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正确率60.0%已知$$( 1-2 x )^{n}$$展开式中，奇数项的二项式系数之和为$${{6}{4}}$$，则$$( 1-2 x )^{n} \left( 1+\frac{1} {x} \right)$$展开式中常数项为（）
B
A.$${{−}{{1}{4}}}$$
B.$${{−}{{1}{3}}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
2、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式定理的应用'， '二项展开式的通项']正确率60.0%$$( x+2 ) ( 1-2 x )^{5}$$的展开式中含$${{x}^{2}}$$的项的系数是 （）
A
A.$${{7}{0}}$$
B.$${{8}{0}}$$
C.$${{−}{{5}{0}}}$$
D.$${{−}{{7}{0}}}$$
3、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式定理的应用']正确率60.0%已知$$S=_{C_{1 0}^{1} ( x-1 )+C_{1 0}^{2} ( x-1 )^{2}+C_{1 0}^{3} ( x-1 )^{3}+...+C_{1 0}^{1 0} ( x-1 )^{1 0}}$$，在$${{S}}$$的展开式中，含$${{x}^{3}}$$项的系数为$${{(}{)}}$$
C
A.$$C_{1 0}^{3} \!+\! C_{1 0}^{4} \!+\!... \!+\! C_{1 0}^{1 0}$$
B.$$C_{1 0}^{3}+C_{1 0}^{4} C_{4}^{1}+C_{1 0}^{5} C_{5}^{2}+\ldots+C_{1 0}^{1 0} C_{1 0}^{7}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{1}}$$
4、['二项式系数和与各项的系数和'， '二项式定理的应用']正确率60.0%已知$$( 1-3 x )^{8}=a_{0}+a_{1} x+\ldots+a_{7} x^{7}+a_{8} x^{8}$$，则$$a_{0}+a_{2}+a_{4}+a_{6}+a_{8}=\c($$）
C
A.$${{2}^{8}}$$
B.$${{4}^{8}}$$
C.$$\frac{4^{8}+2^{8}} {2}$$
D.$$\frac{2^{8}-4^{8}} {2}$$
5、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式定理的应用']正确率60.0%$$( 3 x+1 ) \biggl( \frac{1} {x}-1 \biggr)^{5}$$的展开式中的常数项为（）
A
A.$${{1}{4}}$$
B.$${{−}{{1}{4}}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{−}{{1}{6}}}$$
6、['二项式系数的性质'， '二项式定理的应用']正确率60.0%在$$( \sqrt{x}+\frac{2} {x} )^{\textit{n}}$$的二项式展开式中，只有第$${{5}}$$项的二项式系数最大，则$${{n}{=}{（}}$$）
C
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
7、['求展开式中系数最大的项的方法'， '二项式系数的性质'， '二项式定理的应用']正确率40.0%若$$\left( 1+m x \right)^{6}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\bullet\bullet\bullet+a_{6} x^{6}$$，且$$a_{1}+a_{2}+\bullet\bullet\bullet+a_{6}=6 3$$，则实数$${{m}}$$的值为（）
A
A.$${{1}}$$或$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{1}}$$或$${{3}}$$
8、['二项式系数和与各项的系数和'， '二项式定理的应用']正确率60.0%若$$( 1+m x )^{\textit{8}}$$$$= a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{8} x^{8}$$且$$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{8}=2 5 5$$，则实数$${{m}}$$的值为（）
A
A.$${{1}}$$或$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{1}}$$
9、['二项式定理的应用']正确率19.999999999999996%在$$( 1+x )^{\mathit{m}^{n}}$$的展开式中，奇数项之和为$${{p}}$$，偶数项之和为$${{q}}$$，则$$( \mathbf{1}-x^{2} )^{\mathbf{\phi} n}$$等于（）
C
A.$${{p}^{2}{{q}^{2}}}$$
B.$${{p}{+}{q}}$$
C.$${{p}^{2}{−}{{q}^{2}}}$$
D.$${{p}^{2}{+}{{q}^{2}}}$$
