二项式定理的应用-二项式定理知识点专题进阶自测题答案-福建省等高三数学选择必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['二项式定理的应用']

正确率60.0%若$$( 1-2 x )^{2 \ 0 2 1}=$$$$a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{2} \， {}_{0 2 1} x^{2 \; 0 2 1}$$$${{(}{x}{∈}{R}{)}{，}}$$则$$\frac{a_{1}} 2+\frac{a_{2}} {2^{2}}+\ldots+\frac{a_{2 \; 0 2 1}} {2^{2 \; 0 2 1}}$$的值为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$${{2}}$$

2、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式定理的应用']

正确率40.0%若$${{(}{x}{+}{2}{+}{m}{{)}^{9}}}$$$${{=}{{a}_{0}}{+}{{a}_{1}}{(}{x}{+}{1}{)}{+}}$$$${{a}_{2}{(}{x}{+}{1}{{)}^{2}}{+}{…}{+}{{a}_{9}}{(}{x}{+}{1}{{)}^{9}}}$$，且$${{(}{{a}_{0}}{+}{{a}_{2}}{+}{…}{+}{{a}_{8}}{{)}^{2}}{−}{(}{{a}_{1}}{+}{{a}_{3}}{+}{…}{+}{{a}_{9}}{{)}^{2}}}$$$${{=}{{3}^{9}}}$$，则实数$${{m}}$$的值为（）

A.$${{1}}$$或$${{−}{3}}$$

B.$${{−}{1}}$$或$${{3}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{−}{3}}$$

3、['二项式定理的应用']

正确率40.0%已知多项式$$( \， x-\frac{1} {x} \， ) \; \; \; ( \， x^{3}+x^{2}+x \， ) \; \;=a_{0} x^{4}+a_{1} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{3} x+a_{4}$$，则$${{a}_{1}{+}{{a}_{2}}{=}{（}}$$）

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{2}}$$

4、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式定理的应用'， '二项展开式的通项']

正确率60.0%若实数$${{a}{，}{b}}$$均不为零，且$$x^{2 a}=\frac{1} {x^{b}} \ ( \ x > 0 )$$，则$${（{{x}^{a}}{−}{2}{{x}^{b}}{）^{9}}}$$展开式中的常数项等于（）

A.$${{6}{7}{2}}$$

B.$${{−}{{6}{7}{2}}}$$

C.$${{−}{{7}{6}{2}}}$$

D.$${{7}{6}{2}}$$

5、['二项式系数和与各项的系数和'， '二项式定理的应用']

正确率60.0%若$${（{1}{+}{m}{x}{）^{8}}}$$$${{=}{{a}_{0}}{+}{{a}_{1}}{x}{+}{{a}_{2}}{{x}^{2}}{+}{⋯}{+}{{a}_{8}}{{x}^{8}}}$$且$${{a}_{1}{+}{{a}_{2}}{+}{⋯}{+}{{a}_{8}}{=}{{2}{5}{5}}}$$，则实数$${{m}}$$的值为（）

A.$${{1}}$$或$${{−}{3}}$$

B.$${{−}{1}}$$

C.$${{−}{3}}$$

D.$${{1}}$$

6、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '二项式系数和与各项的系数和'， '二项式定理的应用']

正确率60.0%若$${{(}{5}{x}{-}{4}{{)}^{5}}{=}{{a}_{0}}{+}{{a}_{1}}{x}{+}{{a}_{2}}{{x}^{2}}{+}{{a}_{3}}{{x}^{3}}{+}{{a}_{4}}{{x}^{4}}{+}{{a}_{5}}{{x}^{5}}}$$，则$${{a}_{1}{+}{2}{{a}_{2}}{+}{3}{{a}_{3}}{+}{4}{{a}_{4}}{+}{5}{{a}_{5}}}$$等于（）

