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正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的第$${{8}}$$项是二项式$$\left( x+\frac{1} {x}+y \right)^{4}$$展开式的常数项，则$$a_{9}-\frac{1} {3} a_{1 1}=\alpha$$）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}}$$
2、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']正确率60.0%$$( 1-2 x )^{5} ( 2-x )$$的展开式中，$${{x}^{3}}$$的系数是（）
D
A.$${{1}{6}{0}}$$
B.$${{−}{{1}{2}{0}}}$$
C.$${{4}{0}}$$
D.$${{−}{{2}{0}{0}}}$$
3、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']正确率60.0%$$( 3 x^{3}+\frac{1} {\sqrt{x}} )^{7}$$展开式中的常数项是（）
D
A.$${{1}{8}{9}}$$
B.$${{6}{3}}$$
C.$${{4}{2}}$$
D.$${{2}{1}}$$
4、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']正确率40.0%$$( \ x^{2}+a x-1 )^{\textit{6}}$$的展开式中$${{x}^{2}}$$的系数为$${{5}{4}}$$，则实数$${{a}}$$为（）
C
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{3}}$$或$${{3}}$$
C.$${{−}{2}}$$或$${{2}}$$
D.$${{−}{3}}$$或$${{−}{2}}$$
5、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数的性质'， '二项展开式的通项']正确率40.0%已知$$( 1+\lambda x )^{n}$$展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，$$( 1+\lambda x )^{n}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{n} x^{n}，$$若$$a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}=2 4 2，$$则$$\left( x+\frac{\lambda} {x} \right)^{4}$$展开式中的常数项为（）
B
A.$${{3}{2}}$$
B.$${{2}{4}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{8}}$$
6、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']正确率60.0%已知$$( x^{2}+a ) ( x-\frac{1} {x} )^{6} ( a \in R )$$的展开式中常数项为$${{1}{0}}$$，则该展开式中$${{x}^{2}}$$的系数为$${{(}{)}}$$
B
A.$$- \frac{9 5} {4}$$
B.$$- \frac{6 5} {4}$$
C.$$\frac{2 5} {2}$$
D.$$\frac{3 5} {2}$$
7、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式定理的应用'， '二项展开式的通项']正确率60.0%已知$$\left( 2+m x+x^{2} \right) \left( 1-\frac1 x \right)^{3}$$展开式中的常数项为$${{2}}$$，则实数$${{m}}$$等于（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
8、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']正确率60.0%已知$$( \mathrm{\ensuremath{x}}+1 )^{\mathit{Y}^{4}}+\mathit{\ensuremath{( x-2 )}^{\mathit{Y}^{8}}}$$$$= a_{0}+a_{1} \， \left( x-1 \right) \， \，+a_{2} \， \left( x-1 \right) \，^{2}+\cdots+a_{8} \， \left( x-1 \right) \，^{8}$$，则$${{a}_{3}{=}}$$（）
C
A.$${{6}{4}}$$
B.$${{4}{8}}$$
C.$${{−}{{4}{8}}}$$
D.$${{−}{{6}{4}}}$$
9、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']正确率60.0%设$$\left( x^{2} \!-\! 3 x \!+\! 2 \right)^{4} \!=\! a_{0} \!+\! a_{1} x \!+\cdots\!+\! a_{8} x^{8}$$，则$${{a}_{7}{=}{（}}$$$${）}$$．
C
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{−}{8}}$$
C.$${{−}{{1}{2}}}$$
D.$${{−}{{1}{6}}}$$
10、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']正确率60.0%在$$( \root3 \overline{{x}}-\frac{1} {x} )^{4}$$的展开式中，常数项等于（）
A
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
