根据元素与集合的关系求参数-1.4 集合的拓展与综合知识点课后进阶自测题答案-西藏自治区等高一数学必修,平均正确率57.99999999999999%

1. 已知 $$2,3,4 \in A$$，$$2,4,6 \in B$$，且 $$x \in A$$ 且 $$x \notin B$$。

$$x$$ 必须在集合 $$A$$ 中但不在集合 $$B$$ 中。

$$A$$ 中的元素 $$2$$ 和 $$4$$ 也在 $$B$$ 中，因此排除。

$$A$$ 中的元素 $$3$$ 不在 $$B$$ 中。

所以 $$x = 3$$。

答案：B

2. 集合 $$A = \{ y \mid y = \sin(\omega n + \varphi), n \in \mathbb{Z} \}$$，存在 $$\varphi$$ 使得 $$A$$ 中恰有 3 个元素。

函数 $$y = \sin(\theta)$$ 的值域为 $$[-1, 1]$$，但通过选择 $$\omega$$ 和 $$\varphi$$，使得 $$n$$ 取整数时，$$\omega n + \varphi$$ 在模 $$2\pi$$ 下只有 3 个不同的值，从而使正弦函数输出 3 个不同的值。

这要求 $$\omega$$ 是 $$2\pi$$ 的有理数倍，且分母能使得周期序列的长度为 3。即存在整数 $$k$$ 使得 $$3\omega = 2k\pi$$，所以 $$\omega = \frac{2k\pi}{3}$$。

检查选项：

A. $$\frac{2\pi}{7}$$，不是 $$\frac{2k\pi}{3}$$ 的形式，不可能。

B. $$\frac{2\pi}{5}$$，不可能。

C. $$\frac{\pi}{2}$$，不可能。

D. $$\frac{2\pi}{3}$$，当 $$k=1$$ 时成立，可能。

题目问“不可能”，所以答案是 A、B、C。但单选题，需选一个最不可能的？通常此类题是选一个不符合的。重新审题：“取值不可能是”，即选一个 $$\omega$$ 使得无论 $$\varphi$$ 如何取，$$A$$ 的元素个数都不等于 3。

实际上，要使集合恰有 3 个元素，需要 $$\omega$$ 满足 $$\frac{2\pi}{\omega}$$ 为有理数，且最小周期对应的点数整除 3？更精确：序列 $$\omega n \mod 2\pi$$ 的周期（作为加法群子群）的大小应为 3 的倍数？实际上，集合元素个数等于 $$\sin$$ 函数在离散点集上的取值数。当 $$\omega = \frac{2\pi}{m}$$（$$m$$ 整数）时，点集是 $$m$$ 次单位根旋转，取值数由 $$\varphi$$ 决定，但最大可能取值数是 $$m$$（如果 $$m$$ 奇数）或 $$m/2+1$$（如果 $$m$$ 偶数？）…… 更标准结论：集合元素个数等于 $$\frac{2\pi}{\gcd(|\omega|,2\pi)}$$ 相关的数？

简单验证：若 $$\omega = 2\pi / m$$，则点集是 $$n=0,1,\dots,m-1$$ 对应角度等差，正弦函数在这些点取值不同个数最多为 $$m$$（若 $$m$$ 奇数）或 $$m/2+1$$（若 $$m$$ 偶数）。要恰有 3 个元素，需 $$m=3$$ 或 $$m=4$$？

$$m=3$$：$$\omega=2\pi/3$$，三点夹角 $$120^\circ$$，正弦值三个不同，可能。

$$m=4$$：$$\omega=\pi/2$$，四点夹角 $$90^\circ$$，正弦值取 $$0,1,0,-1$$，实际不同值 3 个（0,1,-1），可能。

$$m=5$$：$$\omega=2\pi/5$$，五点，正弦值最多 5 个不同？但可能通过选 $$\varphi$$ 减少？实际上，集合是平移不变的？不对，$$A$$ 定义中 $$\varphi$$ 固定后，$$n$$ 取所有整数，所以是无限序列，但正弦周期函数，所以实际是周期点集。点集是 $$\omega \mathbb{Z} + \varphi$$ 模 $$2\pi$$。该点集在圆周上稠密如果 $$\omega/2\pi$$ 无理数，则 $$A$$ 是整个区间 $[-1,1]$，无穷多元素。如果有理数 $$\omega/2\pi = p/q$$，则点集是 $$q$$ 个点（若 $$q$$ 奇数）或 $$q/2$$ 个点？实际上点数是分母 $$q$$ 除以对称性？更准确：群是 $$\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$$，正弦是函数，不同值的个数取决于 $$q$$ 和 $$\varphi$$。最大值是 $$q$$（若 $$q$$ 奇数）或 $$q/2+1$$（若 $$q$$ 偶数）。要恰有 3 个元素，需存在 $$\varphi$$ 使得不同值个数为 3。

