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正确率60.0%若将函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象向右平移$${{1}}$$个单位长度后得到$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象，则称$${{g}{（}{x}{）}}$$为$${{f}{（}{x}{）}}$$的单位间隔函数，那么函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{s}{i}{n}}{{\frac^{{π}{x}}{2}}}}$$的单位间隔函数为（）
D
A.$${{g}{（}{x}{）}{=}{{s}{i}{n}}{（}{{\frac^{{π}{x}}{2}}}{+}{1}{）}}$$
B.$${{g}{（}{x}{）}{=}{{c}{o}{s}}{{\frac^{{π}{x}}{2}}}}$$
C.$${{g}{（}{x}{）}{=}{{s}{i}{n}}{（}{{\frac^{{π}{x}}{2}}}{+}{{\frac{1}{2}}}{）}}$$
D.$${{g}{（}{x}{）}{=}{−}{{c}{o}{s}}{{\frac^{{π}{x}}{2}}}}$$
2、['集合的新定义问题'， '分类加法计数原理']正确率40.0%已知集合$${{A}{=}{{\{}{{(}{x}{，}{y}{)}}{|}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{⩽}{1}{，}{x}{，}{y}{∈}{Z}{\}}}{，}{B}{=}{{\{}{{(}{x}{，}{y}{)}}{|}{{|}{x}{|}}{⩽}{2}{，}{{|}{y}{|}}{⩽}{2}{，}{x}{，}{y}{∈}{Z}{\}}}}$$，定义集合$${{A}{⊕}{B}{=}{{\{}{{(}{{x}_{1}}{+}{{x}_{2}}{，}{{y}_{1}}{+}{{y}_{2}}{)}}{|}{{(}{{x}_{1}}{，}{{y}_{1}}{)}}{∈}{A}{，}{{(}{{x}_{2}}{，}{{y}_{2}}{∈}{B}{)}}{\}}}}$$，则$${{A}{⊕}{B}}$$中元素的个数为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{3}{0}}$$
B.$${{4}{5}}$$
C.$${{4}{9}}$$
D.$${{7}{7}}$$
3、['集合的新定义问题'， '集合的（真）子集个数问题'， '等差数列的基本量']正确率19.999999999999996%以区间$${{(}{0}{，}{m}{)}}$$内的整数$${{(}{m}{>}{1}}$$，且$${{m}{∈}{N}{)}}$$为分子，以$${{m}}$$为分母的分数组成集合$${{A}_{1}}$$，其所有元素之和为$${{a}_{1}}$$;以区间$${{(}{0}{，}{{m}^{2}}{)}}$$内的整数$${{(}{m}{>}{1}}$$，且$${{m}{∈}{N}{)}}$$为分子，以$${{m}^{2}}$$为分母组成不属于$${{A}_{1}}$$的分数集合$${{A}_{2}}$$，其所有元素之和为$${{a}_{2}{…}{…}}$$以此类推，以区间$${{(}{0}{，}{{m}^{n}}{)}}$$内的整数$${{(}{m}{>}{1}}$$，且$${{m}{∈}{N}{)}}$$为分子，以$${{m}^{n}}$$为分母组成不属于集合$${{A}_{1}{，}{{A}_{2}}{，}{…}{，}{{A}{{n}{−}{1}}}}$$的分数集合$${{A}_{n}}$$，其所有元素之和为$${{a}_{n}}$$，则$${{a}_{1}{+}{{a}_{2}}{+}{{a}_{3}}{+}{…}{+}{{a}_{n}}{=}}$$（）
B
A.$${{\frac^{{m}^{n}{+}{1}}{2}}}$$
B.$${{\frac^{{m}^{n}{−}{1}}{2}}}$$
C.$${{\frac^{{m}^{n}}{2}}}$$
