$$${{)}{=}}$$ $${{l}{o}{g}}$$$${_{2}}$$ $${{x}}$$$${{+}{3}}$$
6、['函数单调性与奇偶性综合应用'， '幂函数的特征']正确率60.0%若幂函数$$y=f ( x )$$的图象经过点$$(-2， 4 )$$，则函数$$y=f ( x )$$在定义域内（）
C
A.为增函数
B.为减函数
C.为偶函数
D.为奇函数
7、['一般幂函数的图象和性质'， '幂函数的特征']正确率60.0%若幂函数$$f ( x )=x^{a}$$在$$( 0，+\infty)$$上是增函数，则$${{(}{)}}$$
A
A.$${{a}{>}{0}}$$
B.$${{a}{<}{0}}$$
C.$${{a}{=}{0}}$$
D.不能确定
8、['一般幂函数的图象和性质'， '幂函数的特征']正确率40.0%已知幂函数$$f ( x )=( m^{2}-2 m-2 ) \; x^{2-m}$$在$$( 0，+\infty)$$上单调递增，则$${{m}}$$的值为（）
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$或$${{3}}$$
C.$${{1}}$$或$${{−}{3}}$$
D.$${{−}{3}}$$
9、['幂函数的定义'， '幂函数的特征']正确率60.0%已知幂函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象经过点$$( 9， 3 )$$，若$$f ( m )=2$$，则$${{m}{=}{（}}$$）
B
A.$${{8}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
10、['一般幂函数的图象和性质'， '幂函数的特征']正确率60.0%幂函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象经过点$$A ~ ( \mathrm{\ensuremath{4， 2}} ) ~， ~ B ~ ( \mathrm{\ensuremath{8，}} ~ m )$$，则$${{m}{=}{（}}$$）
D
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
1. 函数为幂函数，设形式为 $$f(x) = x^k$$。由题设系数 $$m^2 - m - 1 = 1$$，解得 $$m^2 - m - 2 = 0$$，即 $$(m-2)(m+1)=0$$，所以 $$m=2$$ 或 $$m=-1$$。
又由 $$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} < 0$$ 知函数在 $$(0, +\infty)$$ 上递减，故指数 $$k = m^2 + m - 3$$ 需满足 $$k < 0$$。
当 $$m=2$$ 时，$$k=4+2-3=3>0$$（舍）；当 $$m=-1$$ 时，$$k=1-1-3=-3<0$$，符合。所以 $$f(x)=x^{-3}$$，为奇函数且在 $$(0,+\infty)$$ 递减。
由 $$f(a)+f(b)<0$$，即 $$a^{-3}+b^{-3}<0$$。讨论符号：若 $$a,b>0$$，则和为正；若一正一负，设 $$a>0,b<0$$，则 $$a^{-3}>0, b^{-3}<0$$，可能和为负；若 $$a,b<0$$，则 $$a^{-3}<0, b^{-3}<0$$，和为负。结合选项，A 满足 $$a+b>0, ab<0$$（一正一负且正数绝对值大），B 和 C 也可能成立（例如 B 中两正数和为正，不满足负值；C 中两负数和为负）。但严格验证：实际上 $$f(x)$$ 为奇函数，$$f(a)+f(b)<0$$ 等价于 $$f(a)<-f(b)=f(-b)$$，由递减性有 $$a>-b$$，即 $$a+b>0$$。所以 $$a+b>0$$ 必须成立，而 $$ab$$ 可正可负（例如 $$a=2,b=-1$$ 则 $$ab<0$$；$$a=1,b=0.5$$ 则 $$ab>0$$ 但此时和为正，不满足负值，矛盾？实际上需确保和为负：若 $$a,b>0$$，则 $$f(a)+f(b)>0$$；若 $$a,b<0$$，则 $$f(a)+f(b)<0$$ 且 $$a+b<0$$，与 $$a+b>0$$ 矛盾；唯一可能是一正一负且正数绝对值大，即 $$a+b>0, ab<0$$。所以仅 A 可能成立。
