存在量词命题-1.6 全称量词与存在量词知识点回顾基础自测题答案-辽宁省等高一数学必修,平均正确率60.0%

1. 解析：

① "所有的四边形都是矩形" 使用量词 "所有"，是全称量词命题，错误。

② "$$\forall x \in\mathbf{R}, x^{2}+1 < 0$$" 使用全称量词 $$\forall$$，正确。

③ 原命题 "$$\exists x_{0} \in\mathbf{R}, x_{0}^{2}+1 \leqslant 0$$" 的否定应为 "$$\forall x \in\mathbf{R}, x^{2}+1 > 0$$"，但给定否定为 "$$\forall x \in\mathbf{R}, x^{2}+1 \geqslant 0$$"，不完全准确（应严格>0），错误。

④ "$$a > b$$ 是 $$a c^{2} > b c^{2}$$ 的必要条件"：当 $$c=0$$ 时，$$ac^{2}=bc^{2}$$，但 $$a>b$$ 可能成立，故不是必要条件，假命题，错误。

正确个数：1（仅②正确）。答案：B

2. 解析：

A. "至少有一个实数 $$x$$ 使得 $$x^{3}=1$$" 是存在量词命题，且 $$x=1$$ 满足，真命题。

B. "菱形的对角线互相垂直" 是全称命题（隐含所有菱形）。

C. "$$\forall x \in\mathbf{R}, x^{2}+x+\frac{1}{4} \geq 0$$" 是全称量词命题。

D. "$$\exists x \in\mathbf{R}$$，抛物线 $$y=-x^{2}+x-2$$ 与 $$x$$ 轴有交点"：判别式 $$\Delta=1-8=-7<0$$，无交点，假命题。

满足存在量词且真命题的只有A。答案：A

3. 解析：命题 "存在 $$x$$，$$x^{2}+2x+m \leqslant 0$$" 为真，即二次函数 $$f(x)=x^{2}+2x+m$$ 有非正函数值。

最小值在 $$x=-1$$ 处，$$f(-1)=1-2+m=m-1$$。需 $$m-1 \leqslant 0$$，即 $$m \leqslant 1$$。

但选项无 $$m \leqslant 1$$，疑为 "$$x^{2}+2x+m \leqslant 0$$" 或输入有误。给定选项，最接近为C（$$-1 \leqslant m \leqslant 1$$），但非精确。基于最小值需 $$\leqslant 0$$，应 $$m \leqslant 1$$，但选项无，可能题目为 "$$x^{2}+2x+m>0$$" 或其他。假设命题为 "存在 $$x$$ 使 $$x^{2}+2x+m \leqslant 0$$"，则需 $$m \leqslant 1$$，但选项不符，疑误。

重新审题："若命题“存在$$x$$”是真命题"，可能指 $$x^{2}+2x+m \leqslant 0$$ 有解，则判别式 $$\Delta=4-4m \geqslant 0$$，即 $$m \leqslant 1$$，仍无选项。可能为 "$$x^{2}+2x+m>0$$" 但 "存在" 矛盾。或题目不完整。

给定选项，C为 $$-1 \leqslant m \leqslant 1$$，部分满足 $$m \leqslant 1$$，但非充要。可能题目有误，但基于选项猜测C。

答案：C（假设）

4. 解析：

① "所有的四边形都是矩形" 是全称命题，非特称（存在量词），错误。

② "$$\forall x \in\mathbf{R}, x^{2} \geqslant 0$$" 是全称命题，正确。

③ "$$\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2}+4 x^{0}+4 \leqslant 0$$" 使用存在量词，是特称命题，正确（注：$$x^{0}=1$$，即 $$x_{0}^{2}+4+4 \leqslant 0$$，即 $$x_{0}^{2} \leqslant -8$$，无解，但命题类型正确）。

正确个数：2（②和③）。答案：C

5. 解析：狄利克雷函数 $$D(x)$$ 取值为0或1，值域为 $$\{0,1\}$$，非 $$[0,1]$$，故命题 $$p$$ 假。

对任意有理数 $$T$$，$$D(x+T)=D(x)$$（因有理数加有理数为有理，无理加有理为无理），故存在无数非零常数 $$T$$（所有有理数）使得 $$D(x+T)=D(x)$$，命题 $$q$$ 真。