D.$${{\frac{n}{2}}}$$
4、['有理数指数幂的运算性质'， '集合的新定义问题'， '集合的（真）子集个数问题'， '集合的混合运算']正确率19.999999999999996%对于任何集合$${{S}}$$，用$${{|}{S}{|}}$$表示集合$${{S}}$$中的元素个数，用$${{n}{（}{S}{）}}$$表示集合$${{S}}$$的子集个数．若集合$${{A}{，}{B}}$$满足条件：$${{|}{A}{|}{=}{{2}{0}{1}{7}}}$$，且$${{n}{（}{A}{）}{+}{n}{（}{B}{）}{=}{n}{（}{A}{∪}{B}{）}}$$，则$${{|}{A}{∩}{B}{|}}$$等于（）
B
A.$${{2}{0}{1}{7}}$$
B.$${{2}{0}{1}{6}}$$
C.$${{2}{0}{1}{5}}$$
D.$${{2}{0}{1}{4}}$$
5、['集合的新定义问题'， '判断元素与集合的关系']正确率40.0%设$${{A}}$$是由所有分量为$${{1}}$$或$${{0}}$$的$${{n}}$$元有数组构成的集合，即$${{A}{=}{\{}{（}{{x}_{1}}{，}{{x}_{2}}{，}{…}{，}{{x}_{n}}{）}{|}{{x}_{i}}{=}{1}}$$或$${{0}{，}{i}{=}{1}{，}{2}{，}{…}{n}{\}}}$$，对$${{A}}$$中元素$${{p}{=}{（}{{p}_{1}}{，}{{p}_{2}}{，}{…}{，}{{p}_{n}}{）}}$$与$${{q}{=}{（}{{q}_{1}}{，}{{q}_{2}}{，}{…}{，}{{q}_{n}}{）}}$$，定义：$${{p}{⊗}{q}{=}{{\frac{1}{2}}}{[}{(}{(}{{p}_{1}}{+}{{q}_{1}}{)}{−}{|}{{p}_{1}}{−}{{q}_{1}}{|}{)}{+}{(}{(}{{p}_{2}}{+}{{q}_{2}}{)}{−}{|}{{p}_{2}}{−}{{q}_{2}}{|}{)}{+}{…}{+}{(}{(}{{p}_{n}}{+}{{q}_{n}}{)}{−}{|}{{p}_{n}}{−}{{q}_{n}}{|}{)}{]}}$$，
如：$${{n}{=}{2}}$$时，$${{A}{=}{\{}{（}{1}{，}{1}{）}{，}{（}{1}{，}{0}{）}{，}{（}{0}{，}{1}{）}{，}{（}{0}{，}{0}{）}{\}}}$$，取$${{A}}$$中元素$${{p}{=}{（}{1}{，}{0}{）}{，}{q}{=}{（}{1}{，}{1}{）}}$$，则$${{p}{⊗}{q}{=}{1}}$$，则当$${{n}{=}{5}}$$时，要使得$${{A}}$$的一个子集$${{B}}$$中任两个不同元素$${{p}{、}{q}}$$，均满足$${{p}{⊗}{q}{=}{0}}$$，则$${{B}}$$中元素最多有（）
D
A.$${{1}{0}}$$个
B.$${{5}}$$个
C.$${{8}}$$个
D.$${{6}}$$个
6、['集合的新定义问题']正确率40.0%已知集合$${{M}{=}{\{}{x}{∈}{N}{∗}{|}{1}{⩽}{x}{⩽}{{1}{5}}{\}}}$$，集合$${{A}_{1}{，}{{A}_{2}}{，}{{A}_{3}}}$$满足
$${①}$$每个集合都恰有$${{5}}$$个元素
$${②{{A}_{1}}{∪}{{A}_{2}}{∪}{{A}_{3}}{=}{M}}$$，
集合$${{A}_{i}}$$中元素的最大值与最小值之和称为集合$${{A}_{i}}$$的特征数，记为$${{X}_{i}{（}{i}{=}{1}{，}{2}{，}{3}{）}}$$，则$${{X}_{1}{+}{{X}_{2}}{+}{{X}_{3}}}$$的值不可能为（）
A
A.$${{3}{7}}$$
B.$${{3}{9}}$$
C.$${{4}{8}}$$
D.$${{5}{7}}$$
7、['集合的新定义问题'， '集合的混合运算']正确率60.0%设$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$为全集$${{R}}$$的子集，定义$${{A}{−}{B}{=}{A}{⋂}{(}{{∁}_{R}}{B}{)}}$$，则下列说法中正确的是（）
