二项式系数的性质-6.3 二项式定理知识点月考进阶单选题自测题解析-湖北省等高三数学选择必修,平均正确率44.00000000000001%

1. 已知 $$x(3x-1)^5 = a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 + a_6 x^6$$，求 $$a_2 + 2a_3 + 3a_4 + 4a_5 + 5a_6$$。

设 $$f(x) = x(3x-1)^5$$，则 $$f(x) = \sum_{k=1}^6 a_k x^k$$。

对 $$f(x)$$ 求导：$$f'(x) = \sum_{k=1}^6 k a_k x^{k-1}$$。

代入 $$x=1$$：$$f'(1) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + 4a_4 + 5a_5 + 6a_6$$。

但我们需要 $$a_2 + 2a_3 + 3a_4 + 4a_5 + 5a_6$$，注意 $$a_1$$ 和 $$a_6$$ 的系数差异。

计算 $$f'(x)$$：

$$f(x) = x(3x-1)^5$$，

$$f'(x) = (3x-1)^5 + x \cdot 5(3x-1)^4 \cdot 3 = (3x-1)^5 + 15x(3x-1)^4$$。

代入 $$x=1$$：$$f'(1) = (3-1)^5 + 15 \cdot 1 \cdot (3-1)^4 = 2^5 + 15 \cdot 2^4 = 32 + 15 \cdot 16 = 32 + 240 = 272$$。

又 $$f'(1) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + 4a_4 + 5a_5 + 6a_6$$。

而 $$f(1) = 1 \cdot (3-1)^5 = 2^5 = 32 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6$$。

设 $$S = a_2 + 2a_3 + 3a_4 + 4a_5 + 5a_6$$，则 $$f'(1) = a_1 + S + 6a_6$$，$$f(1) = a_1 + (a_2 + a_3 + a_4 + a_5) + a_6$$。

不易直接解，考虑另一种方法：

注意 $$a_2 + 2a_3 + 3a_4 + 4a_5 + 5a_6 = \sum_{k=2}^6 (k-1) a_k$$。

由 $$f(x) = \sum_{k=1}^6 a_k x^k$$，则 $$\frac{f(x)}{x} = \sum_{k=1}^6 a_k x^{k-1}$$（$$x \neq 0$$）。

求导：$$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{x} \right) = \sum_{k=2}^6 (k-1) a_k x^{k-2}$$。

代入 $$x=1$$：$$\left. \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{x} \right) \right|_{x=1} = \sum_{k=2}^6 (k-1) a_k = a_2 + 2a_3 + 3a_4 + 4a_5 + 5a_6$$。

计算 $$\frac{f(x)}{x} = (3x-1)^5$$，

$$\frac{d}{dx} (3x-1)^5 = 5(3x-1)^4 \cdot 3 = 15(3x-1)^4$$。

代入 $$x=1$$：$$15(3-1)^4 = 15 \cdot 2^4 = 15 \cdot 16 = 240$$。

因此 $$a_2 + 2a_3 + 3a_4 + 4a_5 + 5a_6 = 240$$。

答案：A. $$240$$

2. 已知 $$(x+5)^{2023} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2023} x^{2023}$$，$$T = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2023}$$，求 $$T$$ 除以 $$5$$ 的余数。

令 $$x=1$$：$$T = (1+5)^{2023} = 6^{2023}$$。

求 $$6^{2023} \mod 5$$。

$$6 \equiv 1 \pmod{5}$$，所以 $$6^{2023} \equiv 1^{2023} = 1 \pmod{5}$$。

余数为 $$1$$。

答案：A. $$1$$

3. 二项式 $$(x^3 - \frac{1}{x})^n$$ 存在常数项，求 $$n$$ 不可能的值。

通项：$$T_{k+1} = C_n^k (x^3)^{n-k} (-\frac{1}{x})^k = C_n^k (-1)^k x^{3(n-k) - k} = C_n^k (-1)^k x^{3n - 4k}$$。

