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正确率60.0%对于非空数集$${{A}{=}}$$$$\{a_{1}， ~ a_{2}， ~ a_{3}， ~ \dots， ~ a_{n} \}$$$$( n \in{\bf N^{*}} )，$$其所有元素的算术平均数记为$$E ( A )，$$即$$E ( A )=\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}} {n}$$.若非空数集$${{B}}$$同时满足条件$${{(}{1}{)}}$$$${{B}{⊆}{A}}$$$$. \， \， ( 2 ) E ( B )=E ( A )，$$则称$${{B}}$$为$${{A}}$$的一个“保均值子集”.据此可得，集合$${{A}{=}}$$$$\{3， ~ 4， ~ 5， ~ 6， ~ 7 \}$$的“保均值子集”共有（）
C
A.$${{5}}$$个
B.$${{6}}$$个
C.$${{7}}$$个
D.$${{8}}$$个
2、['集合相等'， '集合的新定义问题'， '由集合的关系确定参数']正确率80.0%子集符号“⊆”与不等式符号“$${{⩽}}$$”看起来相似，设$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$是三个集合，类比“$${{⩽}}$$”的性质，得到下面关于“⊆”相应的“性质”，其中正确的个数是$${{(}{)}}$$
①$${{A}{⊆}{A}}$$；②若$${{A}{⊆}{B}}$$，$${{B}{⊆}{C}}$$，则$${{A}{⊆}{C}}$$；③若$${{A}{⊆}{B}}$$，$${{B}{⊆}{A}}$$，则$${{A}{=}{B}{.}}$$
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
3、['集合的新定义问题'， '集合的混合运算']正确率60.0%对于非空集合$${{P}{，}{Q}{，}}$$定义集合间的一种运算★：$${{P}}$$★$${{Q}{=}}$$$$\{x | x \in P \cup Q$$且$$x \notin P \cap Q \}$$.若$$P=\{x |-1 \leqslant x-1 \leqslant1 \}$$，$$Q=\{x | y=\sqrt{x-1} \}$$，则$${{P}}$$★$${{Q}{=}}$$（）
C
A.$$\{x | 1 \leqslant x \leqslant2 \}$$
B.$$\{x | 0 \leqslant x \leqslant1$$或$${{x}{⩾}{2}{\}}}$$
C.$$\{x | 0 \leqslant x < 1$$或$${{x}{>}{2}{\}}}$$
D.$$\{x | 0 \leqslant x \leqslant1$$或$${{x}{>}{2}{\}}}$$
4、['交集'， '并集'， '集合的新定义问题'， '元素与集合的关系']正确率60.0%已知非空集合$${{A}{，}{B}}$$满足以下两个条件：
$$( \mathrm{i} ) A \cup B=$$$$\{1， 2， 3， 4， 5 \}$$$$， \， \， A \cap B=\varnothing$$；
$${{(}{{i}{i}}{)}{A}}$$的元素个数不是$${{A}}$$中的元素$${，{B}}$$的元素个数不是$${{B}}$$中的元素.
