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正确率60.0%设$${{f}}$$：$${{x}}$$→$${{y}{=}{{x}^{2}}}$$是集合$${{A}}$$到集合$${{B}}$$的函数，如果集合$${{B}{=}}$$$${{\{}{1}{\}}}$$，那么集合$${{A}}$$不可能是（）
D
A.$${{\{}{1}{\}}}$$
B.$${{\{}{{−}{1}}{\}}}$$
C.$${{\{}{{−}{1}{，}{1}}{\}}}$$
D.$${{\{}{{−}{1}{，}{0}}{\}}}$$
2、['集合的新定义问题']正确率60.0%用$${{C}{(}{A}{)}}$$表示非空集合$${{A}}$$中元素的个数，定义$${{A}{∗}{B}}$$$$= \left\{\begin{aligned} {} & {{} C ( A )-C ( B )， \ C ( A ) \geqslant C ( B )，} \\ {} & {{} C ( B )-C ( A )， \ C ( A ) < C ( B ).} \\ \end{aligned} \right.$$若$${{A}{=}}$$｛$${{1}{，}{2}}$$｝$${，{B}{=}}$$｛$${{x}{|}{(}{x}{+}{a}{)}{(}{{x}^{3}}{+}{a}{{x}^{2}}{+}{2}{x}{)}{=}{0}}$$｝，且$${{A}{∗}{B}}$$$${{=}{1}{，}}$$设实数$${{a}}$$的所有可能取值构成集合$${{S}{，}}$$则$${{C}{(}{S}{)}{=}}$$（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
3、['集合的新定义问题']正确率40.0%已知集合$${{M}{=}}$$$${{\{}{x}{∈}{N}{|}{1}{⩽}{x}{⩽}{{1}{5}}{\}}}$$，集合$${{A}_{1}{，}{{A}_{2}}{，}{{A}_{3}}}$$满足：①每个集合都恰有$${{5}}$$个元素；②$${{A}_{1}{∪}{{A}_{2}}{∪}{{A}_{3}}{=}{M}}$$．集合$${{A}_{i}{(}{i}{=}{1}{，}{2}{，}{3}{)}}$$中元素的最大值与最小值之和称为集合$${{A}_{i}{(}{i}{=}{1}{，}{2}{，}{3}{)}}$$的特征数，记为$${{X}_{i}{(}{i}{=}{1}{，}{2}{，}{3}{)}{，}}$$则$${{X}_{1}{+}{{X}_{2}}{+}{{X}_{3}}}$$的最大值与最小值的和为（）
D
A.$${{5}{6}}$$
B.$${{7}{2}}$$
C.$${{8}{7}}$$
D.$${{9}{6}}$$
4、['集合的新定义问题']正确率60.0%已知$${{A}{，}{B}}$$都是非空集合 ， $${{A}}$$ $${{&}}$$ $${{B}}$$ $${{=}}$$$${{\{}{x}{|}{x}{∈}{(}{A}{∪}{B}{)}}$$且$${{x}{∉}{(}{A}{∩}{B}{)}{\}}}$$.若$${{A}{=}}$$$${{\{}{{x}{|}{0}{<}{x}{<}{2}}{\}}}$$$${，{B}{=}}$$$${{\{}{{x}{|}{x}{⩾}{0}}{\}}}$$，则 $${{A}}$$ $${{&}}$$ $${{B}}$$ $${{=}}$$ （ ）
D
A.$${{\{}{{x}{|}{x}{⩾}{0}}{\}}}$$
B.$${{\{}{{x}{|}{0}{<}{x}{<}{2}}{\}}}$$
C.$${{\{}{x}{|}{x}{=}{0}}$$或$${{x}{<}{−}{2}{\}}}$$
D.$${{\{}{x}{|}{x}{=}{0}}$$或$${{x}{⩾}{2}{\}}}$$
5、['集合的新定义问题'， '集合的混合运算']正确率60.0%两个集合$${{A}}$$与$${{B}}$$之差记作$${{A}{−}{B}{，}}$$定义$${{A}{−}{B}{=}}$$$${{∁}_{A}{(}{A}{∩}{B}{)}}$$，已知$${{A}{=}{{\{}{2}{，}{3}{\}}}{，}}$$$${{B}{=}{{\{}{1}{，}{3}{，}{4}{\}}}{，}}$$则$${{A}{−}{B}}$$等于（）
B
A.$${{\{}{{1}{，}{4}}{\}}}$$
B.$${{\{}{2}{\}}}$$
C.$${{\{}{{1}{，}{2}}{\}}}$$
D.$${{\{}{{1}{，}{2}{，}{3}}{\}}}$$
6、['集合的新定义问题'， '子集']正确率40.0%设集合$${{S}_{n}{=}{\{}{1}{，}{2}{，}{3}{，}{…}{2}{n}{−}{1}{\}}}$$，若$${{X}}$$是$${{S}_{n}}$$的子集，把$${{X}}$$的所有元素的乘积叫做$${{X}}$$的容量（规定空集的容量为$${{0}{）}}$$，若$${{X}}$$的容量为奇（偶）数，则称$${{X}}$$为$${{S}_{n}}$$的奇（偶）子集．其中$${{S}_{n}}$$的奇子集的个数为（）
B
A.$$\frac{n^{2}+n} {2}$$
B.$${{2}^{n}{−}{1}}$$
C.$${{2}^{n}}$$
D.$$2^{2 n-1}-2 n+1$$
7、['集合的新定义问题']正确率40.0%设$${{P}{，}{Q}}$$是两个非空集合，定义集合间的一种运算$${{“}{⊗}{”}{：}{P}{⊗}{Q}{=}{\{}{x}{|}{x}{∈}{P}{∪}{Q}}$$且$${{x}{∉}{P}{∩}{Q}{\}}}$$．如果$${{P}{=}{\{}{x}{|}{0}{⩽}{x}{⩽}{2}{\}}{，}{Q}{=}{\{}{x}{|}{x}{>}{1}{\}}}$$，则$${{P}{⊗}{Q}{=}{（}}$$）
