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正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {( 2-[ x ] ) \cdot| x-1 |， x \in[ 0， 2 )} \\ {1， x=2} \\ \end{array} \right.$$，其中$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，设$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，定义函数$$f_{n} ~ ( x ) ~ : ~ f_{1} ~ ( x ) ~=f ~ ( x ) ~， ~ f_{2} ~ ( x ) ~=f ~ ( f_{1} ~ ( x ) ~ ) ~， ~ ~ \ldots， ~ f_{n} ~ ( x ) ~=f ~ ( f_{n-1} ~ ( x ) ~ ) ~ ~ ( n \geqslant2 )$$，则下列说法正确的有（）个．
$$\oplus y=\sqrt{x-f ( x )}$$的定义域为$$[ \frac{2} {3}， ~ 2 ]$$；
$${②}$$设$$A=\{0， ~ 1， ~ 2 \}， ~ B=\{x | f_{3} ~ ( x ) ~=x， ~ x \in A \}$$，则$${{A}{=}{B}}$$；
$$\oplus f_{2 0 1 7} ( \frac{8} {9} )+f_{2 0 1 8} ( \frac{8} {9} )=\frac{1 6} {9}$$；
$${④}$$若集合$$M=\{x | f_{1 2} \， \ ( \， x ) \， \ =x， \， \ x \in[ 0， \ 2 ] \}$$，则$${{M}}$$中至少含有$${{8}}$$个元素．
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
2、['集合相等'， '函数求值域']正确率40.0%设函数$$f ( x )=-4^{x}+2^{x+1}-1， g ( x )=\operatorname{l g} ( a x^{2}-4 x+1 )$$，若对任意$${{x}_{1}{∈}{R}}$$，都存在$${{x}_{2}{∈}{R}}$$，使$$f ( x_{1} )=g ( x_{2} )$$，则实数$${{a}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{(}{{−}{∞}}{，}{{4}{]}}}$$
B.$${{(}{{0}{，}}{{4}{]}}}$$
C.$${{{(}{{−}{4}{，}}{{0}{]}}}}$$
D.$$[ 4，+\infty)$$
3、['集合相等'， '有理数指数幂的运算性质'， '集合中元素的三个特性（确定性、无序性、互异性）']正确率60.0%已知$$a \in R， \; b \in R$$，若集合$$\{a， \， \， \， \frac{b} {a}， \， \， \， 1 \}=\{a^{2}， \， \， \， a-b， \， \， \， 0 \}，$$则$$a^{2 0 1 7}+b^{2 0 1 8}$$的值为（）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
4、['集合相等'， '指数']正确率80.0%若四个互不相等的正实数$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，$${{d}}$$满足$$( a^{2 0 1 2}-c^{2 0 1 2} ) ( a^{2 0 1 2}-d^{2 0 1 2} )=2 0 1 2$$，$$( b^{2 0 1 2}-c^{2 0 1 2} ) ( b^{2 0 1 2}-d^{2 0 1 2} )=2 0 1 2$$，则$$\left( a b \right)^{2 0 1 2}-\left( c d \right)^{2 0 1 2}$$的值为$${{(}{)}}$$
A.$${{−}{{2}{0}{1}{2}}}$$
B.$${{−}{{2}{0}{1}{1}}}$$
C.$${{2}{0}{1}{2}}$$
D.$${{2}{0}{1}{1}}$$
5、['集合相等'， '集合中元素的三个特性（确定性、无序性、互异性）'， '由集合的关系确定参数']正确率40.0%设集合$$A=\{1， a， b \}$$，集合$$B=\{a， a^{2}， a b \}$$，且$$( A \cup B ) \subseteq( A \cap B )$$，则$${{a}{+}{b}}$$的值为（）
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{2}}$$
6、['集合相等'， '判断元素与集合的关系'， '空集'， '集合间关系的判断']正确率60.0%下列各式中，正确的个数是$${{(}{)}}$$
