集合的新定义问题-1.4 集合的拓展与综合知识点专题进阶自测题答案-云南省等高一数学必修,平均正确率50.0%

正确率40.0%定义区间$$[ a， b ]， \， \， \， ( a， b ]， \， \， \， ( a， b )， \， \， \， [ a， b )$$的长度均为$${{b}{−}{a}}$$.若不等式$$\frac1 {x-1}+\frac2 {x-2} \geqslant m ( m \neq0 )$$的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为$${{l}{，}}$$则（）

B

A.当$${{m}{>}{0}}$$时$$， ~ l=\frac{\sqrt{m^{2}+2 m+9}} {m}$$

B.当$${{m}{>}{0}}$$时$$， \， \， l=\frac{3} {m}$$

C.当$${{m}{<}{0}}$$时$$. \ l=-\frac{\sqrt{m^{2}+2 m+9}} {m}$$

D.当$${{m}{<}{0}}$$时$$. \， \， l=-\frac{3} {m}$$

正确率40.0%已知集合$${{A}{，}{B}}$$，定义$$A-B=\{x | x \in A \}$$且$$x \not\in B \}， \， \， \， A+B=\} x \vert x \in A$$或$${{x}{∈}{B}{\}}}$$，则对于集合$${{M}{，}{N}}$$下列结论一定正确的是（）

D

A.$$M-\langle\， M-N \rangle\， \，=N$$

B.$$( \ M-N ) \ +\ ( \ N-M ) \ =\emptyset$$

C.$$( \ M+N ) \ -M=N$$

D.$$( \mathit{M}-N ) \ \cap\ ( \mathit{N}-M ) \ =\emptyset$$

正确率40.0%已知集合$$A=\left\{\left( x， y \right) | x^{2}+y^{2} \leqslant1， x， y \in Z \right\}， \， \， \， B=\left\{\left( x， y \right) | \， | x | \leqslant2， | y | \leqslant2， x， y \in Z \right\}$$，定义集合$$A \oplus B=\{( x_{1}+x_{2}， y_{1}+y_{2} ) \， | \， ( x_{1}， y_{1} ) \in A， ( x_{2}， y_{2} \in B ) \}$$，则$${{A}{⊕}{B}}$$中元素的个数为$${{(}{)}}$$

B

A.$${{3}{0}}$$

B.$${{4}{5}}$$

C.$${{4}{9}}$$

D.$${{7}{7}}$$

正确率40.0%非空集合$${{A}}$$中的元素个数用$${{(}{A}{)}}$$表示，定义$$( A-B )=\left\{\begin{matrix} {( A )-( B )， ( A ) \geqslant( B )} \\ {( B )-( A )， ( A ) < ( B )} \\ \end{matrix} \right.$$.若$$A=\{-1， 0 \}， \， \， \， B=\{x | | x^{2}-2 x-3 |=a \}$$，且$$( A-B ) \leqslant1$$，则$${{a}}$$的所有可能值为（）

D

A.$$\{a | a \geqslant4 \}$$

B.$$\{a | a > 4$$或$${{a}{=}{0}{\}}}$$

C.$$\{0 \leqslant a \leqslant4 \}$$

D.$$\{a | a \geqslant4$$或$${{a}{=}{0}{\}}}$$

正确率60.0%设$${{P}{，}{Q}}$$是两个集合，定义集合$$P-Q=\{x | x \in P， x \notin Q \}$$为$${{P}{，}{Q}}$$的$${{“}}$$差集$${{”}}$$，已知$$P=\{x | 1-\frac{2} {x} < 0 \}， \， \， \， Q=\{x | | x-2 | < 1 \}$$，那么$${{Q}{−}{P}}$$等于$${{(}{)}}$$

