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正确率80.0%已知集合$${{M}{=}}$$$$\{2， ~ 4， ~ 6， ~ 8 \}$$$${，{N}{=}}$$$$\{1， \ 2 \}$$ ， $$P=\left\{x \mid x=\frac{a} {b}， a \in M， b \in N \right\}$$ ，则集合$${{P}}$$的真子集的个数是（）
D
A.$${{4}}$$
B.$${{6}{4}}$$
C.$${{1}{5}}$$
D.$${{6}{3}}$$
2、['集合相等'， '子集'， '空集'， '真子集'， '元素与集合的关系'， '按元素的属性分（点集、数集）']正确率60.0%下列关系中正确的个数为（）
①$${{0}{∈}}$$$${{\{}{0}{\}}}$$；②$${{∅}}$$$$\subsetneq\{0 \} ;$$ ③$$\{0， 1 \} \subseteq\{( 0， 1 ) \} ;$$④$$\{( 1， 0 ) \}$$$${{=}}$$$$\{( 0， 1 ) \}$$.
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
3、['终边相同的角'， '真子集'， '集合间关系的判断']正确率60.0%若集合$$M=\{x \mid x=\frac{\pi} {4}+k \cdot\frac{\pi} {2}， k \in{\bf Z} \}$$，$$N=\{x \mid x=\frac{\pi} {2}+k \cdot\frac{\pi} {4}， k \in{\bf Z} \}$$，则（）
B
A.$${{M}{=}{N}}$$
B.$${{M}{⫋}{N}}$$
C.$${{N}{⫋}{M}}$$
D.$$M \cap N=\varnothing$$
4、['一元二次方程的解集'， '真子集'， '集合间关系的判断']正确率60.0%设集合$$M=\{x | x > 1 \}， \， \， \， P=\{x | x^{2}-6 x+9=0 \}$$，则下列关系中正确的是（）
B
A.$${{M}{=}{P}}$$
B.$${{P}{⊊}{M}}$$
C.$${{M}{⊊}{P}}$$
D.$$M \cup P=R$$
5、['判断元素与集合的关系'， '真子集'， '集合间关系的判断']正确率80.0%下列关系式中，正确的关系式有几个（）
$$( 1 ) \， \， \sqrt{2} \in Q$$$$( 2 ) \ 0 \notin N$$$$( 3 ) \ 2 \in\{1， \ 2 \}$$$$( 4 ) \， \， \， \emptyset=\{0 \}$$．
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
6、['并集'， '集合相等'， '真子集'， '一元二次不等式的解法'， '集合间关系的判断'， '绝对值不等式的解法']正确率60.0%设集合$$P=\{x | | x | > 3 \}， \， \， \， Q=\{x | x^{2} > 4 \}$$，则下列结论正确的是（）
B
A.$${{Q}{⫋}{P}}$$
B.$${{P}{⫋}{Q}}$$
C.$${{P}{=}{Q}}$$
D.$$P \cup Q={\bf R}$$
7、['集合的（真）子集个数问题'， '集合中元素的三个特性（确定性、无序性、互异性）'， '真子集']正确率60.0%设集合$$A=\left\{1， 2， 3 \right\}， B=\left\{4， 5 \right\}， M=\left\{x \left| x=a+b， a \in A， b \in B \right\} \right.$$，则$${{M}}$$的真子集的个数为（）
B
A.$${{7}}$$
B.$${{1}{5}}$$
C.$${{3}{1}}$$
D.$${{6}{3}}$$
8、['子集'， '真子集'， '对数方程与对数不等式的解法'， '集合的混合运算']正确率60.0%svg异常
D
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
9、['真子集'， '描述法']正确率60.0%已知集合$$A=\{x \in Z | \frac{2} {x-1} \in Z \}$$，则集合$${{A}}$$的真子集的个数为（）
C
A.$${{1}{3}}$$
B.$${{1}{4}}$$
C.$${{1}{5}}$$
D.$${{1}{6}}$$
10、['子集'， '集合的（真）子集个数问题'， '真子集']正确率60.0%集合$$A=\{\frac{1} {3}， \enspace\frac{1} {2}， \enspace1， \enspace2， \enspace3 \}，$$具有性质$${{“}}$$若$${{x}{∈}{P}}$$，则$$\frac{1} {x} \in P^{n}$$的所有非空子集的个数为（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{1}{5}}$$
D.$${{3}{1}}$$
1. 解析：
集合 $$M = \{2, 4, 6, 8\}$$，$$N = \{1, 2\}$$，$$P = \left\{x \mid x = \frac{a}{b}, a \in M, b \in N \right\}$$。
