从集合角度看充分、必要条件-1.5 充分条件与必要条件知识点专题基础选择题自测题答案-上海市等高一数学必修,平均正确率60.0%

1. 已知$$p$$：$$x \geq k$$，$$q$$：$$(2-x)(x+1) < 0$$，若$$p$$是$$q$$的充分不必要条件，则$$k$$的取值范围是（）。

解不等式$$q$$：$$(2-x)(x+1) < 0$$，解得$$x < -1$$或$$x > 2$$。

$$p$$是$$q$$的充分不必要条件，即$$p \Rightarrow q$$但$$q \nRightarrow p$$。

$$p$$：$$x \geq k$$，要使其能推出$$x < -1$$或$$x > 2$$，需$$k > 2$$（若$$k \leq 2$$，则$$x \geq k$$可能包含$$[-1,2]$$区间，不满足$$q$$）。

验证：当$$k > 2$$时，$$x \geq k$$必满足$$x > 2$$，即$$q$$成立；但$$q$$成立时（$$x < -1$$或$$x > 2$$）不一定有$$x \geq k$$（如$$x < -1$$时）。

故$$k > 2$$，选D。

2. 不等式$$2x-4 \geq 0$$成立的一个充分不必要条件是（）。

解不等式：$$2x-4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$$。

充分不必要条件是指该条件能推出$$x \geq 2$$，但$$x \geq 2$$不能推出该条件。

选项A：$$x \geq 0$$，不能推出$$x \geq 2$$（如$$x=1$$）。

选项B：$$x \geq 1$$，不能推出$$x \geq 2$$（如$$x=1.5$$）。

选项C：$$x \geq 2$$，是充要条件。

选项D：$$x \geq 3$$，能推出$$x \geq 2$$，但$$x \geq 2$$不能推出$$x \geq 3$$（如$$x=2.5$$），故是充分不必要条件。

选D。

3. 已知$$p$$：$$|x+1| > 2$$，$$q$$：$$\frac{1}{3-x} > 1$$，则$$\neg p$$是$$\neg q$$的（）。

解$$p$$：$$|x+1| > 2 \Rightarrow x+1 < -2$$或$$x+1 > 2 \Rightarrow x < -3$$或$$x > 1$$。

解$$q$$：$$\frac{1}{3-x} > 1$$，首先$$3-x \neq 0$$即$$x \neq 3$$。

当$$3-x > 0$$即$$x < 3$$时，不等式化为$$1 > 3-x \Rightarrow x > 2$$，与$$x < 3$$交集得$$2 < x < 3$$。

当$$3-x < 0$$即$$x > 3$$时，不等式化为$$1 < 3-x \Rightarrow x < 2$$，与$$x > 3$$无解。

故$$q$$：$$2 < x < 3$$。

$$\neg p$$：$$-3 \leq x \leq 1$$，$$\neg q$$：$$x \leq 2$$或$$x \geq 3$$。

$$\neg p \Rightarrow \neg q$$？取$$x=0$$（属于$$\neg p$$）也属于$$\neg q$$（$$x \leq 2$$），但$$\neg q$$包含$$x \geq 3$$，$$\neg p$$不能推出。

$$\neg q \Rightarrow \neg p$$？取$$x=4$$（属于$$\neg q$$）不属于$$\neg p$$（$$4 > 1$$）。

故既不充分也不必要，选D。

4. “$$x > 4$$”是“$$x > 2$$”的（）。

若$$x > 4$$，则必有$$x > 2$$，故充分。

但$$x > 2$$不一定有$$x > 4$$（如$$x=3$$），故不必要。

选A。

5. 已知集合$$A=\{x |-1 < x < 1 \}$$，$$B=\{x |-a < x-b < a \}$$。若“$$a=1$$”是“$$A \cap B \neq \varnothing$$”的充分条件，则实数$$b$$的取值范围是（）。

当$$a=1$$时，$$B=\{x | -1 < x-b < 1 \} = \{x | b-1 < x < b+1 \}$$。

$$A \cap B \neq \varnothing$$要求$$(b-1, b+1)$$与$$(-1,1)$$有交集。

即需$$b-1 < 1$$且$$b+1 > -1$$，即$$b < 2$$且$$b > -2$$，即$$-2 < b < 2$$。

但“$$a=1$$”是充分条件，即当$$a=1$$时必有$$A \cap B \neq \varnothing$$，即对任意$$b$$需满足？实际上$$a=1$$时，$$B$$的区间长度固定，需$$b$$使交集非空。

但充分条件要求：若$$a=1$$，则无论$$b$$如何都有$$A \cap B \neq \varnothing$$？这不可能，因为$$b$$可很大使$$B$$与$$A$$无交。

