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正确率60.0%下列四个命题：
$${①}$$对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；
$${②}$$若$${{A}{、}{B}}$$为两个事件，则$$P \ ( \ A \cup B ) \ =P \ ( \ A ) \ +P \ ( \ B )$$；
$${③}$$若事件$$A. ~ B. ~ C$$两两互斥，则$$P ~ ( \textit{A} ) ~+P ~ ( \textit{B} ) ~+P ~ ( \textit{C} ) ~=1$$；
$${④}$$若事件$${{A}{、}{B}}$$满足$$P ~ ( \textit{A} ) ~+P ~ ( \textit{B} ) ~=1$$且$$P \ ( \textit{A} B ) \textit{}=0$$，则$${{A}{、}{B}}$$是对立事件．
其中错误命题的个数是（）
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
2、['命题的否定'， '充分、必要条件的判定'， '命题的真假性判断'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%下列四个命题，真命题的个数是（）
$${①}$$若$${{x}{∈}{R}}$$，则$$x+\frac{1} {x} \geqslant2$$
$$\ ) \; a c^{2} > b c^{2}$$的充分不必要条件是$${{a}{>}{b}}$$
$${③}$$命题$$\exists n \in N， \ n^{2} > 2^{n} "$$的否定为$$\mathrm{` `} \forall n \in N， \; n^{2} \leqslant2^{n \prime\prime}$$
B
A.$${{0}}$$个
B.$${{1}}$$个
C.$${{2}}$$个
D.$${{3}}$$个
3、['数量积的性质'， '向量数乘的定义与运算律'， '命题的真假性判断']正确率60.0%对于向量$$\rightharpoonup， ~ \overrightarrow{b}， ~ \overrightarrow{c}$$和实数$${{λ}{，}}$$下列命题中正确的是（）
B
A.若$$\rightharpoonup\cdot\overrightarrow{b}=0，$$则$${{a}^{⇀}{=}{{0}^{⇀}}}$$或$${{b}^{⇀}{=}{{0}^{⇀}}}$$
B.若$$\lambda\rightharpoonup=\overrightarrow{0}，$$则$${{λ}{=}{0}}$$或$${{a}^{⇀}{=}{{0}^{⇀}}}$$
C.若$$\overrightarrow{a}^{2}=\overrightarrow{b}^{2}$$，则$${{a}^{⇀}{=}{{b}^{⇀}}}$$或$$\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$$
D.若$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{c}，$$则$${{b}^{⇀}{=}{{c}^{⇀}}}$$
4、['直线与平面垂直的判定定理'， '命题的真假性判断'， '直线与平面平行的判定定理']正确率40.0%已知$${{m}{，}{n}}$$是两条直线，$${{α}{，}{β}}$$是两个平面．给出下列命题：$${①}$$若$$m \perp\alpha， ~ m \perp n$$，则
若$$m \perp\beta， ~ n \perp\beta$$，则$$n / \! / m_{;}$$若$$m \perp\alpha， ~ m \perp\beta$$，则$$\alpha/ / \beta;$$若$$\alpha/ / \beta， ~ m \subset\alpha， ~ n \subset\beta，$$则$$n / / m ; \， \circledast\alpha\perp\beta， \， \， m \subset\alpha， \， \， n \subset\beta$$，则$${{m}{⊥}{n}}$$，则命题正确的个数为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
5、['命题的真假性判断'， '直线方程的综合应用']正确率60.0%下列说法的错误的是$${{(}{)}}$$
C
A.经过定点$$P ( x_{0}， y_{0} )$$的倾斜角不为$${{9}{0}^{∘}}$$的直线的方程都可以表示为$$y-y_{0}=k ( x-x_{0} )$$
B.经过定点$$A ( 0， b )$$的倾斜角不为$${{9}{0}^{∘}}$$的直线的方程都可以表示为$$y=k x+b$$
C.不经过原点的直线的方程都可以表示为$$\frac{x} {a}+\frac{y} {b}=1$$
