二项式定理的应用-6.3 二项式定理知识点教师选题进阶选择题自测题答案-黑龙江省等高三数学选择必修,平均正确率54.0%

1、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式定理的应用']

正确率40.0%已知：$$x ( x-2 )^{8}=a_{0}+a_{1} ( x-1 )+a_{2} ( x-1 )^{2}+\ldots+a_{9} ( x-1 )^{9}$$，则$${{a}_{6}{=}}$$（）

A.$${{−}{{2}{8}}}$$

B.$${{−}{{4}{4}{8}}}$$

C.$${{1}{1}{2}}$$

D.$${{4}{4}{8}}$$

2、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式定理的应用']

正确率60.0%若在$$( \ensuremath{x}+1 )^{4} \begin{array} {c} {( \ensuremath{a} x-1 )} \\ \end{array}$$的展开式中，$${{x}^{4}}$$的系数为$${{1}{5}}$$，则$${{a}}$$的值为（）

A.$${{−}{4}}$$

B.$$\frac{5} {2}$$

C.$${{4}}$$

D.$$\frac{7} {2}$$

3、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式定理的应用'， '二项展开式的通项']

正确率60.0%在$$( \textbf{x}+\frac{1} {x^{2}} ) \setminus( \textbf{x}-2 )^{-5}$$的展开式中，$${{x}}$$的系数为（）

A.$${{−}{{3}{2}}}$$

B.$${{−}{8}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{4}{8}}$$

4、['二项式定理的应用']

正确率40.0%已知多项式$$( \， x-\frac{1} {x} \， ) \; \; \; ( \， x^{3}+x^{2}+x \， ) \; \;=a_{0} x^{4}+a_{1} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{3} x+a_{4}$$，则$$a_{1}+a_{2}=\cline{} ($$）

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{2}}$$

5、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数的性质'， '二项式定理的应用']

正确率40.0%已知：$$x \left( x-2 \right)^{8}=a_{0}+a_{1} \left( x-1 \right)+a_{2} \left( x-1 \right)^{2}+\cdots+a_{9} \left( x-1 \right)^{9}$$，则$$a_{6}=( \eta)$$

A.$${{−}{{2}{8}}}$$

B.$${{−}{{4}{4}{8}}}$$

C.$${{1}{1}{2}}$$

D.$${{4}{4}{8}}$$

6、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数和与各项的系数和'， '二项式定理的应用']

正确率60.0%，则

C.$${{6}{4}}$$

D.$${{6}{5}}$$

7、['二项式系数和与各项的系数和'， '二项式定理的应用']

正确率60.0%若$$( x+1 )^{5}=a_{0}+a_{1} ( x-1 )+a_{2} ( x-1 )^{2}+\ldots+a_{5} ( x-1 )^{5}$$，则$$a_{0}=( \qquad\qquad)$$

A.$${{3}{2}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$${{−}{{3}{2}}}$$

8、['二项式系数和与各项的系数和'， '二项式定理的应用'， '二项展开式的通项']

正确率60.0%若$$( a-3 x ) ( \sqrt{x}-\frac{1} {2 x} )^{1 0}$$的展开式中含$$x^{\frac{1} {2}}$$项的系数为$${{−}{{3}{0}}}$$，则实数$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${{−}{2}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{−}{1}}$$

9、['二项式系数和与各项的系数和'， '二项式定理的应用']

正确率60.0%若$$\left( 1+m x \right)^{6}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{6} x^{6}$$且$$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{6}=6 3$$，则实数$${{m}{=}{（}}$$）

A.$${{1}}$$

B.$${{−}{1}}$$或$${{3}}$$

C.$${{1}}$$或$${{−}{3}}$$

D.$${{−}{3}}$$

10、['二项式系数的性质'， '二项式定理的应用'， '二项展开式的通项']