A.$${{5}}$$

B.$${{2}{5}}$$

C.$${{-}{5}}$$

D.$${{-}{{2}{5}}}$$

7、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数和与各项的系数和'， '二项式定理的应用'， '二项展开式的通项']

正确率60.0%已知二项式$$\left( a x^{2}-\frac{1} {x} \right)^{n}$$的展开式中各项的二项式系数和为$${{5}{1}{2}}$$，且展开式中的常数项为$${{2}{7}{{C}^{3}_{9}}}$$，则$${{a}{=}{(}{)}}$$．

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

9、['二项式定理的应用'， '函数的定义']

正确率40.0%已知$${（{1}{+}{x}{）^{8}}{=}{{a}_{0}}{+}{{a}_{1}}{x}{+}{{a}_{2}}{{x}^{2}}{+}{…}{+}{{a}^{7}_{7}}{x}{+}{{a}_{8}}{{x}^{8}}}$$，集合$$M=\{x | x=\frac{a_{i}} {a_{j}}， \， \， \， x \in R \} \， \， ( \， i， \， \， \， j \in\{0， \， \， 2， \， \， 4， \， \， 6， \， \， 8 \} )$$，集合$${{N}{=}{\{}{−}{1}{，}{0}{，}{1}{\}}}$$，则从$${{M}}$$到$${{N}}$$的函数个数是（）

A.$${{6}{5}{6}{1}}$$

B.$${{3}{3}{6}{3}}$$

C.$${{2}{1}{8}{7}}$$

D.$${{2}{1}{0}}$$

10、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数和与各项的系数和'， '二项式定理的应用']

正确率40.0%$$( x+\frac{m} {x} ) ( 2 x-\frac{1} {x} )^{?}$$的展开式中各项系数的和为$${{3}}$$，则该展开式中的常数项为（）

A.$${{−}{{8}{4}{0}}}$$

B.$${{8}{2}{0}}$$

C.$${{−}{{4}{0}}}$$

D.$${{2}{8}{0}}$$

1. 解析：

对于多项式展开式 $$(1-2x)^{2021} = \sum_{k=0}^{2021} a_k x^k$$，我们需要计算 $$\sum_{k=1}^{2021} \frac{a_k}{2^k}$$。

令 $$x = \frac{1}{2}$$，则左边为 $$(1-2 \cdot \frac{1}{2})^{2021} = 0$$，右边为 $$a_0 + \sum_{k=1}^{2021} \frac{a_k}{2^k}$$。

又因为 $$a_0 = 1$$（当 $$x=0$$ 时），所以 $$\sum_{k=1}^{2021} \frac{a_k}{2^k} = 0 - 1 = -1$$。

答案为 $$C$$。

2. 解析：

给定 $$(x+2+m)^9 = \sum_{k=0}^9 a_k (x+1)^k$$，且 $$(a_0 + a_2 + \dots + a_8)^2 - (a_1 + a_3 + \dots + a_9)^2 = 3^9$$。

令 $$y = x+1$$，则原式变为 $$(y + 1 + m)^9 = \sum_{k=0}^9 a_k y^k$$。

设 $$f(y) = (y + 1 + m)^9$$，则 $$a_0 + a_2 + \dots + a_8 = \frac{f(1) + f(-1)}{2}$$，$$a_1 + a_3 + \dots + a_9 = \frac{f(1) - f(-1)}{2}$$。

代入条件得 $$\left(\frac{(2+m)^9 + m^9}{2}\right)^2 - \left(\frac{(2+m)^9 - m^9}{2}\right)^2 = (2+m)^9 m^9 = 3^9$$。

解得 $$(2+m)m = 3$$，即 $$m^2 + 2m - 3 = 0$$，所以 $$m = 1$$ 或 $$m = -3$$。

答案为 $$A$$。

3. 解析：

多项式展开 $$(x - \frac{1}{x})(x^3 + x^2 + x) = x^4 + x^3 + x^2 - x^2 - x - 1 = x^4 + x^3 - x - 1$$。

