根据命题的真假求参数范围-1.7 逻辑用语的拓展与综合知识点月考进阶单选题自测题答案-江苏省等高一数学必修,平均正确率50.0%

第2题：已知 $$p : \exists x \in \{x | 1 < x < 3 \}$$，$$x-a \geqslant 0$$，若 $$\neg p$$ 是真命题，则实数 $$a$$ 的取值范围是（ ）。

1. 原命题 $$p$$ 表示：存在 $$x \in (1,3)$$，使得 $$x-a \geq 0$$，即 $$a \leq x$$

2. $$\neg p$$ 为真，则 $$p$$ 为假，即对任意 $$x \in (1,3)$$，都有 $$x-a < 0$$，即 $$a > x$$

3. 要使得对任意 $$x \in (1,3)$$ 都有 $$a > x$$，则 $$a$$ 必须大于 $$x$$ 的最大值，即 $$a \geq 3$$

4. 验证边界：当 $$a = 3$$ 时，对任意 $$x \in (1,3)$$ 都有 $$x < 3$$，满足 $$x-a < 0$$

第3题：已知 $$p : \exists x \in \mathbf{R}, x^{2}+x+a < 0$$，若 $$p$$ 是假命题，则实数 $$a$$ 的取值范围是（ ）。

1. $$p$$ 为假，即其否定 $$\neg p$$ 为真：$$\forall x \in \mathbf{R}, x^{2}+x+a \geq 0$$

2. 二次函数 $$f(x) = x^{2}+x+a$$ 开口向上，要恒大于等于0，需判别式 $$\Delta \leq 0$$

3. 计算判别式：$$\Delta = 1-4a \leq 0$$，解得 $$a \geq \frac{1}{4}$$

4. 验证边界：当 $$a = \frac{1}{4}$$ 时，$$f(x) = (x+\frac{1}{2})^{2} \geq 0$$ 恒成立

第4题：若命题 $$\exists x_{0} \in R$$，使得 $$x_{0}^{2}+m x_{0}+2 m+5 < 0$$ 为假命题，则实数 $$m$$ 的取值范围是（ ）。

1. 命题为假，即其否定为真：$$\forall x \in R, x^{2}+m x+2 m+5 \geq 0$$

2. 二次函数 $$f(x) = x^{2}+m x+2 m+5$$ 开口向上，要恒大于等于0，需判别式 $$\Delta \leq 0$$

3. 计算判别式：$$\Delta = m^{2}-4(2 m+5) = m^{2}-8 m-20 \leq 0$$

4. 解不等式：$$m^{2}-8 m-20 \leq 0$$，解得 $$-2 \leq m \leq 10$$

第5题：若命题 $$\exists x_{0} \in R$$，使得 $$3 x_{0}^{2}+2 a x_{0}+1 < 0$$ 是假命题，则实数 $$a$$ 取值范围是（ ）。

1. 命题为假，即其否定为真：$$\forall x \in R, 3 x^{2}+2 a x+1 \geq 0$$

2. 二次函数 $$f(x) = 3 x^{2}+2 a x+1$$ 开口向上，要恒大于等于0，需判别式 $$\Delta \leq 0$$

3. 计算判别式：$$\Delta = (2 a)^{2}-4 \times 3 \times 1 = 4 a^{2}-12 \leq 0$$

4. 解不等式：$$4 a^{2}-12 \leq 0$$，即 $$a^{2} \leq 3$$，解得 $$-\sqrt{3} \leq a \leq \sqrt{3}$$

第6题：若命题"存在 $$x \in R$$，使得 $$x^{2}+m x+2 m-3 < 0$$"为假命题，则实数 $$m$$ 的取值范围为（ ）。

1. 命题为假，即其否定为真：$$\forall x \in R, x^{2}+m x+2 m-3 \geq 0$$

2. 二次函数 $$f(x) = x^{2}+m x+2 m-3$$ 开口向上，要恒大于等于0，需判别式 $$\Delta \leq 0$$

3. 计算判别式：$$\Delta = m^{2}-4(2 m-3) = m^{2}-8 m+12 \leq 0$$

4. 解不等式：$$m^{2}-8 m+12 \leq 0$$，即 $$(m-2)(m-6) \leq 0$$，解得 $$2 \leq m \leq 6$$

第7题：已知命题 $$p : \forall x \in R, (a+2) x^{2}-2 a x+1 < 0$$，若命题 $$P$$ 为假，则 $$a$$ 的取值范围为（ ）。