计算 $$P$$ 的所有可能元素：
当 $$b = 1$$ 时，$$x = \frac{a}{1} = a$$，即 $$\{2, 4, 6, 8\}$$。
当 $$b = 2$$ 时，$$x = \frac{a}{2}$$，即 $$\{1, 2, 3, 4\}$$。
因此，$$P = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}$$，共有 6 个元素。
真子集的个数为 $$2^6 - 1 = 63$$。
答案为 $$D$$。
2. 解析：
① $$0 \in \{0\}$$ 正确；
② $$\emptyset \subsetneq \{0\}$$ 正确（空集是任何非空集合的真子集）；
③ $$\{0, 1\}$$ 与 $$\{(0, 1)\}$$ 类型不同，不成立；
④ $$(1, 0) \neq (0, 1)$$，集合不相等。
正确的有 2 个，答案为 $$B$$。
3. 解析：
集合 $$M$$ 表示 $$x = \frac{\pi}{4} + k \cdot \frac{\pi}{2}$$，即 $$\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \dots$$。
集合 $$N$$ 表示 $$x = \frac{\pi}{2} + k \cdot \frac{\pi}{4}$$，即 $$\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \dots$$。
显然 $$M \subset N$$（$$M$$ 的元素都是 $$N$$ 的元素，但 $$N$$ 包含更多元素如 $$\frac{\pi}{2}$$）。
答案为 $$B$$。
4. 解析：
集合 $$M = \{x \mid x > 1\}$$，$$P = \{x \mid x^2 - 6x + 9 = 0\} = \{3\}$$。
显然 $$\{3\} \subset \{x \mid x > 1\}$$，即 $$P \subsetneq M$$。
答案为 $$B$$。
5. 解析：
① $$\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$$ 错误；
② $$0 \in \mathbb{N}$$ 错误（视定义而定，通常 $$0 \in \mathbb{N}$$）；
③ $$2 \in \{1, 2\}$$ 正确；
④ $$\emptyset \neq \{0\}$$ 错误。
正确的只有 1 个，答案为 $$B$$。
6. 解析：
集合 $$P = \{x \mid |x| > 3\} = (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$$；
集合 $$Q = \{x \mid x^2 > 4\} = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$$。
显然 $$P \subset Q$$，即 $$P \subsetneq Q$$。
答案为 $$A$$。
7. 解析：
集合 $$A = \{1, 2, 3\}$$，$$B = \{4, 5\}$$，$$M = \{x \mid x = a + b, a \in A, b \in B\}$$。
计算 $$M$$ 的元素：
$$1 + 4 = 5$$，$$1 + 5 = 6$$，$$2 + 4 = 6$$，$$2 + 5 = 7$$，$$3 + 4 = 7$$，$$3 + 5 = 8$$。
因此 $$M = \{5, 6, 7, 8\}$$，共有 4 个元素。
真子集的个数为 $$2^4 - 1 = 15$$。
答案为 $$B$$。
9. 解析：
集合 $$A = \{x \in \mathbb{Z} \mid \frac{2}{x - 1} \in \mathbb{Z}\}$$。
要求 $$\frac{2}{x - 1}$$ 为整数，则 $$x - 1$$ 是 2 的约数，即 $$x - 1 \in \{-2, -1, 1, 2\}$$。
因此 $$x \in \{-1, 0, 2, 3\}$$，$$A = \{-1, 0, 2, 3\}$$，共有 4 个元素。
真子集的个数为 $$2^4 - 1 = 15$$。
答案为 $$C$$。
10. 解析：
集合 $$A = \left\{\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1, 2, 3\right\}$$，要求子集 $$P$$ 满足若 $$x \in P$$，则 $$\frac{1}{x} \in P$$。
符合条件的非空子集必须成对包含 $$x$$ 和 $$\frac{1}{x}$$：
$$\{\frac{1}{3}, 3\}$$，$$\{\frac{1}{2}, 2\}$$，$$\{1\}$$，以及它们的组合：
$$\{\frac{1}{3}, 3, \frac{1}{2}, 2\}$$，$$\{\frac{1}{3}, 3, 1\}$$，$$\{\frac{1}{2}, 2, 1\}$$，$$\{\frac{1}{3}, 3, \frac{1}{2}, 2, 1\}$$。
共有 7 个非空子集，答案为 $$B$$。