D.经过任意两个不同的点$$P_{1} ( x_{1}， y_{1} )， ~ P_{2} ( x_{2}， y_{2} )$$直线的方程都可以表示为$$( y-y_{1} ) ( x_{2}-x_{1} )=( x-x_{1} ) ( y_{2}-y_{1} )$$
6、['等比数列的通项公式'， '命题的真假性判断'， '方程的解集']正确率60.0%若等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的公比为$${{q}}$$，则关于$${{x}{、}{y}}$$的二元一次方程组$$\left\{\begin{aligned} {a_{1} x+a_{3} y} & {{}=2，} \\ {a_{2} x+a_{4} y} & {{}=1，} \\ \end{aligned} \right.$$的解的情况下列说法正确的是（）
C
A.对任意$$q \in\textbf{R} ( \ q \neq0 )$$，方程组都有唯一解
B.对任意$$q \in\textbf{R} ( \ q \neq0 )$$，方程组都无解
C.当且仅当$$q=\frac{1} {2}$$时，方程组有无穷多解
D.当且仅当$$q=\frac{1} {2}$$时，方程组无解
7、['命题的真假性判断'， '不等式的性质']正确率40.0%已知命题$$p_{:} \; \; \exists a， \; \; b \in R， \; \; a > b$$且$$\frac{1} {a} > \frac{1} {b}，$$命题$$q \colon\ \forall x \in R， \ \ \operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x < \frac{3} {2}$$．下列命题是真命题的是（）
A
A.$${{p}{∧}{q}}$$
B.$${￢{p}{∧}{q}}$$
C.$${{p}{∧}{￢}{q}}$$
D.$$\sqcap p \wedge\sqcap q$$
8、['全称量词命题、存在量词命题的真假判断'， '命题的真假性判断']正确率60.0%下列命题中为真命题的是
D
A.
B.
C.
D.
正确率60.0%命题$$\begin{matrix} {` ` \exists x_{0}} \\ \end{matrix} \in R$$，使得$$x_{0}^{2}+m x_{0}+2 m+5 < 0 "$$为假命题的充要条件是（）
A
A.$$[-2， 1 0 ]$$
B.$$(-2， 1 0 )$$
C.$$(-\infty，-2 ) \cup( 1 0，+\infty)$$
D.$$(-\infty，-2 ] \cup[ 1 0，+\infty)$$
10、['全称量词命题、存在量词命题的真假判断'， '命题的真假性判断']正确率40.0%下列命题中，假命题的个数为（）
$${①}$$对所有正数$$p， ~ \sqrt{p} < p$$；$${②}$$若方程$$x^{2}+2 x+a=0 \ ( \ a \in R )$$有实数解，则$${{a}{⩽}{2}}$$；
$${③}$$存在实数$${{x}}$$，使得$$- 1 \leqslant x+1 \leqslant1$$且$${{x}^{2}{>}{4}}$$；$${④{3}{⩾}{3}}$$．
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
### 1. 错误命题的个数 **解析：** ① **正确**。对立事件是互斥事件的特例，但互斥事件不一定是对立事件（除非它们的并集是整个样本空间）。 ② **错误**。$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$ 仅在 $$A$$ 和 $$B$$ 互斥时成立，一般情况下为 $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$。 ③ **错误**。两两互斥并不保证 $$P(A) + P(B) + P(C) = 1$$，除非 $$A, B, C$$ 构成整个样本空间。 ④ **错误**。$$P(A) + P(B) = 1$$ 且 $$P(AB) = 0$$ 说明 $$A$$ 和 $$B$$ 互斥且覆盖整个样本空间，是对立事件。但题目描述为“错误命题”，因此④实际上是正确的。 综上，错误命题是②和③，共 **2个**。 **答案：** $$C$$ --- ### 2. 真命题的个数 **解析：** ① **错误**。$$x + \frac{1}{x} \geq 2$$ 仅在 $$x > 0$$ 时成立，若 $$x < 0$$，不等式方向相反。 ② **错误**。$$ac^2 > bc^2$$ 的充要条件是 $$a > b$$ 且 $$c \neq 0$$，题目描述为“充分不必要”，不准确。 ③ **正确**。命题的否定形式正确。 综上，只有 **1个** 真命题。 **答案：** $$B$$ --- ### 3. 向量命题的正确性 **解析：** - **A**：错误。若 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$，可能是 $$\vec{a}$$ 与 $$\vec{b}$$ 垂直，不一定为零向量。 - **B**：正确。