故 $$\neg p \wedge q$$ 为真。答案：C

6. 解析：命题 "$$\exists x \in[1,2], a x^{2}+1 \leqslant 0$$" 为真，即存在 $$x \in [1,2]$$ 使 $$a x^{2} \leqslant -1$$，即 $$a \leqslant -\frac{1}{x^{2}}$$。

$$x \in [1,2]$$ 时，$$-\frac{1}{x^{2}} \in [-\frac{1}{1}, -\frac{1}{4}] = [-1, -\frac{1}{4}]$$。需 $$a$$ 不大于该区间最大值，即 $$a \leqslant -\frac{1}{4}$$（当 $$x=2$$ 时最易满足）。

充分必要条件：$$a \leqslant -\frac{1}{4}$$。答案：B

7. 解析：存在 $$x \in (0,+\infty)$$ 使 $$a x+3 a-1 < e^{-x}$$。

令 $$f(x)=e^{-x} - (a x+3a-1)$$，需存在 $$x>0$$ 使 $$f(x)>0$$。

当 $$a \leqslant 0$$ 时，$$a x+3a-1 \leqslant -1$$，而 $$e^{-x}>0$$，显然成立。

当 $$a>0$$ 时，考虑最小值。但选项无 $$a \leqslant 0$$，疑为 $$a<\frac{1}{3}$$ 等。

重新审题：可能为 "$$a x+3a-1 < e^{x}$$" 或其他，但给定 $$e^{-x}$$。

尝试 $$x=0$$（虽不在开区间，但可趋近）：$$a \cdot 0+3a-1=3a-1$$，$$e^{-0}=1$$，需 $$3a-1<1$$，即 $$a<\frac{2}{3}$$。

且需存在某 $$x>0$$ 满足。对于 $$a \geqslant \frac{2}{3}$$，在 $$x=0$$ 处不满足，但可能其他 $$x$$ 满足？例如 $$a=1$$，$$x+20$$ 时 $$x+2>2$$，$$e^{-x}<1$$，不成立。故需 $$a<\frac{2}{3}$$。

选项B为 $$\{a | a < \frac{2}{3} \}$$。答案：B

8. 解析：

命题 $$p$$：$$\exists x_{0} \in\mathbf{N}, x_{0}^{3} < x_{0}^{2}$$。自然数中，$$x_{0}=0$$ 或 $$1$$：$$0^{3}=0<0^{2}=0$$（假，等），$$1^{3}=1<1^{2}=1$$（假）。其他自然数均 $$x^{3} \geqslant x^{2}$$。故无解，$$p$$ 假。

命题 $$q$$：$$\forall a \in(0,1) \cup(1,+\infty)$$，函数 $$f(x)=\log_{a}(x-1)$$ 过点 $$(2,0)$$。代入 $$x=2$$，$$f(2)=\log_{a}(1)=0$$，对所有 $$a>0$$ 且 $$a \neq 1$$ 成立，故 $$q$$ 真。

答案：A（$$p$$ 假 $$q$$ 真）

9. 解析：

① "所有的四边形都是矩形" 是全称量词命题，非存在量词，错误。

② "$$\forall x \in\mathbf{R}, x^{2}+2 < 0$$" 使用全称量词 $$\forall$$，正确。

③ "$$\exists x_{0} \in\mathbf{R}, x_{0}^{2}+4 x_{0}+4 \leqslant 0$$" 使用存在量词 $$\exists$$，正确。

正确个数：2（②和③）。答案：C

10. 解析：命题 $$p$$："实数的平方是非负数"，即 $$\forall x \in\mathbf{R}, x^{2} \geqslant 0$$，是全称量词命题。

其否定为 $$\exists x \in\mathbf{R}, x^{2} < 0$$，是假命题。

A. 命题否定是假命题，错误。

B. 不是存在量词命题，错误。

C. 是全称量词命题，正确。

D. 错误。

答案：C