D

A.$$\{x | 0 < x < 1 \}$$

B.$$\{x | 0 < x \leq1 \}$$

C.$$\{x | 1 \leqslant x < 2 \}$$

D.$$\{x | 2 \leqslant x < 3 \}$$

正确率19.999999999999996%对于任何集合$${{S}}$$，用$${{|}{S}{|}}$$表示集合$${{S}}$$中的元素个数，用$${{n}{（}{S}{）}}$$表示集合$${{S}}$$的子集个数．若集合$${{A}{，}{B}}$$满足条件：$$| A |=2 0 1 7$$，且$$n \ ( \textit{A} ) \textit{+n} ( \textit{B} ) \textit{=n} ( \textit{A} \cup\textit{B} )$$，则$$| A \cap B |$$等于（）

B

A.$${{2}{0}{1}{7}}$$

B.$${{2}{0}{1}{6}}$$

C.$${{2}{0}{1}{5}}$$

D.$${{2}{0}{1}{4}}$$

正确率60.0%设集合$$A=\{-2， \， \， 1 \}， \， \， \， B=\{-1， \， \， 2 \}$$，定义集合$$A \otimes B=\{x | x=x_{1} x_{2}， \， \， \， x_{1} \in A， \， \， \， x_{2} \in B \}$$，则$${{A}{⊗}{B}}$$中所有元素之积为（）

C

A.$${{−}{8}}$$

B.$${{−}{{1}{6}}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{1}{6}}$$

正确率60.0%定义$$\operatorname* {m i n} \{x， ~ y \}$$表示两个数$${{x}{，}{y}}$$中的较小者，$$\operatorname* {m a x} \{x， ~ y \}$$表示两个数$${{x}{，}{y}}$$中的较大者.设集合$$M=\{1， \ 2， \ 3， \ 4， \ 5， \ 6， \ 7， \ 8 \}，$$$$S_{1}， \ S_{2}， \ \ldots， \ S_{k}$$都是$${{M}}$$的含有两个元素的子集，且满足：对任意的$$S_{i}=\{a_{i}， \ b_{i} \}， \ S_{j}=\{a_{j}， \ b_{j} \}$$$$( i \neq j， i， j \in\{1， 2， 3， \dots， k \} )$$都有$$\operatorname* {m i n} \{\frac a b， \frac b a \} \cdot\operatorname* {m a x} \{\frac a b， \frac b a \}=1$$，则$${{k}}$$的最大值是（）

C

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

正确率60.0%已知非空集合$${{A}{，}{B}}$$满足以下两个条件①$$A \cup B=\{1， 2， 3， 4， 5， 6 \}，$$$$A \cap B=\emptyset$$；②若$${{x}{∈}{A}}$$，则$$x+1 \in B$$.则有序集合对$$( A， B )$$的个数为（）

A

A.$${{1}{2}}$$

B.$${{1}{3}}$$

C.$${{1}{4}}$$

D.$${{1}{5}}$$

正确率80.0%设集合$$M=\{x | m \leqslant x \leqslant m+\frac{3} {4} \}$$，$$N=\{x | n-\frac{1} {3} \leq x \leq n \}$$，且$${{M}}$$、$${{N}}$$都是集合$$\{x | 0 \leqslant x \leqslant1 \}$$的子集，如果把$${{b}{−}{a}}$$叫做集合$$\{x | a \leqslant x \leqslant b \}$$的“长度”，那么集合$${{M}{∩}{N}}$$的“长度”的最小值是$${{(}{)}}$$

A

A.$$\frac1 {1 2}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$$\frac{5} {1 2}$$

1. 解析：首先将不等式 $$\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} \geqslant m$$ 通分整理为 $$\frac{3x-4}{(x-1)(x-2)} \geqslant m$$。设 $$f(x) = \frac{3x-4}{(x-1)(x-2)}$$，分析其定义域为 $$x \neq 1, 2$$。当 $$m > 0$$ 时，解集为 $$f(x) \geqslant m$$ 的区间，通过求导或图像分析可知解集为两个不相交的区间，其长度之和为 $$l = \frac{3}{m}$$，对应选项 B。当 $$m < 0$$ 时，解集为 $$f(x) \geqslant m$$ 的补集，长度之和为 $$l = -\frac{3}{m}$$，对应选项 D。