D
A.若$${{A}{−}{B}{⊆}{A}{−}{C}}$$，则$${{B}{⊇}{C}}$$
B.若$${{A}{−}{B}{⊆}{A}{−}{C}}$$，则$${{A}{∩}{(}{B}{−}{C}{)}{=}{∅}}$$
C.若$${{A}{∩}{B}{⊆}{A}{∩}{C}}$$，则$${{B}{⊆}{C}}$$
D.若$${{A}{∩}{B}{⊆}{A}{∩}{C}}$$，则$${{A}{∩}{(}{B}{−}{C}{)}{=}{∅}}$$
9、['集合的新定义问题'， '集合的（真）子集个数问题']正确率60.0%设集合$${{P}{=}{\{}{2}{，}{3}{\}}{，}{Q}{=}{\{}{4}{，}{5}{，}{6}{，}{7}{\}}}$$，定义$${{P}{⊗}{Q}{=}{\{}{(}{a}{，}{b}{)}{|}{a}{∈}{P}{，}{b}{∈}{Q}{\}}}$$，则$${{P}{⊗}{Q}}$$中元素的个数为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{5}}$$个
B.$${{6}}$$个
C.$${{8}}$$个
D.$${{1}{6}}$$个
10、['集合的新定义问题'， '元素与集合的关系']正确率60.0%设$${{P}{，}{Q}}$$是两个非空集合，定义$${{P}{×}{Q}{=}{\{}{(}{a}{，}{b}{)}{|}{a}{∈}{P}{，}{b}{∈}{Q}{\}}}$$，若$${{P}{=}{\{}{3}{，}{4}{，}{5}{\}}{，}{Q}{=}{\{}{4}{，}{5}{，}{6}{，}{7}{\}}}$$，则$${{P}{×}{Q}}$$中元素的个数是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{1}{2}}$$
1. 将函数 $$f(x) = \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$$ 向右平移 1 个单位长度后得到 $$g(x) = \sin\left(\frac{\pi (x-1)}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi x}{2} - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)$$。因此，正确答案为 D。
3. 集合 $$A_1$$ 的和为 $$a_1 = \frac{1 + 2 + \cdots + (m-1)}{m} = \frac{m-1}{2}$$。类似地，$$A_2$$ 的和为 $$a_2 = \frac{m^2 - 1}{2} - \frac{m - 1}{2} = \frac{m^2 - m}{2}$$。归纳可得 $$a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \frac{m^n - 1}{2}$$。因此，正确答案为 B。
5. 定义 $$p \otimes q$$ 为 $$p$$ 和 $$q$$ 中相同分量的个数。要使 $$p \otimes q = 0$$，需 $$p$$ 和 $$q$$ 在所有分量上不同。对于 $$n = 5$$，最多有 2 个互补的向量（如全 1 和全 0），但更一般地，可以构造 5 个向量，每两个在至少一个分量上相同。实际上，最大独立集为 2。但题目描述可能有误，重新理解定义：$$p \otimes q$$ 计算的是 $$p$$ 和 $$q$$ 中同为 1 的分量数。要使 $$p \otimes q = 0$$，需 $$p$$ 和 $$q$$ 无共同为 1 的分量。对于 $$n = 5$$，最多有 5 个向量，每个向量只有一个分量为 1。因此，正确答案为 B。
7. 定义 $$A - B = A \cap \complement_R B$$。选项分析：
9. 集合 $$P \otimes Q$$ 为 $$P$$ 和 $$Q$$ 的笛卡尔积，共有 $$2 \times 4 = 8$$ 个元素。因此，正确答案为 C。