五个常见幂函数的图象与性质-幂函数知识点回顾基础自测题解析-四川省等高一数学必修,平均正确率66.0%

1、['五个常见幂函数的图象与性质'， '幂函数的定义']

正确率60.0%幂函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图像经过点$${{(}{2}{，}{\sqrt {2}}{)}{，}}$$则$${{f}{(}{x}{)}}$$（）

A.是偶函数，且在$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$上单调递增

B.是偶函数，且在$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$上单调递减

C.是奇函数，且在$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$上单调递减

D.既不是奇函数，也不是偶函数，且在$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$上单调递增

2、['五个常见幂函数的图象与性质'， '一般幂函数的图象和性质']

正确率60.0%幂函数$$f ( x )=( m^{2}-6 m+9 ) x^{m^{2}-3 m+1}$$在$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$上单调递增，则$${{m}}$$的值为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{2}}$$或$${{4}}$$

3、['函数奇、偶性的图象特征'， '五个常见幂函数的图象与性质']

正确率80.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{−}{{x}^{3}}}$$的图象关于（）

A.$${{y}}$$轴对称

B.直线$${{y}{=}{−}{x}}$$对称

C.坐标原点对称

D.直线$${{y}{=}{x}}$$对称

5、['五个常见幂函数的图象与性质'， '幂指对综合比较大小'， '幂函数的定义'， '利用函数单调性比较大小']

正确率40.0%已知点$${{(}{m}{，}{9}{)}}$$在幂函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{(}{m}{−}{2}{)}{{x}^{n}}}$$的图象上，设$$a=f \left( m^{-\frac{1} {3}} \right)， b=f \left( \operatorname{l n} \frac{1} {3} \right)$$$$c=f ( \frac{\sqrt{2}} {2} )$$，则$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$的大小关系为（）

A.$${{a}{<}{c}{<}{b}}$$

B.$${{b}{<}{c}{<}{a}}$$

C.$${{c}{<}{a}{<}{b}}$$

D.$${{b}{<}{a}{<}{c}}$$

6、['五个常见幂函数的图象与性质'， '幂函数的定义'， '一般幂函数的图象和性质'， '幂函数的特征']

正确率40.0%已知幂函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{x}^{a}}{（}{a}{∈}{R}{）}}$$的图象过点$${（{{1}{6}}{，}{2}{）}}$$，若$${{f}{（}{m}{）}{=}{3}}$$，则实数$${{m}}$$的值为（）

A.$${{9}}$$

B.$${{1}{2}}$$

C.$${{2}{7}}$$

D.$${{8}{1}}$$

7、['对数（型）函数的单调性'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '利用函数单调性比较大小']

正确率60.0%$${{1}{0}}$$.设$$a=0. 6^{\frac{1} {2}} \，， \， \， \， b=0. 5^{\frac{1} {4}} \，， \， \， \， c=\operatorname{l g} 0. 4$$，则$${{(}{)}}$$

A.$${{a}{<}{b}{<}{c}}$$

B.$${{a}{<}{c}{<}{b}}$$

C.$${{c}{<}{b}{<}{a}}$$

D.$${{c}{<}{a}{<}{b}}$$

8、['函数求值域'， '指数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的值域'， '五个常见幂函数的图象与性质']

正确率60.0%下列函数中，值域为$${{[}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$的是（）

A.$$y=x^{\frac{1} {2}}$$

B.$${{y}{=}{{3}^{x}}}$$

C.$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{x}}$$

D.$$y=\frac{x} {x-1}$$

9、['五个常见幂函数的图象与性质'， '幂函数的定义']

正确率60.0%已知幂函数$${{f}{（}{x}{）}}$$过点$$( 2， ~ \frac{\sqrt{2}} {2} )$$，则（）

A.$$f \left( \begin{array} {c} {x} \\ \end{array} \right)=x^{-\frac{1} {2}}$$，且在$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$上单调递减