B
A.$${{[}{0}{，}{1}{）}{∪}{（}{2}{，}{+}{∞}{）}}$$
B.$${{[}{0}{，}{1}{]}{∪}{（}{2}{，}{+}{∞}{）}}$$
C.$${{[}{1}{，}{2}{]}}$$
D.$${（{2}{，}{+}{∞}{）}}$$
9、['集合的新定义问题'， '集合的混合运算']正确率19.999999999999996%定义集合$${{A}{，}{B}}$$的运算$${{A}{∗}{B}{=}{{\{}{x}{{|}{x}{∈}{A}}}}$$或$${{x}{∈}{B}}$$且$${{x}{∉}{A}{⋂}{B}{{\}}}}$$，则$${{(}{A}{∗}{B}{)}{∗}{A}{=}}$$
C
A.$${{A}{⋂}{B}}$$
B.$${{A}{⋃}{B}}$$
C.$${{B}}$$
D.$${{A}}$$
10、['集合的新定义问题'， '子集']正确率60.0%若集合$${{A}}$$满足$${{x}{∈}{A}}$$，必有$$\frac{1} {x} \in A，$$则称集合$${{A}}$$为自倒关系集合．在集合$$M=\{-1， 0， \frac{1} {2}， \frac{1} {3}， 1， 2， 3， 4 \}$$的所有非空子集中，具有自倒关系的集合的个数为（）
D
A.$${{7}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{1}{5}}$$
1. 解析：函数 $$f: x \to y = x^2$$ 将集合 $$A$$ 映射到 $$B = \{1\}$$。这意味着 $$A$$ 中的元素平方后必须等于 1。因此，$$A$$ 可以是 $$\{1\}$$、$$\{-1\}$$ 或 $$\{-1, 1\}$$，但不能包含 0，因为 $$0^2 = 0 \notin B$$。所以 $$A$$ 不可能是 $$\{-1, 0\}$$。答案为 D。
- 当 $$C(B) = 1$$ 时，$$B$$ 只有一个解，即 $$a = 0$$（此时 $$x = 0$$ 为唯一解）。
- 当 $$C(B) = 3$$ 时，$$x + a = 0$$ 和 $$x^3 + a x^2 + 2x = 0$$ 需合并为一个解，即 $$x = -a$$ 是三重根。解得 $$a = \sqrt[3]{2}$$ 或 $$a = -\sqrt[3]{2}$$。
3. 解析：集合 $$M = \{1, 2, \dots, 15\}$$ 被分成三个 5 元素子集 $$A_1, A_2, A_3$$。特征数 $$X_i$$ 为每个子集的最大值与最小值之和。要使 $$X_1 + X_2 + X_3$$ 最大，尽量让最大值和最小值分散在不同子集；反之，尽量集中。最大值和最小值分别为 15 和 1。通过分配可得：
- 最大和：如 $$A_1 = \{1, 14, 15, \dots\}$$，$$A_2 = \{2, 13, \dots\}$$，$$A_3 = \{3, 12, \dots\}$$，和为 $$(1 + 15) + (2 + 14) + (3 + 13) = 48$$。
- 最小和：如 $$A_1 = \{1, 2, 3, 4, 5\}$$，$$A_2 = \{6, 7, 8, 9, 10\}$$，$$A_3 = \{11, 12, 13, 14, 15\}$$，和为 $$(1 + 5) + (6 + 10) + (11 + 15) = 48$$。
- $$A \cup B = \{x \mid x \geq 0\}$$，
- $$A \cap B = \{x \mid 0 < x < 2\}$$。
5. 解析：定义 $$A - B = \complement_A (A \cap B)$$。已知 $$A = \{2, 3\}$$，$$B = \{1, 3, 4\}$$，则 $$A \cap B = \{3\}$$，补集为 $$A - B = \{2\}$$。答案为 B。
7. 解析：定义 $$P \otimes Q = \{x \mid x \in P \cup Q \text{ 且 } x \notin P \cap Q\}$$。已知 $$P = [0, 2]$$，$$Q = (1, +\infty)$$，则：
- $$P \cup Q = [0, +\infty)$$，
- $$P \cap Q = (1, 2]$$。
10. 解析：自倒关系集合 $$A$$ 满足 $$x \in A \Rightarrow \frac{1}{x} \in A$$。在 $$M = \{-1, 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 1, 2, 3, 4\}$$ 中：
- $$0$$ 无倒数，若 $$0 \in A$$，则 $$A$$ 必须单独包含 0。
- $$-1$$ 和 $$1$$ 互为倒数。
- $$\frac{1}{2}$$ 和 $$2$$ 互为倒数。
- $$\frac{1}{3}$$ 和 $$3$$ 互为倒数。
- $$4$$ 的倒数 $$\frac{1}{4} \notin M$$，因此 $$4$$ 不能出现在 $$A$$ 中。
- $$\emptyset$$（非空子集不计数），
- $$\{0\}$$，
- $$\{-1, 1\}$$，
- $$\{\frac{1}{2}, 2\}$$，
- $$\{\frac{1}{3}, 3\}$$，
- $$\{-1, 1, \frac{1}{2}, 2\}$$，
- $$\{-1, 1, \frac{1}{3}, 3\}$$，
- $$\{\frac{1}{2}, 2, \frac{1}{3}, 3\}$$，
- $$\{-1, 1, \frac{1}{2}, 2, \frac{1}{3}, 3\}$$。