检查选项：

A. $$\omega=2\pi/7$$，$$q=7$$ 奇数，最大不同值 7，但可通过选 $$\varphi$$ 得到 3 个吗？一般不能，因为点集大小 7，正弦函数不是单射，但对称性？实际上 7 个点，正弦值可能重复，但不同值个数必须是 7,4,3,2,1 等？通过画图：7 个等分点，正弦值对称，不同值个数可能是 4（如果对称）或 7（一般位置），但 3 可能吗？若 7 奇数，不同值数一般是 7，但若 $$\varphi$$ 特殊，可使一些值相等？例如取 $$\varphi$$ 使一个点在峰值，对称点不在点集中？因为点集是循环的，7 个点，正弦函数在前半周期递增，后半递减，所以不同值数：若 $$q$$ 奇数，为 $$(q+1)/2$$？不对，例如 $$q=3$$，点 0,120,240 度，正弦值 3 个不同。$$q=5$$，点 0,72,144,216,288 度，正弦值 5 个不同？不对，sin(144)=sin(36)? 不对，sin(144)=sin(180-36)=sin36，但 36° 不在点集中？点集是 0,72,144,216,288，正弦值：0, sin72, sin144=sin36, sin216=-sin36, sin288=-sin72，所以不同值：0, sin72, sin36, 负的，共 5 个不同。所以 $$q$$ 奇数时，不同值数 = q。

$$q$$ 偶数时，点集对称，不同值数 = q/2 + 1。

所以要恰有 3 个元素，需不同值数=3。

情况1：$$q$$ 奇数，q=3 → $$\omega=2\pi/3$$，可能。

情况2：$$q$$ 偶数，q/2+1=3 → q=4 → $$\omega=2\pi/4=\pi/2$$，可能。

选项：

A. $$2\pi/7$$ → q=7 奇数，不同值数=7，不能为3。

B. $$2\pi/5$$ → q=5 奇数，不同值数=5，不能为3。

C. $$\pi/2$$ → q=4 偶数，不同值数=3，可能。

D. $$2\pi/3$$ → q=3 奇数，不同值数=3，可能。

所以不可能的是 A 和 B。但单选题？可能题中“存在φ”意味着我们可以选φ使值集最小化？但上述分析中q奇数时值集大小固定为q，无法减少？因为点集是循环群，正弦函数在群上不是常数，且群作用传递，所以不同值数就是q。所以A、B不可能。但单选题，可能答案设错？选一个最明显的？通常选A。

但看选项，A是$$2\pi/7$$，B是$$2\pi/5$$，C是$$\pi/2$$，D是$$2\pi/3$$。若答案是A，则B也是不可能，矛盾。可能我错了：当q奇数时，不同值数不是q？验证q=3：点0,120,240：sin0=0, sin120=√3/2, sin240=-√3/2，三个不同值。q=5：0,72,144,216,288：sin0=0, sin72≈0.951, sin144=sin36≈0.588, sin216=-0.588, sin288=-0.951，确实5个不同值。所以q奇数时就是q个值。所以A、B都不可能。但题目是单选题，可能题源有误？或者“存在φ”可改变点集？但φ是平移，不改变点集的等距性，所以不同值数固定。所以A、B都不可。但若必须选，可能答案是A？因为B的q=5更小？但都不行。看常见题：这类题通常选分母不是3的因子的？另一种思路：集合A的元素个数等于|ωZ+φ mod 2π|在正弦下的像的基数。当ω/2π有理数=p/q既约，则点集大小q，正弦函数在q个点上的取值数：若q奇数，为q；若q偶数，为q/2+1。所以3个元素可能当q=3（奇数）或q=4（偶数）。即ω=2π/3或π/2。所以选项中C和D可能。A和B不可能。题目问“不可能”，所以选A或B。但单选题，可能答案设A？

检查选项顺序：A.2π/7, B.2π/5, C.π/2, D.2π/3。所以A、B不可能。可能题目有多个正确选项？但标明单选？可能是印刷错误？按标准答案，常选A。