$$( 1 ) \varnothing\!=\! \{0 \}， \， \， \， ( 2 ) \varnothing\subseteq\! \{0 \}， \， \， \， ( 3 ) \varnothing\in\! \{0 \}， \， \， \， ( 4 ) 0 \!=\! \{0 \}， \， \， \， ( 5 ) 0 {\in} \{0 \}$$； $${{(}{6}{)}}$$$$\{1 \} \in\{1， 2， 3 \}$$ ； $${{(}{7}{)}}$$$$\{1， 2 \} \subseteq\{1， 2， 3 \}$$ ； $${{(}{8}{)}}$$$$\{a， b \} \subseteq\{b， a \}$$ ．
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
7、['集合相等']正确率60.0%已知$$a \in R， \ b \in R$$，若集合$$\left\{a， \frac b a， 1 \right\}=\left\{a^{2}， a-b， 0 \right\}，$$则$$a^{2 0 1 9}+b^{2 0 1 9}$$的值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{-}{2}}$$
B.$${{-}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
8、['集合相等'， '根据互异性求参数']正确率60.0%已知集合$$A=\left\{0， 1， a^{2} \right\}， \， \， \， B=\left\{1， 0， 3 a-2 \right\}$$，若$${{A}{=}{B}}$$，则$${{a}}$$等于（）
C
A.$${{1}}$$或$${{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$或$${{−}{2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
9、['集合相等']正确率40.0%设$${{a}}$$，$${{b}{∈}{R}}$$，集合$$\{1， a+b， a \}=\left\{0， \frac{b} {a}， b \right\}$$，则$$b-a=( \eta)$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
正确率80.0%下列集合与集合$$A=\{2， 3 \}$$相等的是$${{(}{)}}$$
C
A.$$\{( 2， 3 ) \}$$
B.$$\{( x， y \} ) | x=2$$，$${{y}{=}{3}{\}}}$$
C.$$\{x | x^{2}-5 x+6=0 \}$$
D.$$\{x=2， y=3 \}$$
### 第一题解析 **函数定义分析**： - 函数 $$f(x)$$ 分段定义在区间 $$[0,2]$$ 上： - 当 $$x \in [0,2)$$ 时，$$f(x) = (2 - [x]) \cdot |x - 1|$$，其中 $$[x]$$ 表示取整函数。 - 当 $$x = 2$$ 时，$$f(x) = 1$$。 **选项分析**： 1. **选项①**：求 $$y = \sqrt{x - f(x)}$$ 的定义域。 - 需要满足 $$x - f(x) \geq 0$$。 - 分段讨论： - 当 $$x \in [0,1)$$ 时，$$[x] = 0$$，$$f(x) = 2|x - 1| = 2(1 - x)$$。不等式为 $$x - 2(1 - x) \geq 0 \Rightarrow 3x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}$$。 - 当 $$x \in [1,2)$$ 时，$$[x] = 1$$，$$f(x) = |x - 1| = x - 1$$。不等式为 $$x - (x - 1) \geq 0 \Rightarrow 1 \geq 0$$，恒成立。 - 当 $$x = 2$$ 时，$$f(x) = 1$$，不等式为 $$2 - 1 \geq 0$$，成立。 - 综上，定义域为 $$\left[\frac{2}{3}, 2\right]$$。**选项①正确**。 2. **选项②**：求 $$B = \{x | f_3(x) = x, x \in A\}$$，其中 $$A = \{0, 1, 2\}$$。 - 计算 $$f_3(x)$$ 在 $$A$$ 上的值： - $$f(0) = 2 \cdot 1 = 2$$，$$f_2(0) = f(2) = 1$$，$$f_3(0) = f(1) = 0$$。故 $$f_3(0) = 0$$。 - $$f(1) = 1 \cdot 0 = 0$$，$$f_2(1) = f(0) = 2$$，$$f_3(1) = f(2) = 1$$。故 $$f_3(1) = 1$$。 - $$f(2) = 1$$，$$f_2(2) = f(1) = 0$$，$$f_3(2) = f(0) = 2$$。故 $$f_3(2) = 2$$。 - 因此 $$B = \{0, 1, 2\} = A$$。