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正确率60.0%设$${{a}}$$是函数$$y=\operatorname{c o s} x+\sqrt{3} \operatorname{s i n} x \ ( \ x \in R )$$的最大值，则二项式$$( \ a \sqrt{x}-\frac{1} {\sqrt{x}} )^{\textit{6}}$$的展开式中含$${{x}^{2}}$$项的系数是（）
D
A.$${{1}{9}{2}}$$
B.$${{1}{8}{2}}$$
C.$${{−}{{1}{8}{2}}}$$
D.$${{−}{{1}{9}{2}}}$$
2、['二项式定理的应用']正确率40.0%若$$C_{n}^{1} x+C_{n}^{2} x^{2}+\ldots+C_{n}^{n} x^{n}$$能被$${{7}}$$整除，则$${{x}{，}{n}}$$的一组值可能为（）
A
A.$$x=4， ~ n=6$$
B.$$x=4， ~ n=8$$
C.$$x=5， ~ n=7$$
D.$$x=6， ~ n=9$$
3、['二项式定理的应用']正确率60.0%若$$( x+a )^{5}=( x+1 )^{5}-5 ( x+1 )^{4}+1 0 ( x+1 )^{3}-1 0 ( x+1 )^{2}+5 ( x+1 )-1.$$则$${{a}{=}}$$（）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
4、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式定理的应用']正确率60.0%$$\left( \sqrt{x}+\frac{1} {\sqrt{x}}-2 \right)^{4}$$的展开式中有理项的项数为（）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
5、['二项式定理的应用'， '利用二项式定理解决整除问题或求余问题']正确率60.0%今天为星期六，则今天后的第$$2^{2 0 1 6}$$天是
B
A.星期六
B.星期日
C.星期五
D.星期四
6、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式定理的应用']正确率40.0%若$$( x+2+m )^{9}$$$$= a_{0}+a_{1} ( x+1 )+$$$$a_{2} ( x+1 )^{2}+\ldots+a_{9} ( x+1 )^{9}$$，且$$( a_{0}+a_{2}+\ldots+a_{8} )^{2}-( a_{1}+a_{3}+\ldots+a_{9} )^{2}$$$${{=}{{3}^{9}}}$$，则实数$${{m}}$$的值为（）
A
A.$${{1}}$$或$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{1}}$$或$${{3}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{3}}$$
7、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式定理的应用']正确率60.0%$$( 1-2 x )^{4}$$的展开式中$${{x}^{2}}$$的系数为（）.
B
A.$${{6}}$$
B.$${{2}{4}}$$
C.$${{3}{2}}$$
D.$${{4}{8}}$$
8、['二项式系数和与各项的系数和'， '二项式定理的应用']正确率60.0%已知$$( 1+x )^{n}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}$$，若$${{a}_{1}{=}{{a}_{4}}}$$，则$$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}{5}}$$
B.$${{1}{6}}$$
C.$${{3}{1}}$$
D.$${{3}{2}}$$
9、['二项式定理的应用'， '二项展开式的通项']正确率40.0%二项式$$( \ a+2 b )^{\textit{n}}$$展开式中的第二项系数是$${{8}}$$，则它的第三项的二项式系为（）
D
A.$${{2}{4}}$$
B.$${{1}{8}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{6}}$$
10、['组合数及其性质'， '二项式定理的应用'， '二项展开式的通项']正确率40.0%已知$$b x^{n}+1=a_{0}+a_{1} ( x-1 )+a_{2} ( x-1 )^{2}+\cdots+a_{n} ( x-1 )^{n}$$对任意$${{x}{∈}{R}}$$恒成立，且$$a_{1}=9， \， \， a_{2}=3 6$$，则$${{b}{=}}$$（）
D
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
1. 解析：
首先求函数 $$y = \cos x + \sqrt{3} \sin x$$ 的最大值。利用三角函数的合成公式，可以将其表示为：
$$y = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$$
因此，最大值 $$a = 2$$。
接下来展开二项式 $$(2\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^6$$，通项为：
$$T_{k+1} = C_6^k (2\sqrt{x})^{6-k} \left( -\frac{1}{\sqrt{x}} \right)^k = C_6^k \cdot 2^{6-k} \cdot (-1)^k \cdot x^{3 - \frac{3k}{2}}$$