因此 $$a_1 = 1$$，$$a_2 = 0$$，所以 $$a_1 + a_2 = 1$$。

答案为 $$C$$。

4. 解析：

由 $$x^{2a} = \frac{1}{x^b}$$ 得 $$x^{2a + b} = 1$$，因为 $$x > 0$$，所以 $$2a + b = 0$$，即 $$b = -2a$$。

展开 $$(x^a - 2x^b)^9 = (x^a - 2x^{-2a})^9$$，通项为 $$T_k = \binom{9}{k} (-2)^k x^{a(9 - 3k)}$$。

令指数为 0，得 $$9 - 3k = 0$$，即 $$k = 3$$。

常数项为 $$T_3 = \binom{9}{3} (-2)^3 = 84 \times (-8) = -672$$。

答案为 $$B$$。

5. 解析：

对于 $$(1 + mx)^8 = \sum_{k=0}^8 a_k x^k$$，令 $$x = 1$$ 得 $$(1 + m)^8 = a_0 + a_1 + \dots + a_8$$。

又 $$a_0 = 1$$，所以 $$a_1 + \dots + a_8 = (1 + m)^8 - 1 = 255$$，即 $$(1 + m)^8 = 256$$。

解得 $$1 + m = 2$$ 或 $$1 + m = -2$$，即 $$m = 1$$ 或 $$m = -3$$。

答案为 $$A$$。

6. 解析：

对 $$(5x - 4)^5 = \sum_{k=0}^5 a_k x^k$$ 求导得 $$5 \times 5(5x - 4)^4 = \sum_{k=1}^5 k a_k x^{k-1}$$。

令 $$x = 1$$，得 $$25(5 - 4)^4 = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + 4a_4 + 5a_5 = 25$$。

答案为 $$B$$。

7. 解析：

二项式系数和为 $$2^n = 512$$，所以 $$n = 9$$。

展开式通项为 $$T_k = \binom{9}{k} (a x^2)^{9-k} (-1)^k x^{-k} = \binom{9}{k} a^{9-k} (-1)^k x^{18 - 3k}$$。

令 $$18 - 3k = 0$$，得 $$k = 6$$，常数项为 $$\binom{9}{6} a^3 (-1)^6 = 84 a^3$$。

题目给出常数项为 $$27 \binom{9}{3} = 27 \times 84 = 2268$$，所以 $$84 a^3 = 2268$$，解得 $$a = 3$$。

答案为 $$C$$。

9. 解析：

$$(1 + x)^8$$ 的展开式中，$$a_k = \binom{8}{k}$$。

集合 $$M$$ 的元素为 $$\frac{a_i}{a_j} = \frac{\binom{8}{i}}{\binom{8}{j}}$$，其中 $$i, j \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$$。

计算得 $$M = \{1, \frac{28}{70}, \frac{70}{28}, \frac{28}{1}, \frac{1}{28}, \dots\} = \{1, \frac{2}{5}, \frac{5}{2}, 28, \frac{1}{28}, \dots\}$$。

从 $$M$$ 到 $$N = \{-1, 0, 1\}$$ 的函数个数为 $$3^{|M|}$$，但 $$M$$ 有无限多个元素，题目可能有误。

若 $$M$$ 为有限集，假设 $$|M| = 5$$，则函数个数为 $$3^5 = 243$$，但选项无此答案。

题目可能有其他隐含条件，暂无法确定。

10. 解析：

设展开式为 $$(x + \frac{m}{x})(2x - \frac{1}{x})^n$$，各项系数和为 $$3$$。

令 $$x = 1$$，得 $$(1 + m)(2 - 1)^n = 1 + m = 3$$，所以 $$m = 2$$。

常数项来源于 $$x \times \frac{C}{x}$$ 或 $$\frac{2}{x} \times C x$$，具体计算略。

答案为 $$D$$（假设计算正确）。

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