以下是各题的详细解析： --- ### 1. 解析 **步骤1**：求二项式 $$(x + \frac{1}{x} + y)^4$$ 的常数项。 展开式中，常数项对应 $$x$$ 和 $$\frac{1}{x}$$ 的指数抵消，即 $$x^k \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^k = 1$$。 因此，常数项为组合数 $$C(4, 2) \cdot y^{4-2} = 6y^2$$。题目中 $$y=1$$，故常数项为 $$6$$。 **步骤2**：等差数列性质。 第8项 $$a_8 = 6$$。设公差为 $$d$$，则： - $$a_9 = a_8 + d = 6 + d$$ - $$a_{11} = a_8 + 3d = 6 + 3d$$ **步骤3**：计算表达式。 $$a_9 - \frac{1}{3}a_{11} = (6 + d) - \frac{1}{3}(6 + 3d) = 6 + d - 2 - d = 4$$。 **答案**：$$C$$。 --- ### 2. 解析 **步骤1**：展开 $$(1-2x)^5(2-x)$$。 需要 $$x^3$$ 的系数，考虑两部分组合： 1. $$(1-2x)^5$$ 的 $$x^2$$ 项与 $$(2-x)$$ 的 $$x$$ 项相乘：$$C(5,2)(-2)^2 \cdot (-1) = 10 \times 4 \times (-1) = -40$$。 2. $$(1-2x)^5$$ 的 $$x^3$$ 项与 $$(2-x)$$ 的常数项相乘：$$C(5,3)(-2)^3 \cdot 2 = 10 \times (-8) \times 2 = -160$$。 **步骤2**：合并结果。 $$-40 + (-160) = -200$$。 **答案**：$$D$$。 --- ### 3. 解析 **步骤1**：求 $$(3x^3 + \frac{1}{\sqrt{x}})^7$$ 的常数项。 通项公式为 $$C(7, k)(3x^3)^k \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{7-k}$$。 令 $$3k - \frac{7-k}{2} = 0$$，解得 $$k=1$$。 **步骤2**：计算常数项。 $$C(7,1) \cdot 3^1 = 21$$。 **答案**：$$D$$。 --- ### 4. 解析 **步骤1**：展开 $$(x^2 + a x - 1)^6$$ 的 $$x^2$$ 项。 使用多项式定理，$$x^2$$ 的系数来自： 1. 选 $$5$$ 次 $$-1$$ 和 $$1$$ 次 $$a x$$：$$C(6,5) \cdot (-1)^5 \cdot C(1,1) \cdot a = -6a$$。 2. 选 $$4$$ 次 $$-1$$ 和 $$2$$ 次 $$a x$$：$$C(6,4) \cdot (-1)^4 \cdot C(2,2) \cdot a^2 = 15a^2$$。 3. 选 $$4$$ 次 $$-1$$ 和 $$1$$ 次 $$x^2$$：$$C(6,4) \cdot (-1)^4 \cdot C(2,1) \cdot 1 = 30$$。 **步骤2**：总和为 $$54$$。 $$15a^2 - 6a + 30 = 54$$，解得 $$a = 3$$ 或 $$a = -\frac{4}{5}$$（舍去后者）。 **答案**：$$B$$。 --- ### 5. 解析 **步骤1**：二项式系数相同。 第三项系数 $$C(n,2)$$ 与第四项系数 $$C(n,3)$$ 相等，故 $$n=5$$。 **步骤2**：求和条件。 $$(1+\lambda)^5 - 1 = 242$$，解得 $$\lambda = 3$$。 **步骤3**：求常数项。 $$\left(x + \frac{3}{x}\right)^4$$ 的常数项为 $$C(4,2) \cdot 3^2 = 54$$（无匹配选项，可能题目描述有误）。 **答案**：题目可能存在描述问题，暂不提供选项。 --- ### 6. 解析 **步骤1**：求常数项。 $$(x^2 + a)\left(x - \frac{1}{x}\right)^6$$ 的常数项来自： 1. $$x^2$$ 与 $$\left(x - \frac{1}{x}\right)^6$$ 的 $$x^{-2}$$ 项相乘：$$C(6,4)(-1)^4 = 15$$。 2. $$a$$ 与 $$\left(x - \frac{1}{x}\right)^6$$ 的常数项相乘：$$a \cdot C(6,3)(-1)^3 = -20a$$。 总和为 $$15 - 20a = 10$$，解得 $$a = \frac{1}{4}$$。 **步骤2**：求 $$x^2$$ 的系数。 来自： 1. $$x^2$$ 与 $$\left(x - \frac{1}{x}\right)^6$$ 的常数项相乘：$$C(6,3)(-1)^3 = -20$$。 2. $$a$$ 与 $$\left(x - \frac{1}{x}\right)^6$$ 的 $$x^2$$ 项相乘：$$\frac{1}{4} \cdot C(6,2)(-1)^2 = \frac{15}{4}$$。 总和为 $$-20 + \frac{15}{4} = -\frac{65}{4}$$。 **答案**：$$B$$。 --- ### 7. 解析 **步骤1**：展开常数项。 $$\left(2 + m x + x^2\right)\left(1 - \frac{1}{x}\right)^3$$ 的常数项来自： 1. $$2$$ 与 $$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^3$$ 的常数项相乘：$$2 \cdot 1 = 2$$。 2. $$m x$$ 与 $$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^3$$ 的 $$\frac{1}{x}$$ 项相乘：$$m \cdot C(3,1)(-1) = -3m$$。 3. $$x^2$$ 与 $$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^3$$ 的 $$\frac{1}{x^2}$$ 项相乘：$$1 \cdot C(3,2)(-1)^2 = 3$$。 总和为 $$2 - 3m + 3 = 2$$，解得 $$m=1$$。 **答案**：$$A$$。 --- ### 8. 解析 **步骤1**：泰勒展开。 将 $$(x+1)^4 + (x-2)^8$$ 在 $$x=1$$ 处展开，求 $$(x-1)^3$$ 的系数 $$a_3$$。 **步骤2**：计算导数。 $$a_3 = \frac{f'''(1)}{3!}$$，其中 $$f(x) = (x+1)^4 + (x-2)^8$$。 计算得 $$f'''(1) = 24 + (-1)^5 \cdot 336 = -288$$，故 $$a_3 = -48$$。 **答案**：$$C$$。 --- ### 9. 解析 **步骤1**：多项式展开。 $$(x^2 - 3x + 2)^4 = (x-1)^4(x-2)^4$$，求 $$x^7$$ 的系数 $$a_7$$。 **步骤2**：组合计算。 通过多项式乘法，$$a_7 = -16$$。 **答案**：$$D$$。 --- ### 10. 解析 **步骤1**：求常数项。 $$\left(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{x}\right)^4$$ 的通项为 $$C(4,k)(-1)^k x^{\frac{4-k}{3} - k}$$。 令 $$\frac{4-k}{3} - k = 0$$，解得 $$k=1$$。 **步骤2**：计算常数项。 $$C(4,1)(-1)^1 = -4$$。 **答案**：$$A$$。 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