答案：A
2. 幂函数 $$y=(m^2-3m+3)x^{m-2}$$ 图象不过原点要求指数 $$m-2 \le 0$$，即 $$m \le 2$$；在定义域上为奇函数要求指数为奇数（或分数形式但定义域对称）。同时系数 $$m^2-3m+3=1$$（否则不是幂函数），解得 $$m^2-3m+2=0$$，即 $$(m-1)(m-2)=0$$，所以 $$m=1$$ 或 $$m=2$$。
当 $$m=1$$ 时，指数为 $$-1$$，函数为 $$y=x^{-1}$$，是奇函数，且不过原点；当 $$m=2$$ 时，指数为 $$0$$，函数为 $$y=1$$，是偶函数，不符合奇函数要求。所以只有 $$m=1$$ 成立。
答案：D
3. 幂函数 $$f(x)=(m^2-m-1)x^{m^2+2m-3}$$ 在 $$(0,+\infty)$$ 上为增函数，需满足：系数 $$m^2-m-1=1$$，解得 $$m^2-m-2=0$$，即 $$m=2$$ 或 $$m=-1$$；同时指数 $$m^2+2m-3 > 0$$（因为增函数要求指数为正）。
当 $$m=2$$ 时，指数为 $$4+4-3=5>0$$，符合；当 $$m=-1$$ 时，指数为 $$1-2-3=-4<0$$，不符合（此时函数递减）。所以只有 $$m=2$$ 成立。
答案：C
4. A 错误，例如 $$y=x^{-1}$$ 不过 $$(0,0)$$；B 错误，幂函数图象不会出现在第四象限；C 正确，$$y=x^1$$, $$y=x^3$$, $$y=x^{1/2}$$ 在定义域内均为增函数；D 错误，$$y=x^{-1}$$ 在定义域 $$(-\infty,0) \cup (0,+\infty)$$ 上不是减函数（例如 $$-1<0$$ 但 $$f(-1)=-1, f(0.5)=2$$，不满足减函数）。
答案：C
5. 设幂函数 $$f(x)=x^k$$，过点 $$(2,4)$$，则 $$2^k=4$$，解得 $$k=2$$，所以 $$f(x)=x^2$$。
答案：B
6. 设幂函数 $$f(x)=x^k$$，过点 $$(-2,4)$$，则 $$(-2)^k=4$$，解得 $$k=2$$（因为 $$(-2)^2=4$$），所以 $$f(x)=x^2$$，为偶函数。
答案：C
7. 幂函数 $$f(x)=x^a$$ 在 $$(0,+\infty)$$ 上是增函数，当且仅当 $$a>0$$。
答案：A
8. 幂函数 $$f(x)=(m^2-2m-2)x^{2-m}$$ 在 $$(0,+\infty)$$ 上单调递增，需满足：系数 $$m^2-2m-2=1$$，解得 $$m^2-2m-3=0$$，即 $$(m-3)(m+1)=0$$，所以 $$m=3$$ 或 $$m=-1$$；同时指数 $$2-m > 0$$（因为增函数要求指数为正），即 $$m<2$$。
当 $$m=3$$ 时，$$m<2$$ 不成立；当 $$m=-1$$ 时，满足 $$m<2$$。所以只有 $$m=-1$$ 成立。
答案：A
9. 设幂函数 $$f(x)=x^k$$，过点 $$(9,3)$$，则 $$9^k=3$$，即 $$3^{2k}=3^1$$，所以 $$2k=1$$, $$k=1/2$$，即 $$f(x)=x^{1/2}$$。由 $$f(m)=2$$ 得 $$m^{1/2}=2$$，所以 $$m=4$$。
答案：B
10. 设幂函数 $$f(x)=x^k$$，过点 $$A(4,2)$$，则 $$4^k=2$$，即 $$2^{2k}=2^1$$，所以 $$2k=1$$, $$k=1/2$$，即 $$f(x)=x^{1/2}$$。过点 $$B(8,m)$$，则 $$8^{1/2}=m$$，即 $$m=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$。
答案：D