常数项要求 $$3n - 4k = 0$$，即 $$k = \frac{3n}{4}$$。

$$k$$ 为整数，所以 $$n$$ 必须被 $$4$$ 整除。

选项：A.12（可，12/4=3），B.8（可，8/4=2），C.6（不可，6/4=1.5），D.4（可，4/4=1）。

$$n=6$$ 时 $$k=4.5$$ 非整数，无常数项。

答案：C. $$6$$

4. $$(2x-y)^5$$ 的展开式中第四项。

通项：$$T_{k+1} = C_5^k (2x)^{5-k} (-y)^k$$。

第四项 $$k=3$$：$$T_4 = C_5^3 (2x)^{2} (-y)^3 = 10 \cdot 4x^2 \cdot (-y^3) = -40 x^2 y^3$$。

答案：D. $$-40 x^2 y^3$$

5. 题目异常（svg），无法解析。

6. 已知 $$x(x-2)^8 = a_0 + a_1 (x-1) + a_2 (x-1)^2 + \cdots + a_9 (x-1)^9$$，求 $$a_6$$。

令 $$t = x-1$$，则 $$x = t+1$$，$$x-2 = t-1$$。

原式变为：$$(t+1)(t-1)^8 = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + \cdots + a_9 t^9$$。

$$(t+1)(t-1)^8 = (t+1) \sum_{k=0}^8 C_8^k t^{8-k} (-1)^k$$。

展开后 $$t^6$$ 的系数即 $$a_6$$。

考虑 $$(t+1)(t-1)^8$$ 中 $$t^6$$ 项：

来自 $$t \cdot [ (t-1)^8 中 t^5 项 ]$$ 和 $$1 \cdot [ (t-1)^8 中 t^6 项 ]$$。

$$(t-1)^8$$ 通项：$$C_8^m t^{8-m} (-1)^m$$。

$$t^5$$ 项：$$8-m=5$$，$$m=3$$，系数 $$C_8^3 (-1)^3 = 56 \cdot (-1) = -56$$。

$$t^6$$ 项：$$8-m=6$$，$$m=2$$，系数 $$C_8^2 (-1)^2 = 28 \cdot 1 = 28$$。

因此 $$a_6 = 1 \cdot (-56) + 1 \cdot 28 = -28$$？但选项无，检查。

$$t \cdot (t^5 项) 得 t^6$$，系数 $$1 \cdot (-56) = -56$$。

$$1 \cdot (t^6 项) 得 t^6$$，系数 $$1 \cdot 28 = 28$$。

所以 $$a_6 = -56 + 28 = -28$$，但选项为 -28? 选项有 B.-448? 错误。

重新计算：$$(t+1)(t-1)^8$$，$$a_6$$ 是 $$t^6$$ 系数。

$$(t-1)^8 = \sum_{j=0}^8 C_8^j t^j (-1)^{8-j}$$？标准形式：$$(a+b)^n = \sum_{r=0}^n C_n^r a^{n-r} b^r$$。

设 $$(t-1)^8 = \sum_{r=0}^8 C_8^r t^r (-1)^{8-r}$$？更好用指数。

令 $$(t-1)^8 = \sum_{k=0}^8 C_8^k t^{8-k} (-1)^k$$，则 $$t$$ 的幂为 $$8-k$$。

则 $$(t+1)(t-1)^8 = t \sum_{k=0}^8 C_8^k t^{8-k} (-1)^k + \sum_{k=0}^8 C_8^k t^{8-k} (-1)^k = \sum_{k=0}^8 C_8^k (-1)^k t^{9-k} + \sum_{k=0}^8 C_8^k (-1)^k t^{8-k}$$。

求 $$t^6$$ 的系数：

第一和：$$9-k=6$$，$$k=3$$，系数 $$C_8^3 (-1)^3 = 56 \cdot (-1) = -56$$。

第二和：$$8-k=6$$，$$k=2$$，系数 $$C_8^2 (-1)^2 = 28 \cdot 1 = 28$$。

所以 $$a_6 = -56 + 28 = -28$$。

但选项无 -28，有 B.-448，可能误。

注意原式是 $$x(x-2)^8$$，我们令 $$t=x-1$$，$$x=t+1$$，$$x-2=t-1$$，所以 $$(t+1)(t-1)^8$$。

或许 $$a_6$$ 是 $$(x-1)^6$$ 的系数，即 $$t^6$$ 的系数，应为 -28。

但选项给出 B.-448，可能是计算错误或题不同。

另一种方法：求 $$a_6 = \frac{1}{6!} \left. \frac{d^6}{dt^6} [ (t+1)(t-1)^8 ] \right|_{t=0}$$，复杂。