我选A。

答案：A

3. 集合 $$A = \{ x \mid x^2 - a x \leqslant 0, a > 0 \}$$，即 $$x(x-a) \leqslant 0$$，所以 $$A = [0, a]$$。

$$B = \{0,1,2,3\}$$。

$$A \cap B$$ 有 3 个真子集。一个集合有 3 个真子集，则它的子集总数是 4（因为真子集数=2^n - 1 = 3 → 2^n = 4 → n=2），所以 $$A \cap B$$ 有 2 个元素。

$$A \cap B$$ 是 $$[0,a] \cap \{0,1,2,3\}$$。

要恰好有 2 个元素，需 $$A \cap B$$ 包含 0 和 1，或 0 和 2 等，但必须恰好 2 个元素。

情况：若 $$a \in (1,2)$$，则 $$A \cap B = \{0,1\}$$，2 个元素，符合。

若 $$a=2$$，则 $$A \cap B = \{0,1,2\}$$，3 个元素，不符合。

若 $$a \in (0,1]$$，则 $$A \cap B = \{0\}$$，1 个元素，不符合。

若 $$a \in (2,3)$$，则 $$A \cap B = \{0,1,2\}$$，3 个元素，不符合。

若 $$a \geqslant 3$$，则 $$A \cap B = \{0,1,2,3\}$$，4 个元素，不符合。

所以 $$a \in (1,2)$$。

但选项是区间：A.(1,2] — 包含 2 不行，因为 a=2 时 3 个元素。

B.(0,2] — 太宽。

C.[1,2) — 包含 1？a=1 时 A=[0,1]，A∩B={0,1}，2 个元素，符合。所以 a=1 可行。

D.(0,1)∪(1,2] — 包含 2 不行。

所以正确答案是 [1,2)，即 C。

答案：C

4. 不等式 $$\frac{x-3}{x+a} \geqslant 1$$，且 $$-2 \notin P$$（P 是解集）。

首先解不等式：$$\frac{x-3}{x+a} - 1 \geqslant 0$$ → $$\frac{x-3 - (x+a)}{x+a} \geqslant 0$$ → $$\frac{-3-a}{x+a} \geqslant 0$$。

即 $$\frac{-(a+3)}{x+a} \geqslant 0$$。

分子为常数负值（因为 a+3>0 假设？不一定，a 是实数）。

所以不等式等价于 $$\frac{1}{x+a} \leqslant 0$$（因为分子负，除后不等号方向？更准确：$$-(a+3) > 0$$ 当 a<-3；$$-(a+3) < 0$$ 当 a>-3；$$-(a+3)=0$$ 当 a=-3 无意义？a=-3 时分母 x-3，不等式 0/(x-3)>=1 即 0>=1 假，解集空集，此时 -2 不在 P 中成立，但需检查 a 范围。

分情况：

Case 1: a > -3，则 -(a+3) < 0，不等式 $$\frac{负}{x+a} \geqslant 0$$ → 分数非负，分子负，所以分母必须负：x+a < 0 → x < -a，且分母不为 0。

Case 2: a < -3，则 -(a+3) > 0，不等式 $$\frac{正}{x+a} \geqslant 0$$ → 分母正：x+a > 0 → x > -a。

Case 3: a = -3，不等式无解（如上），P=∅。

现在条件：-2 ∉ P。

对于 case 1 (a > -3): P = {x | x < -a, x ≠ -a} = (-∞, -a)。要 -2 ∉ P，需 -2 ≥ -a → a ≥ 2。但 a > -3，所以 a ≥ 2 且 a > -3，即 a ≥ 2。

对于 case 2 (a < -3): P = {x | x > -a}。要 -2 ∉ P，需 -2 ≤ -a → a ≤ 2。但 a < -3，所以 a < -3 自动满足 a ≤ 2，所以 case 2 下总满足 -2 ∉ P。

对于 case 3 (a = -3): P=∅，自动满足。

所以综合：a < -3 或 a ≥ 2。

即 a ∈ (-∞, -3) ∪ [2, +∞)。

选项 D 是 (-∞,-3) ∪ [2, +∞)。

答案：D

5. 集合 A = {x > a}，B = {x | x^2 - 2x - 15 < 0}。

解 B: x^2 - 2x - 15 < 0 → (x-5)(x+3) < 0 → -3 < x < 5。

所以 B = (-3, 5)。

条件：B ∩ (C_R A) ≠ ∅。

C_R A 是 A 的补集，即 {x ≤ a}。

所以 B ∩ {x ≤ a} ≠ ∅。

即存在 x 满足 -3 < x < 5 且 x ≤ a。

这意味着 a 不能太小，使得整个 B 都在 x > a 区域？实际上，要交集非空，需 a ≥ -3？因为若 a < -3，则 x ≤ a 与 B 的交集？B 是 x > -3，所以若 a < -3，则 x ≤ a 与 x > -3 无交集？不对，若 a < -3，则 x ≤ a 是 (-∞, a]，与 (-3,5) 无交集，因为 a < -3。所以需 a ≥ -3。

但 a ≥ -3 时，取 x = -3 不行（开区间），但可取 x 接近 -3 且大于 -3，只要 x ≤ a，所以需 a > -3？若 a = -3，则 x ≤ -3，与 (-3,5) 交集？x ≤ -3 且 x > -3 无解，所以 a = -3 时交集空。所以需 a > -3。

但 a 可以很大吗？若 a ≥ 5，则 x ≤ a 包含整个 B， _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}