重新理解： “$$a=1$$”是“$$A \cap B \neq \varnothing$$”的充分条件，即$$a=1$$能推出$$A \cap B \neq \varnothing$$，这意味着当$$a=1$$时，对于该$$b$$，必须有$$A \cap B \neq \varnothing$$。

即$$b$$需满足$$-2 < b < 2$$（如上），但选项中有C.$$-2 < b < 2$$。

选C。

6. 已知$$p: -1 < 2x-3 < 1$$，$$q: x(x-3) < 0$$，则$$p$$是$$q$$的（）。

解$$p$$：$$-1 < 2x-3 < 1 \Rightarrow 2 < 2x < 4 \Rightarrow 1 < x < 2$$。

解$$q$$：$$x(x-3) < 0 \Rightarrow 0 < x < 3$$。

$$p$$（$$1 < x < 2$$）能推出$$q$$（$$0 < x < 3$$），故充分。

但$$q$$不能推出$$p$$（如$$x=0.5$$满足$$q$$但不满足$$p$$），故不必要。

选A。

7. 已知命题$$p: A=\{x | x^{2}-5x+6 < 0 \}$$，命题$$q: B=\left\{x | y=\lg (2x-a), a \in \mathbf{R} \right\}$$。若命题$$q$$是$$p$$的必要不充分条件，则$$a$$的取值范围是（）。

解$$p$$：$$x^{2}-5x+6 < 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) < 0 \Rightarrow 2 < x < 3$$。

$$q$$：$$y=\lg(2x-a)$$定义域为$$2x-a > 0 \Rightarrow x > \frac{a}{2}$$，故$$B=\{x | x > \frac{a}{2} \}$$。

$$q$$是$$p$$的必要不充分条件，即$$p \Rightarrow q$$但$$q \nRightarrow p$$。

$$p \Rightarrow q$$要求$$(2,3) \subseteq (\frac{a}{2}, +\infty)$$，即$$\frac{a}{2} \leq 2 \Rightarrow a \leq 4$$。

$$q \nRightarrow p$$要求存在$$x$$满足$$x > \frac{a}{2}$$但不在$$(2,3)$$中，若$$a \leq 4$$，取$$x=4$$（若$$\frac{a}{2} < 4$$）即可。

同时需定义域有效，$$a$$为实数。

故$$a \leq 4$$，选D。

8. 下列条件中，使“$$x^{2}-2x < 0$$”成立的充分不必要条件是（）。

解不等式：$$x^{2}-2x < 0 \Rightarrow x(x-2) < 0 \Rightarrow 0 < x < 2$$。

充分不必要条件是指该条件能推出$$0 < x < 2$$，但$$0 < x < 2$$不能推出该条件。

选项A：$$0 < x < 1$$，能推出$$0 < x < 2$$，但$$0 < x < 2$$不能推出$$0 < x < 1$$（如$$x=1.5$$），故是充分不必要条件。

选项B：$$0 < x < 2$$是充要条件。

选项C：$$0 < x < 3$$不能推出$$0 < x < 2$$（如$$x=2.5$$）。

选项D：$$-1 < x < 1$$不能推出$$0 < x < 2$$（如$$x=-0.5$$）。

选A。

9. 已知条件$$p: |x+1| > 2$$，条件$$q: x > a$$，且$$q$$是$$p$$的充分不必要条件，则$$a$$的取值范围是（）。

解$$p$$：$$|x+1| > 2 \Rightarrow x+1 < -2$$或$$x+1 > 2 \Rightarrow x < -3$$或$$x > 1$$。

$$q$$是$$p$$的充分不必要条件，即$$q \Rightarrow p$$但$$p \nRightarrow q$$。

$$q: x > a$$，要能推出$$x < -3$$或$$x > 1$$，需$$a \geq 1$$（若$$a < 1$$，则$$x > a$$可能包含$$(-3,1]$$部分，不满足$$p$$）。

当$$a \geq 1$$时，$$x > a \geq 1$$，必满足$$x > 1$$，即$$p$$成立；但$$p$$成立时（$$x < -3$$或$$x > 1$$）不一定有$$x > a$$（如$$x < -3$$时）。

故$$a \geq 1$$，选D。

10. 若条件$$p: |x| \leq 2$$，条件$$q: x \leq a$$，且$$p$$是$$q$$的充分不必要条件，则$$a$$的取值范围是（）。

$$p: |x| \leq 2 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2$$。

$$p$$是$$q$$的充分不必要条件，即$$p \Rightarrow q$$但$$q \nRightarrow p$$。

$$p \Rightarrow q$$要求$$[-2,2] \subseteq (-\infty, a]$$，即$$a \geq 2$$。

当$$a \geq 2$$时，$$p$$成立则$$x \leq 2 \leq a$$，即$$q$$成立；但$$q$$成立时（$$x \leq a$$）不一定有$$p$$成立（如$$x=-3$$满足$$q$$但不满足$$p$$）。

故$$a \geq 2$$，选A。