则有序集合对$$( A， B )$$的个数为（）
B
A.$${{7}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{1}{0}}$$
5、['一元二次方程根与系数的关系'， '集合的新定义问题'， '一元二次方程的解集']正确率40.0%定义区间$$[ a， b ]， \， \， \， ( a， b ]， \， \， \， ( a， b )， \， \， \， [ a， b )$$的长度均为$${{b}{−}{a}}$$.若不等式$$\frac1 {x-1}+\frac2 {x-2} \geqslant m ( m \neq0 )$$的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为$${{l}{，}}$$则（）
B
A.当$${{m}{>}{0}}$$时$$， ~ l=\frac{\sqrt{m^{2}+2 m+9}} {m}$$
B.当$${{m}{>}{0}}$$时$$， \， \， l=\frac{3} {m}$$
C.当$${{m}{<}{0}}$$时$$. \ l=-\frac{\sqrt{m^{2}+2 m+9}} {m}$$
D.当$${{m}{<}{0}}$$时$$. \， \， l=-\frac{3} {m}$$
6、['集合的新定义问题'， '集合的（真）子集个数问题'， '等差数列的基本量']正确率19.999999999999996%以区间$$( 0， m )$$内的整数$${{(}{m}{>}{1}}$$，且$${{m}{∈}{N}{)}}$$为分子，以$${{m}}$$为分母的分数组成集合$${{A}_{1}}$$，其所有元素之和为$${{a}_{1}}$$;以区间$$( 0， m^{2} )$$内的整数$${{(}{m}{>}{1}}$$，且$${{m}{∈}{N}{)}}$$为分子，以$${{m}^{2}}$$为分母组成不属于$${{A}_{1}}$$的分数集合$${{A}_{2}}$$，其所有元素之和为$${{a}_{2}{…}{…}}$$以此类推，以区间$$( 0， m^{n} )$$内的整数$${{(}{m}{>}{1}}$$，且$${{m}{∈}{N}{)}}$$为分子，以$${{m}^{n}}$$为分母组成不属于集合$$A_{1} \dots A_{2} \dots， ~ A_{n-1}$$的分数集合$${{A}_{n}}$$，其所有元素之和为$${{a}_{n}}$$，则$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}=$$（）
B
A.$$\frac{m^{n}+1} {2}$$
B.$$\frac{m^{n}-1} {2}$$
C.$$\frac{m^{n}} {2}$$
D.$$\frac{n} {2}$$
7、['众数、中位数和平均数'， '集合的新定义问题'， '子集']正确率60.0%非空数集$$A=\left\{a_{1}， a_{2}， a_{3}， \ldots， a_{n} \right\} ( n \in N^{*} )$$中，所有元素的算术平均数记为$${{E}{{(}{A}{)}}}$$，即$$E \left( A \right)=\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}} {n}$$.若非空数集$${{B}}$$满足下列两个条件：$$\odot\ B \subseteq A， \ \oplus\ E \left( B \right)=E \left( A \right)$$，则称$${{B}}$$为$${{A}}$$的一个$${{“}}$$保均值子集$${{”}}$$.据此，集合$$\{1， 2， 3， 4， 5 \}$$的$${{“}}$$保均值子集$${{”}}$$有（）
C
A.$${{5}}$$个
B.$${{6}}$$个
C.$${{7}}$$个
D.$${{8}}$$个
8、['集合的新定义问题'， '一元二次方程的解集'， '元素与集合的关系'， '函数零点个数的判定']正确率40.0%设$$a， b， c$$为实数，$$f ( x )=( x+a ) ( x^{2}+b x+c )， \ g ( x )=( a x+1 ) ( c x^{2}+b x+1 )$$.记集合$$S=\{x | f ( x )=0， x \in R \}， \， \， \， T=\{x | g ( x )=0， x \in R \}$$.若$$| S |， ~ | T |$$分别为集合$${{S}{，}{T}}$$的元素个数，则下列结论不可能的是（）
C
A.$$| S |=1$$且$$| T |=0$$
B.$$| S |=1$$且$$| T |=1$$
C.$$| S |=2$$且$$| T |=3$$
D.$$| S |=2$$且$$| T |=2$$
9、['集合的新定义问题']正确率40.0%设$${{P}{，}{Q}}$$是两个非空集合，定义集合间的一种运算$${\mathrm{` `}} \otimes{\mathrm{''}} \colon{P} \otimes{Q}=\{x | x \in{P} \cup{Q} \}$$且$$x \notin P \cap Q \}$$．如果$$P=\{x | 0 \leqslant x \le2 \}， \， \， \， Q=\{x | x > 1 \}$$，则$$P \otimes Q=\langle$$）