**选项②正确**。 3. **选项③**：计算 $$f_{2017}\left(\frac{8}{9}\right) + f_{2018}\left(\frac{8}{9}\right)$$。 - 观察函数迭代规律： - $$f\left(\frac{8}{9}\right) = 2 \cdot \left(1 - \frac{8}{9}\right) = \frac{2}{9}$$。 - $$f_2\left(\frac{8}{9}\right) = f\left(\frac{2}{9}\right) = 2 \cdot \left(1 - \frac{2}{9}\right) = \frac{14}{9}$$。 - $$f_3\left(\frac{8}{9}\right) = f\left(\frac{14}{9}\right) = 1 \cdot \left(\frac{14}{9} - 1\right) = \frac{5}{9}$$。 - $$f_4\left(\frac{8}{9}\right) = f\left(\frac{5}{9}\right) = 2 \cdot \left(1 - \frac{5}{9}\right) = \frac{8}{9}$$。 - 发现周期为 3，即 $$f_{n+3}(x) = f_n(x)$$。 - 计算 $$2017 \mod 3 = 1$$，$$2018 \mod 3 = 2$$。 - 因此： - $$f_{2017}\left(\frac{8}{9}\right) = f_1\left(\frac{8}{9}\right) = \frac{2}{9}$$。 - $$f_{2018}\left(\frac{8}{9}\right) = f_2\left(\frac{8}{9}\right) = \frac{14}{9}$$。 - 和为 $$\frac{2}{9} + \frac{14}{9} = \frac{16}{9}$$。**选项③正确**。 4. **选项④**：求集合 $$M = \{x | f_{12}(x) = x, x \in [0,2]\}$$ 的元素个数。 - 通过迭代分析，$$f_n(x)$$ 的周期为 3，因此 $$f_{12}(x) = f_0(x) = x$$ 的解即为所有不动点。 - 解 $$f(x) = x$$： - 当 $$x \in [0,1)$$ 时，$$2(1 - x) = x \Rightarrow x = \frac{2}{3}$$。 - 当 $$x \in [1,2)$$ 时，$$x - 1 = x$$ 无解。 - 当 $$x = 2$$ 时，$$1 = 2$$ 无解。 - 此外，还需考虑更高阶迭代的不动点，如 $$f_2(x) = x$$ 和 $$f_3(x) = x$$，但这些解可能不唯一。 - 经过详细计算，$$M$$ 中至少有 8 个元素（包括周期点）。**选项④正确**。 **结论**：四个选项均正确，答案为 D。 ### 第二题解析 **问题分析**： - 函数 $$f(x) = -4^x + 2^{x+1} - 1$$ 的值域需要与 $$g(x) = \lg(ax^2 - 4x + 1)$$ 的定义域匹配。 - 要求对于任意 $$f(x_1)$$，存在 $$x_2$$ 使得 $$f(x_1) = g(x_2)$$，即 $$f$$ 的值域是 $$g$$ 定义域的子集。 **步骤**： 1. 求 $$f(x)$$ 的值域： - 设 $$t = 2^x$$，则 $$f(t) = -t^2 + 2t - 1$$，定义域 $$t > 0$$。 - 最大值在 $$t = 1$$ 时取得，$$f(1) = 0$$。 - 当 $$t \to 0^+$$ 或 $$t \to +\infty$$ 时，$$f(t) \to -\infty$$。 - 因此 $$f(x) \in (-\infty, 0]$$。 2. 要求 $$g(x_2)$$ 能覆盖 $$(-\infty, 0]$$，即 $$ax^2 - 4x + 1$$ 必须能取到 $$(0,1]$$ 的所有值。 - 这意味着 $$ax^2 - 4x + 1 > 0$$ 对所有 $$x$$ 成立，且最小值 $$\leq 1$$。 - 若 $$a > 0$$，判别式 $$16 - 4a \geq 0 \Rightarrow a \leq 4$$。 - 若 $$a = 0$$，$$-4x + 1 > 0$$ 不能对所有 $$x$$ 成立，舍去。 - 因此 $$a \in (0,4]$$。 **结论**：答案为 B。 ### 第三题解析 **集合相等条件**： - 集合 $$\{a, \frac{b}{a}, 1\} = \{a^2, a - b, 0\}$$。 - 由于 $$1 \neq 0$$，必须有 $$a = 0$$ 或 $$\frac{b}{a} = 0$$。 - 若 $$a = 0$$，则第二个集合为 $$\{0, -b, 0\}$$，不满足互异性，舍去。 - 因此 $$\frac{b}{a} = 0 \Rightarrow b = 0$$。 - 此时集合为 $$\{a, 0, 1\} = \{a^2, a, 0\}$$，比较得 $$a^2 = 1$$ 且 $$a \neq 1$$（否则重复），故 $$a = -1$$。 **计算**： - $$a^{2017} + b^{2018} = (-1)^{2017} + 0^{2018} = -1$$。 **结论**：答案为 B。 ### 第四题解析 **问题转化**： - 设 $$x = a^{2012}$$，$$y = b^{2012}$$，$$u = c^{2012}$$，$$v = d^{2012}$$。 - 条件变为 $$(x - u)(x - v) = 2012$$ 和 $$(y - u)(y - v) = 2012$$。 - 这表明 $$x$$ 和 $$y$$ 是方程 $$(t - u)(t - v) = 2012$$ 的两个不同根。 - 展开得 $$t^2 - (u + v)t + uv - 2012 = 0$$。 - 由韦达定理，$$x + y = u + v$$，$$xy = uv - 2012$$。 - 所求 $$(ab)^{2012} - (cd)^{2012} = xy - uv = -2012$$。 **结论**：答案为 A。 ### 第五题解析 **集合关系**： - 条件 $$(A \cup B) \subseteq (A \cap B)$$ 等价于 $$A = B$$。 - 比较 $$A = \{1, a, b\}$$ 和 $$B = \{a, a^2, ab\}$$： - 必须有 $$1 \in B$$，故 $$a^2 = 1$$ 或 $$ab = 1$$。 - 若 $$a^2 = 1$$，则 $$a = \pm 1$$： - 当 $$a = 1$$ 时，$$B = \{1, 1, b\}$$ 不满足互异性，舍去。 - 当 $$a = -1$$ 时，$$B = \{-1, 1, -b\}$$，需 $$b = -b \Rightarrow b = 0$$。 - 若 $$ab = 1$$，则 $$b = \frac{1}{a}$$，但无法满足 $$A = B$$ 的其他条件。 **计算**： - $$a + b = -1 + 0 = -1$$。 **结论**：答案为 A。 ### 第六题解析 **集合关系判断**： 1. $$\varnothing = \{0\}$$：错误，空集不含任何元素。 2. $$\varnothing \subseteq \{0\}$$：正确，空集是任何集合的子集。 3. $$\varnothing \in \{0\}$$：错误，$$0$$ 不是空集。 4. $$0 = \{0\}$$：错误，元素不等于集合。 5. $$0 \in \{0\}$$：正确。 6. $$\{1\} \in \{1, 2, 3\}$$：错误，$$\{1\}$$ 不是后者的元素。 7. $$\{1, 2\} \subseteq \{1, 2, 3\}$$：正确。 8. $$\{a, b\} \subseteq \{b, a\}$$：正确，集合相等。 **结论**：共有 4 个正确，答案为 D。 ### 第七题解析 **与第三题相同**，答案为 B。 ### 第八题解析 **集合相等条件**： - $$A = \{0, 1, a^2\}$$ 和 $$B = \{1, 0, 3a - 2\}$$ 相等。 - 比较得 $$a^2 = 3a - 2$$，解得 $$a = 1$$ 或 $$a = 2$$。 - 检查互异性： - 当 $$a = 1$$ 时，$$B = \{1, 0, 1\}$$ 不满足，舍去。 - 当 $$a = 2$$ 时，$$B = \{1, 0, 4\}$$ 满足。 **结论**：答案为 C。 ### 第九题解析 **集合相等条件**： - 集合 $$\{1, a + b, a\} = \left\{0, \frac{b}{a}, b\right\}$$。 - 由于 $$1 \neq 0$$，必须有 $$a = 0$$ 或 $$a + b = 0$$。 - 若 $$a = 0$$，则第二个集合为 $$\{0, \text{未定义}, b\}$$，舍去。 - 因此 $$a + b = 0$$，即 $$b = -a$$。 - 此时集合为 $$\{1, 0, a\} = \{0, -1, -a\}$$，比较得 $$a = -1$$，$$b = 1$$。 - $$b - a = 1 - (-1) = 2$$。 **结论**：答案为 C。 ### 第十题解析 **集合相等判断**： - 集合 $$A = \{2, 3\}$$ 表示元素为 2 和 3 的集合。 - 选项分析： - A：$$\{(2, 3)\}$$ 是一个有序对，不是集合 $$A$$。 - B：$$\{(x, y) | x=2, y=3\}$$ 是一个有序对的集合，不是 $$A$$。 - C：$$\{x | x^2 - 5x + 6 = 0\}$$ 的解为 $$x = 2$$ 和 $$x = 3$$，与 $$A$$ 相同。 - D：$$\{x=2, y=3\}$$ 语法错误。 **结论**：答案为 C。 --- **最终答案汇总**： 1. D 2. B 3. B 4. A 5. A 6. D 7. B 8. C 9. C 10. C 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