$$\lambda \vec{a} = \vec{0}$$ 时，$$\lambda = 0$$ 或 $$\vec{a} = \vec{0}$$。 - **C**：错误。$$\vec{a}^2 = \vec{b}^2$$ 仅说明 $$|\vec{a}| = |\vec{b}|$$，方向可能不同。 - **D**：错误。$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$$ 不能推出 $$\vec{b} = \vec{c}$$（除非 $$\vec{a}$$ 是非零向量且与 $$\vec{b} - \vec{c}$$ 垂直）。 **答案：** $$B$$ --- ### 4. 正确命题的个数 **解析：** ① **错误**。$$m \perp \alpha$$ 且 $$m \perp n$$ 不能推出 $$n \parallel \alpha$$（$$n$$ 可能在 $$\alpha$$ 内或外）。 ② **正确**。垂直于同一平面的两条直线平行。 ③ **正确**。垂直于同一直线的两个平面平行。 ④ **错误**。若 $$\alpha \parallel \beta$$，$$m \subset \alpha$$ 和 $$n \subset \beta$$，$$m$$ 和 $$n$$ 可能平行或异面。 ⑤ **错误**。若 $$\alpha \perp \beta$$，$$m \subset \alpha$$ 和 $$n \subset \beta$$，$$m$$ 和 $$n$$ 不一定垂直。 综上，**2个** 命题正确。 **答案：** $$B$$ --- ### 5. 错误说法 **解析：** - **A**：正确。斜率为 $$k$$ 的直线可表示为 $$y - y_0 = k(x - x_0)$$。 - **B**：正确。斜率为 $$k$$ 且过 $$(0, b)$$ 的直线为 $$y = kx + b$$。 - **C**：错误。不经过原点的直线不一定能表示为截距式（如平行于坐标轴的直线）。 - **D**：正确。两点式方程适用于任意两点。 **答案：** $$C$$ --- ### 6. 方程组解的情况 **解析：** 将 $$a_2 = a_1 q$$ 和 $$a_4 = a_3 q$$ 代入方程组： $$ \begin{cases} a_1 x + a_3 y = 2, \\ a_1 q x + a_3 q y = 1. \end{cases} $$ 第二式可化为 $$q(a_1 x + a_3 y) = 1$$，即 $$q \cdot 2 = 1$$，解得 $$q = \frac{1}{2}$$。此时方程组有无穷多解；否则无解。 **答案：** $$D$$ --- ### 7. 真命题 **解析：** - **命题 $$p$$**：真。例如 $$a = 2$$，$$b = -1$$ 满足 $$a > b$$ 且 $$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$。 - **命题 $$q$$**：真。因 $$\sin x + \cos x \leq \sqrt{2} < \frac{3}{2}$$。 因此，$$p \land q$$ 为真。 **答案：** $$A$$ --- ### 8. 真命题 **解析：** - **A**：假。$$x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1 \geq 1 > 0$$。 - **B**：假。方程 $$x^2 + x + 1 = 0$$ 无实数解。 - **C**：假。当 $$x = \frac{1}{2}$$ 时，$$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$$。 - **D**：真。$$-x^2 - 1 \leq -1 < 0$$。 **答案：** $$D$$ --- ### 9. 充要条件 **解析：** 命题为假等价于 $$x^2 + m x + 2m + 5 \geq 0$$ 对所有 $$x \in \mathbb{R}$$ 成立，即判别式 $$\Delta \leq 0$$： $$ m^2 - 4(2m + 5) \leq 0 \implies m^2 - 8m - 20 \leq 0 \implies m \in [-2, 10]. $$ **答案：** $$A$$ --- ### 10. 假命题的个数 **解析：** ① **假**。例如 $$p = \frac{1}{4}$$ 时，$$\sqrt{p} = \frac{1}{2} > \frac{1}{4}$$。 ② **真**。判别式 $$\Delta = 4 - 4a \geq 0 \implies a \leq 1$$（题目描述为 $$a \leq 2$$，不严谨，但可能是笔误）。 ③ **假**。$$x+1 \in [-1, 1] \implies x \in [-2, 0]$$，此时 $$x^2 \leq 4$$。 ④ **真**。$$3 \geq 3$$ 成立。 综上，假命题是①和③，共 **2个**。 **答案：** $$B$$ 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