可能答案 -28，但选项无，检查选项：A.-28? 但写为 -28? 实际是 A.{{−}{{2}{8}}} 可能表示 -28。

选项A: {{−}{{2}{8}}} 可能为 -28，B.-448等。

所以 $$a_6 = -28$$。

答案：A. $$-28$$

7. 已知 $$x^4 + a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_3 x + a_4 = (x+1)^4 + b_1 (x+1)^3 + b_2 (x+1)^2 + b_3 (x+1) + b_4$$，映射 $$f: (a_1,a_2,a_3,a_4) \to (b_1,b_2,b_3,b_4)$$，求 $$f(4,3,2,1)$$。

左边：$$x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1$$。

右边：设 $$y=x+1$$，则 $$x=y-1$$。

代入左边：$$(y-1)^4 + 4(y-1)^3 + 3(y-1)^2 + 2(y-1) + 1$$。

展开：

$$(y-1)^4 = y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1$$

$$4(y-1)^3 = 4(y^3 - 3y^2 + 3y -1) = 4y^3 -12y^2 +12y -4$$

$$3(y-1)^2 = 3(y^2 -2y +1) = 3y^2 -6y +3$$

$$2(y-1) = 2y -2$$

$$+1$$

求和：$$y^4 + (-4y^3+4y^3) + (6y^2 -12y^2+3y^2) + (-4y+12y-6y+2y) + (1-4+3-2+1)$$

= $$y^4 + (-3y^2) + (4y) + (-1)$$

= $$y^4 + 0 \cdot y^3 - 3y^2 + 4y -1$$。

与右边 $$y^4 + b_1 y^3 + b_2 y^2 + b_3 y + b_4$$ 比较，得 $$b_1=0$$, $$b_2=-3$$, $$b_3=4$$, $$b_4=-1$$。

所以 $$(b_1,b_2,b_3,b_4) = (0, -3, 4, -1)$$。

答案：C. $$(0,-3,4,-1)$$

8. $$(1+mx)^6 = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_6 x^6$$，且 $$a_1 + a_2 + \cdots + a_6 = 63$$，求 $$m$$。

令 $$x=1$$：$$(1+m)^6 = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_6$$。

令 $$x=0$$：$$1^6 = a_0$$，所以 $$a_0=1$$。

因此 $$a_1 + a_2 + \cdots + a_6 = (1+m)^6 - 1 = 63$$。

所以 $$(1+m)^6 = 64$$，$$1+m = \pm 2$$（因为 $$2^6=64$$, $$(-2)^6=64$$）。

$$1+m=2$$ 或 $$1+m=-2$$，即 $$m=1$$ 或 $$m=-3$$。

答案：A. $$1$$ 或 $$-3$$

9. 二项式 $$(\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}})^n$$，只有第五项二项式系数最大，重新排列有理项不相邻的概率。

二项式系数最大：第五项最大，即 $$C_n^4$$ 最大，所以 $$n=8$$（因为对称，中间项最大）。

所以 $$n=8$$。

通项：$$T_{k+1} = C_8^k (\sqrt{x})^{8-k} (\frac{1}{2\sqrt{x}})^k = C_8^k \frac{1}{2^k} x^{\frac{8-k}{2} - \frac{k}{2}} = C_8^k \frac{1}{2^k} x^{4 - k}$$。

有理项：指数 $$4-k$$ 为整数，且所有项指数整数（因为 $$k$$ 整数），但需分母有理？实际上所有项都是有理的？

$$x^{4-k}$$，当 $$4-k$$ 为整数时即为有理项（系数有理），所以所有项都是有理项？

但通常有理项指指数 _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}