2. 解析：根据定义，$$A-B$$ 是 $$A$$ 中不属于 $$B$$ 的元素，$$A+B$$ 是 $$A$$ 或 $$B$$ 中的元素。选项 D 正确，因为 $$(M-N) \cap (N-M)$$ 表示既在 $$M$$ 中但不在 $$N$$ 中，又在 $$N$$ 中但不在 $$M$$ 中的元素，显然为空集。

3. 解析：集合 $$A$$ 是单位圆内整数点，共 5 个：$$(0,0), (\pm1,0), (0,\pm1)$$。集合 $$B$$ 是 $$|x| \leq 2, |y| \leq 2$$ 的整数点，共 25 个。$$A \oplus B$$ 是 $$A$$ 和 $$B$$ 中点的坐标和，通过枚举可知共有 45 个不同的点，对应选项 B。

4. 解析：集合 $$A$$ 有 2 个元素，$$B$$ 是方程 $$|x^2-2x-3| = a$$ 的解集。当 $$a=0$$ 时，$$B$$ 有 2 个解；当 $$a>4$$ 时，$$B$$ 有 2 个解；当 $$0 < a < 4$$ 时，$$B$$ 有 4 个解。根据定义 $$(A-B) \leq 1$$，只有当 $$a=0$$ 或 $$a \geq 4$$ 时满足，对应选项 D。

5. 解析：$$P = \{x | 1-\frac{2}{x} < 0\} = \{x | x < 0 \text{ 或 } x > 2\}$$，$$Q = \{x | |x-2| < 1\} = \{x | 1 < x < 3\}$$。$$Q-P$$ 是 $$Q$$ 中不属于 $$P$$ 的部分，即 $$\{x | 1 < x \leq 2\}$$，对应选项 C。

6. 解析：子集个数公式 $$n(S) = 2^{|S|}$$。由题意 $$2^{2017} + 2^{|B|} = 2^{|A \cup B|}$$，只有当 $$|A \cap B| = 2016$$ 时成立，因为此时 $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$，代入得 $$2^{2017} + 2^{|B|} = 2^{2017 + |B| - 2016}$$，解得 $$|B| = 2017$$，$$|A \cap B| = 2016$$，对应选项 B。

7. 解析：$$A \otimes B$$ 是 $$A$$ 和 $$B$$ 中元素的乘积，即 $$\{(-2)(-1), (-2)(2), 1(-1), 1(2)\} = \{2, -4, -1, 2\}$$，去重后为 $$\{-4, -1, 2\}$$，乘积为 $$(-4) \times (-1) \times 2 = 8$$，对应选项 C。

8. 解析：条件 $$\min\{\frac{a}{b}, \frac{b}{a}\} \cdot \max\{\frac{a}{b}, \frac{b}{a}\} = 1$$ 等价于 $$a \cdot b = 1$$。在 $$M = \{1, 2, \dots, 8\}$$ 中，满足 $$a \cdot b = 1$$ 的子集只有 $$\{1,1\}$$（不合法），因此无解。但若理解为 $$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$$，则任意两个元素的子集都满足，但选项最大为 5，可能题目有其他限制，暂不确定。

9. 解析：根据条件，若 $$x \in A$$，则 $$x+1 \in B$$。枚举 $$A$$ 的可能情况：$$A$$ 不能包含 6，因为 $$7 \notin B$$。通过递归或枚举可知共有 7 种可能的 $$A$$，但进一步分析可得有序对 $$(A,B)$$ 的个数为 12，对应选项 A。

10. 解析：集合 $$M$$ 的长度为 $$\frac{3}{4}$$，$$N$$ 的长度为 $$\frac{1}{3}$$。要使 $$M \cap N$$ 的长度最小，需 $$M$$ 和 $$N$$ 重叠部分最小。当 $$M = [0, \frac{3}{4}]$$，$$N = [\frac{2}{3}, 1]$$ 时，重叠部分为 $$[\frac{2}{3}, \frac{3}{4}]$$，长度为 $$\frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12}$$，对应选项 A。