B.$$f \left( \begin{array} {c} {x} \\ \end{array} \right)=x^{-\frac{1} {2}}$$，且在$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$单调递增

C.$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{\frac{1} {2}}$$且在$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$上单调递减

D.$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{\frac{1} {2}}$$，且在$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$上单调递增

1. 解析：幂函数的一般形式为 $$f(x) = x^a$$。已知图像经过点 $$(2, \sqrt{2})$$，代入得 $$2^a = \sqrt{2}$$，即 $$2^a = 2^{1/2}$$，所以 $$a = \frac{1}{2}$$。因此 $$f(x) = x^{1/2}$$。此函数定义域为 $$[0, +\infty)$$，既不是奇函数也不是偶函数，且在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递增。答案为 D。

2. 解析：幂函数 $$f(x) = (m^2 - 6m + 9)x^{m^2 - 3m + 1}$$ 的系数 $$m^2 - 6m + 9 = (m - 3)^2 \neq 0$$，所以 $$m \neq 3$$。在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递增需满足指数 $$m^2 - 3m + 1 > 0$$ 且系数 $$(m - 3)^2 > 0$$。解不等式 $$m^2 - 3m + 1 > 0$$ 得 $$m < \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$$ 或 $$m > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$$。结合 $$m \neq 3$$，验证选项中的 $$m = 2$$ 和 $$m = 4$$ 是否满足： - 当 $$m = 2$$ 时，指数为 $$4 - 6 + 1 = -1 < 0$$，不满足； - 当 $$m = 4$$ 时，指数为 $$16 - 12 + 1 = 5 > 0$$，满足。因此答案为 C（$$m = 4$$）。

3. 解析：函数 $$f(x) = -x^3$$ 是奇函数，因为 $$f(-x) = -(-x)^3 = x^3 = -f(x)$$。奇函数的图像关于坐标原点对称。答案为 C。

5. 解析：幂函数 $$f(x) = (m - 2)x^n$$ 经过点 $$(m, 9)$$，代入得 $$(m - 2)m^n = 9$$。因为是幂函数，系数 $$m - 2 = 1$$，所以 $$m = 3$$，且 $$3^n = 9$$，得 $$n = 2$$。因此 $$f(x) = x^2$$。比较 $$a = f(3^{-1/3}) = 3^{-2/3}$$，$$b = f(\ln \frac{1}{3}) = (\ln \frac{1}{3})^2$$，$$c = f(\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$$。由于 $$3^{-2/3} \approx 0.48$$，$$(\ln \frac{1}{3})^2 \approx 1.21$$，所以 $$a < c < b$$。答案为 A。

6. 解析：幂函数 $$f(x) = x^a$$ 经过点 $$(16, 2)$$，代入得 $$16^a = 2$$，即 $$2^{4a} = 2$$，所以 $$a = \frac{1}{4}$$。若 $$f(m) = 3$$，则 $$m^{1/4} = 3$$，解得 $$m = 3^4 = 81$$。答案为 D。

7. 解析：比较 $$a = 0.6^{1/2}$$，$$b = 0.5^{1/4}$$，$$c = \lg 0.4$$： - $$a \approx 0.7746$$，$$b \approx 0.8409$$，$$c \approx -0.3979$$。因此 $$c < a < b$$。答案为 D。

8. 解析：选项分析： - A：$$y = x^{1/2}$$ 的值域为 $$[0, +\infty)$$； - B：$$y = 3^x$$ 的值域为 $$(0, +\infty)$$； - C：$$y = \log_2 x$$ 的值域为 $$(-\infty, +\infty)$$； - D：$$y = \frac{x}{x - 1}$$ 的值域为 $$(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$$。只有 A 符合要求，答案为 A。

9. 解析：设幂函数 $$f(x) = x^a$$，经过点 $$(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$$，代入得 $$2^a = \frac{\sqrt{2}}{2} = 2^{-1/2}$$，所以 $$a = -\frac{1}{2}$$。因此 $$f(x) = x^{-1/2}$$，在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递减。答案为 A。

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