正确率60.0%$$( \textbf{x}+\frac{1} {x} ) \sp{1 0}$$的展开式中系数最大的项是（）

A.第$${{5}}$$项

B.第$${{6}}$$项

C.第$${{5}}$$项$${、}$$第$${{6}}$$项

D.第$${{6}}$$项$${、}$$第$${{7}}$$项

1. 解析：

首先将 $$x$$ 表示为 $$(x-1)+1$$，因此原式可以写成： $$( (x-1) + 1 ) ( (x-1) - 1 )^8 = \sum_{k=0}^9 a_k (x-1)^k$$ 展开 $$( (x-1) - 1 )^8$$ 为二项式展开： $$( (x-1) - 1 )^8 = \sum_{i=0}^8 \binom{8}{i} (x-1)^i (-1)^{8-i}$$ 因此整体表达式为： $$(x-1) \sum_{i=0}^8 \binom{8}{i} (x-1)^i (-1)^{8-i} + \sum_{i=0}^8 \binom{8}{i} (x-1)^i (-1)^{8-i}$$ 合并同类项后，$$a_6$$ 的系数来自两部分： 1. 第一部分：$$(x-1)$$ 乘以 $$i=5$$ 的项，即 $$\binom{8}{5} (-1)^3 (x-1)^6$$，系数为 $$\binom{8}{5} (-1)^3 = -56$$。 2. 第二部分：$$i=6$$ 的项，即 $$\binom{8}{6} (-1)^2 (x-1)^6$$，系数为 $$\binom{8}{6} (-1)^2 = 28$$。因此，$$a_6 = -56 + 28 = -28$$，选 A。

2. 解析：

展开 $$(x+1)^4 (a x - 1)$$： $$(x+1)^4 = \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} x^k$$ 因此整体展开式中 $$x^4$$ 的系数来自两部分： 1. $$(x+1)^4$$ 中的 $$x^4$$ 项乘以 $$-1$$，即 $$\binom{4}{4} \cdot (-1) = -1$$。 2. $$(x+1)^4$$ 中的 $$x^3$$ 项乘以 $$a x$$，即 $$\binom{4}{3} \cdot a = 4a$$。因此，$$x^4$$ 的系数为 $$4a - 1 = 15$$，解得 $$a = 4$$，选 C。

3. 解析：

题目描述不完整，无法解析。

4. 解析：

展开多项式： $$(x - \frac{1}{x})(x^3 + x^2 + x) = x^4 + x^3 + x^2 - x^2 - x - 1 = x^4 + x^3 - x - 1$$ 因此系数为： $$a_0 = 1, a_1 = 1, a_2 = 0, a_3 = -1, a_4 = -1$$ 所以 $$a_1 + a_2 = 1 + 0 = 1$$，选 C。

5. 解析：

与第1题相同，$$a_6 = -28$$，选 A。

6. 解析：

题目描述不完整，无法解析。

7. 解析：

令 $$x = 1$$，代入原式： $$(1 + 1)^5 = a_0 + a_1 \cdot 0 + \cdots + a_5 \cdot 0$$ 即 $$32 = a_0$$，选 A。

8. 解析：

展开 $$(\sqrt{x} - \frac{1}{2x})^{10}$$ 的通项为： $$\binom{10}{k} (\sqrt{x})^{10 - k} \left(-\frac{1}{2x}\right)^k = \binom{10}{k} (-1)^k 2^{-k} x^{\frac{10 - k}{2} - k}$$ 要求 $$x^{\frac{1}{2}}$$ 的系数，解方程： $$\frac{10 - k}{2} - k = \frac{1}{2}$$ 解得 $$k = 3$$。因此，$$x^{\frac{1}{2}}$$ 的系数为： $$a \cdot \binom{10}{3} (-1)^3 2^{-3} - 3 \cdot \binom{10}{2} (-1)^2 2^{-2} = -30$$ 化简得： $$a \cdot (-15) - 3 \cdot \frac{45}{4} = -30$$ 解得 $$a = 2$$，选 A。

9. 解析：

令 $$x = 1$$，得： $$(1 + m)^6 = a_0 + a_1 + \cdots + a_6$$ 令 $$x = 0$$，得： $$1 = a_0$$ 因此： $$(1 + m)^6 - 1 = 63$$ 即 $$(1 + m)^6 = 64$$，解得 $$1 + m = 2$$ 或 $$1 + m = -2$$，即 $$m = 1$$ 或 $$m = -3$$，选 C。

10. 解析：

$$(x + \frac{1}{x})^{10}$$ 的展开式通项为： $$\binom{10}{k} x^{10 - 2k}$$ 系数为 $$\binom{10}{k}$$，最大值为 $$\binom{10}{5} = 252$$，对应第6项（$$k = 5$$），选 B。

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