1. $$p$$ 为假，即其否定为真：$$\exists x \in R, (a+2) x^{2}-2 a x+1 \geq 0$$

2. 分情况讨论：

情况1：当 $$a+2 > 0$$ 时，二次函数开口向上，必然存在 $$x$$ 使函数值 $$\geq 0$$

情况2：当 $$a+2 = 0$$ 时，$$a = -2$$，原式变为 $$4x+1 < 0$$，这不是恒成立，故 $$p$$ 为假

情况3：当 $$a+2 < 0$$ 时，二次函数开口向下，要使得存在 $$x$$ 使函数值 $$\geq 0$$，需判别式 $$\Delta \geq 0$$

3. 计算判别式：$$\Delta = (-2a)^{2}-4(a+2) = 4a^{2}-4a-8 \geq 0$$

解得 $$a \leq -1$$ 或 $$a \geq 2$$，结合 $$a < -2$$，得 $$a \leq -2$$

4. 综合得：$$a \leq -2$$ 或 $$a > -2$$（即全体实数）

第8题：若命题 $$\forall x \in R$$，使 $$x^{2}+(a-1)x+1 \geq 0$$ 是真命题，则实数 $$a$$ 的取值范围为（ ）。

1. 二次函数 $$f(x) = x^{2}+(a-1)x+1$$ 开口向上，要恒大于等于0，需判别式 $$\Delta \leq 0$$

2. 计算判别式：$$\Delta = (a-1)^{2}-4 = a^{2}-2a-3 \leq 0$$

3. 解不等式：$$a^{2}-2a-3 \leq 0$$，即 $$(a-3)(a+1) \leq 0$$，解得 $$-1 \leq a \leq 3$$

第9题：已知函数 $$f(x)=\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)+\frac{1}{2}|\sin x-\cos x|$$，若命题 $$\forall x \in R, m \leq f(x) \leq M$$ 是真命题，则区间 $$[m,M]$$ 的长度的最小值是（ ）。

1. 分析函数：当 $$\sin x \geq \cos x$$ 时，$$f(x) = \sin x$$；当 $$\sin x < \cos x$$ 时，$$f(x) = \cos x$$

2. 因此 $$f(x) = \max\{\sin x, \cos x\}$$

3. 求最大值 $$M$$：$$\sin x$$ 和 $$\cos x$$ 的最大值都是1，且可以同时取到1，故 $$M = 1$$

4. 求最小值 $$m$$：考虑 $$\sin x$$ 和 $$\cos x$$ 的最小值情况，当 $$\sin x = \cos x$$ 时，$$x = \frac{\pi}{4}+k\pi$$，此时 $$f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

5. 但这是最小值吗？考虑 $$\sin x$$ 和 $$\cos x$$ 的关系，实际上 $$f(x)$$ 的最小值是 $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$

6. 区间长度：$$1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$$，但选项中无此值，重新分析

7. 正确分析：$$f(x) = \max\{\sin x, \cos x\}$$ 的最小值出现在 $$\sin x = \cos x$$ 时，为 $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$

但选项中最接近的是 $$1+\frac{\sqrt{2}}{2}$$，说明可能理解有误

8. 重新计算：$$f(x) = \frac{1}{2}(\sin x+\cos x+|\sin x-\cos x|)$$

当 $$\sin x \geq \cos x$$ 时，$$f(x) = \sin x$$，值域 $$[-1,1]$$

当 $$\sin x < \cos x$$ 时，$$f(x) = \cos x$$，值域 $$[-1,1]$$

但最小值不是-1，因为当 $$\sin x = -1$$ 时，$$\cos x = 0$$，此时 $$\sin x < \cos x$$，$$f(x) = \cos x = 0$$

9. 正确值域：通过分析，$$f(x)$$ 的最小值是 $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$，最大值是1

区间长度：$$1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$$

但选项中无此值，可能题目有误或理解有偏差

第10题：若命题"$$\forall x \in (1,+\infty), x^{2}-(2+a)x+2+a \geq 0$$"为真命题，则实数 $$a$$ 的取值范围是（ ）。

1. 设 $$f(x) = x^{2}-(2+a)x+2+a$$，开口向上

2. 要使得在 $$(1,+\infty)$$ 上恒有 $$f(x) \geq 0$$，需考虑对称轴位置

3. 对称轴 $$x = \frac{2+a}{2}$$

4. 情况1：对称轴 $$\leq 1$$，即 $$\frac{2+a}{2} \leq 1$$，解得 $$a \leq 0$$

此时最小值在 $$x=1$$ 处，$$f(1) = 1-(2+a)+2+a = 1 \geq 0$$，恒成立

5. 情况2：对称轴 $$> 1$$，即 $$a > 0$$

此时最小值在顶点处，需判别式 $$\Delta \leq 0$$

6. 计算判别式：$$\Delta = (2+a)^{2}-4(2+a) = a^{2}-4$$

$$\Delta \leq 0$$ 解得 $$-2 \leq a \leq 2$$，结合 $$a > 0$$ 得 $$0 < a \leq 2$$

7. 综合两种情况：$$a \leq 2$$