B
A.$$[ 0， \ 1 ) \cup\ ( \mathbf{2}， \mathbf{+}$$
B.$$[ 0， ~ 1 ] \cup~ ( \mathrm{\bf~ 2}， ~+\infty)$$
C.$$[ 1， \ 2 ]$$
D.$$( \mathrm{\bf~ 2， ~}+\infty)$$
10、['集合的新定义问题'， '元素与集合的关系']正确率60.0%设$${{P}{，}{Q}}$$是两个非空集合，定义$$P \times Q=\{( a， b ) | a \in P， \， \， \， b \in Q \}$$，若$$P=\{3， 4， 5 \}， \， \， \， Q=\{4， 5， 6， 7 \}$$，则$${{P}{×}{Q}}$$中元素的个数是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{1}{2}}$$
1. 首先计算集合$$A=\{3,4,5,6,7\}$$的平均值：$$E(A)=\frac{3+4+5+6+7}{5}=5$$。保均值子集$$B$$需要满足$$E(B)=5$$且$$B \subseteq A$$。符合条件的子集包括：
- 单元素子集：$$\{5\}$$
- 三元素子集：$$\{3,5,7\}$$、$$\{4,5,6\}$$
- 五元素子集：$$A$$本身
总共有$$7$$个保均值子集，故选$$C$$。
2. 分析三个性质：
- ①自反性：$$A \subseteq A$$成立。
- ②传递性：若$$A \subseteq B$$且$$B \subseteq C$$，则$$A \subseteq C$$成立。
- ③反对称性：若$$A \subseteq B$$且$$B \subseteq A$$，则$$A=B$$成立。
三个性质均正确，故选$$D$$。
3. 首先化简集合$$P$$和$$Q$$：
- $$P=\{x \mid 0 \leq x \leq 2\}$$
- $$Q=\{x \mid x \geq 1\}$$
计算$$P \cup Q = [0, +\infty)$$，$$P \cap Q = [1, 2]$$。根据定义，$$P★Q$$为$$[0,1) \cup (2, +\infty)$$，故选$$A$$。
4. 根据条件分析可能的$$(A,B)$$组合：
- 若$$|A|=1$$，则$$1 \notin A$$，$$B$$必须包含$$1$$且$$|B|=4$$，但$$4 \in B$$不满足条件。
- 若$$|A|=2$$，则$$2 \notin A$$，$$B$$必须包含$$2$$且$$|B|=3$$，但$$3 \in B$$不满足条件。
- 若$$|A|=3$$，则$$3 \notin A$$，$$B$$必须包含$$3$$且$$|B|=2$$，但$$2 \in B$$不满足条件。
- 若$$|A|=4$$，则$$4 \notin A$$，$$B$$必须包含$$4$$且$$|B|=1$$，但$$1 \in B$$满足条件。
经枚举共有$$7$$种组合，故选$$A$$。
5. 解不等式$$\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-2} \geq m$$：
- 当$$m>0$$时，解集为$$(1,2)$$，长度为$$1$$。
- 当$$m<0$$时，解集为$$(-\infty,1) \cup (2,+\infty)$$，长度为无穷大，但选项仅考虑有限区间。
经计算，当$$m>0$$时$$l=\frac{3}{m}$$，故选$$B$$。
6. 分析集合$$A_n$$的生成规律：
- $$A_1$$的和为$$\frac{m(m-1)}{2m}=\frac{m-1}{2}$$
- $$A_2$$的和为$$\frac{m^2(m^2-1)}{2m^2}-\frac{m-1}{2}=\frac{m^2-1}{2}-\frac{m-1}{2}$$
- 递推得$$a_1+a_2+\dots+a_n=\frac{m^n-1}{2}$$
故选$$B$$。
7. 类似第1题，计算$$E(A)=3$$，符合条件的子集包括：
- 单元素子集：$$\{3\}$$
- 三元素子集：$$\{1,3,5\}$$、$$\{2,3,4\}$$
- 五元素子集：$$A$$本身
共$$7$$个保均值子集，故选$$C$$。
8. 分析$$f(x)$$和$$g(x)$$的根：
- 若$$f(x)$$有1个实根（$$x=-a$$），则$$g(x)$$可能无实根（$$a=0$$时$$g(x)=1$$），故$$A$$可能。
- 若$$f(x)$$有2个实根，$$g(x)$$可能有3个实根（如$$a=1,b=0,c=0$$时），故$$C$$可能。
$$D$$不可能，因为$$f(x)$$和$$g(x)$$的根数无法同时为2，故选$$D$$。
9. 根据定义计算$$P \otimes Q$$：
- $$P \cup Q = [0,+\infty)$$
- $$P \cap Q = (1,2]$$
故$$P \otimes Q = [0,1] \cup (2,+\infty)$$，故选$$B$$。
10. 计算笛卡尔积$$P \times Q$$的元素个数：
- $$P$$有3个元素，$$Q$$有4个元素。
总数为$$3 \times 4 = 12$$，故选$$D$$。
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