要求含 $$x^2$$ 的项，令 $$3 - \frac{3k}{2} = 2$$，解得 $$k = \frac{2}{3}$$，但 $$k$$ 必须为整数。重新检查计算，发现应为 $$k = 2$$ 时，$$x$$ 的指数为 $$3 - 3 = 0$$；$$k = 1$$ 时，指数为 $$3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$$；$$k = 0$$ 时，指数为 $$3$$。显然题目可能有误或需要重新理解。
重新计算，令 $$3 - k = 2$$，即 $$k = 1$$，此时系数为：
$$C_6^1 \cdot 2^5 \cdot (-1)^1 = 6 \cdot 32 \cdot (-1) = -192$$
但选项中有 $$-192$$ 对应 D 选项。
最终答案为 $$\boxed{D}$$。
2. 解析：
表达式 $$C_n^1 x + C_n^2 x^2 + \ldots + C_n^n x^n$$ 可以表示为 $$(1 + x)^n - 1$$。
要求 $$(1 + x)^n - 1$$ 能被 7 整除，即 $$(1 + x)^n \equiv 1 \pmod{7}$$。
逐一验证选项：
A. $$x = 4$$, $$n = 6$$：$$(1 + 4)^6 = 5^6 \equiv (-2)^6 = 64 \equiv 1 \pmod{7}$$，符合条件。
B. $$x = 4$$, $$n = 8$$：$$5^8 \equiv (5^6) \cdot 5^2 \equiv 1 \cdot 25 \equiv 4 \pmod{7}$$，不符合。
C. $$x = 5$$, $$n = 7$$：$$6^7 \equiv (-1)^7 \equiv -1 \pmod{7}$$，不符合。
D. $$x = 6$$, $$n = 9$$：$$7^9 \equiv 0 \pmod{7}$$，不符合。
因此，正确答案为 $$\boxed{A}$$。
3. 解析：
观察等式右边，可以表示为 $$(x + 1 - 1)^5 = x^5$$，因此左边 $$(x + a)^5 = x^5$$，从而 $$a = 0$$。
验证：右边展开确实为 $$x^5$$，所以 $$a = 0$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
4. 解析：
展开 $$\left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} - 2 \right)^4$$，可以设 $$t = \sqrt{x}$$，则表达式为 $$(t + \frac{1}{t} - 2)^4$$。
展开后通项为 $$C_4^k (t + \frac{1}{t})^{4 - k} (-2)^k$$，进一步展开 $$(t + \frac{1}{t})^{m}$$ 的通项为 $$C_m^r t^{m - 2r}$$。
有理项要求 $$t$$ 的指数为整数，即 $$m - 2r$$ 为整数。通过计算，共有 5 项满足条件。
答案为 $$\boxed{C}$$。
5. 解析：
计算 $$2^{2016} \mod 7$$。注意到 $$2^3 \equiv 1 \pmod{7}$$，因此 $$2^{2016} = (2^3)^{672} \equiv 1^{672} \equiv 1 \pmod{7}$$。
今天为星期六，第 $$2^{2016}$$ 天后为星期六加 1 天，即星期日。
答案为 $$\boxed{B}$$。
6. 解析：
设 $$y = x + 1$$，则等式变为 $$(y + 1 + m)^9 = a_0 + a_1 y + \ldots + a_9 y^9$$。
利用赋值法，令 $$y = 1$$ 和 $$y = -1$$，得到：
$$(2 + m)^9 = a_0 + a_1 + \ldots + a_9$$
$$m^9 = a_0 - a_1 + \ldots - a_9$$
因此，$$(a_0 + a_2 + \ldots + a_8)^2 - (a_1 + a_3 + \ldots + a_9)^2 = (2 + m)^9 \cdot m^9 = 3^9$$。
解得 $$(2 + m) m = 3$$ 或 $$(2 + m) m = -3$$，即 $$m^2 + 2m - 3 = 0$$ 或 $$m^2 + 2m + 3 = 0$$。
前者解为 $$m = 1$$ 或 $$m = -3$$；后者无实数解。
答案为 $$\boxed{A}$$。
7. 解析：
展开 $$(1 - 2x)^4$$，通项为 $$C_4^k (-2x)^k$$。
$$x^2$$ 的系数对应 $$k = 2$$，即 $$C_4^2 (-2)^2 = 6 \cdot 4 = 24$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
8. 解析：
已知 $$a_1 = C_n^1 = n$$，$$a_4 = C_n^4$$。由题意 $$n = C_n^4$$，解得 $$n = 6$$（因为 $$C_6^1 = 6$$，$$C_6^4 = 15$$，不匹配；实际应为 $$n = 5$$，$$C_5^1 = 5$$，$$C_5^4 = 5$$）。
因此 $$n = 5$$，$$a_1 + a_2 + \ldots + a_n = (1 + 1)^5 - 1 = 32 - 1 = 31$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
9. 解析：
第二项系数为 $$C_n^1 \cdot a^{n-1} \cdot 2b = 8$$，假设 $$a = b = 1$$，则 $$C_n^1 \cdot 2 = 8$$，解得 $$n = 4$$。
第三项的二项式系数为 $$C_4^2 = 6$$。
答案为 $$\boxed{D}$$。
10. 解析：
设 $$y = x - 1$$，则等式变为 $$b(y + 1)^n + 1 = a_0 + a_1 y + \ldots + a_n y^n$$。
展开 $$(y + 1)^n$$，比较系数：
$$a_1 = b \cdot C_n^1 = b n = 9$$
$$a_2 = b \cdot C_n^2 = b \frac{n(n-1)}{2} = 36$$
解得 $$n = 9$$，$$b = 1$$。
答案为 $$\boxed{D}$$。