10、['二项式系数和与各项的系数和'， '二项式定理的应用']正确率60.0%已知$$C_{n}^{0}-4 C_{n}^{1}+4^{2} C_{n}^{2}-4^{3} C_{n}^{3}+\cdots+(-1 )^{n} 4^{n} C_{n}^{n}=7 2 9$$，则$$C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\cdots+C_{n}^{n}$$的值等于（）
D
A.$${{3}{2}}$$
B.$${{3}{1}}$$
C.$${{6}{4}}$$
D.$${{6}{3}}$$
1. 已知$$(1-2x)^n$$展开式中，奇数项的二项式系数之和为$$64$$，则$$(1-2x)^n(1+\frac{1}{x})$$展开式中常数项为（ ）。
解：二项式系数奇数项之和为$$2^{n-1}=64$$，得$$n=7$$。
展开$$(1-2x)^7(1+\frac{1}{x})$$，常数项来源：
$$(1-2x)^7$$展开通项：$$T_{k+1}=C_7^k(-2x)^k$$
与$$1+\frac{1}{x}$$相乘，常数项需满足$$x$$的指数和为0：
情况1：取$$1$$时，需$$(1-2x)^7$$的常数项（$$k=0$$）
情况2：取$$\frac{1}{x}$$时，需$$(1-2x)^7$$的$$x^1$$项（$$k=1$$）
计算：$$C_7^0(-2)^0 \times 1 + C_7^1(-2)^1 \times 1 = 1 + 7 \times (-2) = -13$$
但选项无-13，检查：原式$$(1-2x)^n(1+\frac{1}{x})$$，常数项还应考虑$$\frac{1}{x}$$与$$x$$项组合：
实际上，$$(1-2x)^7$$展开中，$$x^{-1}$$项不存在，故仅上述两种情况。
重新审视：$$(1-2x)^7(1+\frac{1}{x}) = (1-2x)^7 + (1-2x)^7 \frac{1}{x}$$
常数项来自：第一部分的常数项（$$k=0$$）和第二部分的$$x$$项（$$k=1$$）：
$$C_7^0(-2)^0 + C_7^1(-2)^1 = 1 - 14 = -13$$
但选项为-14, -13, 1, 2，无-13，可能误。
或计算：$$64=2^{n-1} \Rightarrow n-1=6 \Rightarrow n=7$$正确。
常数项：$$a_0 \times 1 + a_1 \times 1$$，其中$$a_k=C_7^k(-2)^k$$
$$a_0=1, a_1=-14$$，和$$-13$$。
选项无，疑为$$-14$$，但非。
或题中为$$(1-2x)^n(1+\frac{1}{x})$$，可能为$$(1-2x)^n(1+x)$$？但原文$$\frac{1}{x}$$。
再读："奇数项的二项式系数之和为64"，即$$C_n^0+C_n^2+...=2^{n-1}=64$$，$$n=7$$。
$$(1-2x)^7(1+\frac{1}{x})$$的常数项：
展$$(1-2x)^7$$: $$\sum_{k=0}^7 C_7^k (-2)^k x^k$$
乘$$(1+\frac{1}{x})$$: $$\sum_{k=0}^7 C_7^k (-2)^k x^k + \sum_{k=0}^7 C_7^k (-2)^k x^{k-1}$$
常数项：第一个求和当$$k=0$$: $$C_7^0(-2)^0 x^0=1$$
第二个求和当$$k=1$$: $$C_7^1(-2)^1 x^{0}=-14$$
故常数项为$$1-14=-13$$。
但选项A.-14 B.-13 C.1 D.2，应选B，但题中选项为A.$$-14$$ B.$$-13$$ C.$$1$$ D.$$2$$，故B。
答案：B
2. $$(x+2)(1-2x)^5$$的展开式中含$$x^2$$的项的系数是（ ）。
解：展$$(1-2x)^5$$: $$T_{k+1}=C_5^k (-2x)^k = C_5^k (-2)^k x^k$$
乘$$(x+2)$$: $$x \cdot T_{k+1} + 2 \cdot T_{k+1}$$
含$$x^2$$项：
来自$$x \cdot T_{k+1}$$当$$k=1$$: $$x \cdot C_5^1 (-2)^1 x^1 = -10 x^2$$
来自$$2 \cdot T_{k+1}$$当$$k=2$$: $$2 \cdot C_5^2 (-2)^2 x^2 = 2 \cdot 10 \cdot 4 x^2 = 80 x^2$$
故系数：$$-10 + 80 = 70$$
答案：A
3. 已知$$S=C_{10}^1 (x-1) + C_{10}^2 (x-1)^2 + ... + C_{10}^{10} (x-1)^{10}$$，在$$S$$的展开式中，含$$x^3$$项的系数为（ ）。
解：$$S = \sum_{k=1}^{10} C_{10}^k (x-1)^k$$
考虑$$(x-1)^k$$展开通项：$$T_{r+1} = C_k^r x^{k-r} (-1)^r$$
$$x$$指数为$$k-r$$，令$$k-r=3$$即$$r=k-3$$
故$$x^3$$项系数为$$\sum_{k=3}^{10} C_{10}^k C_k^{k-3} (-1)^{k-3}$$
$$C_k^{k-3} = C_k^3$$，故系数为$$\sum_{k=3}^{10} C_{10}^k C_k^3 (-1)^{k-3}$$
选项B为$$C_{10}^3 + C_{10}^4 C_4^1 + C_{10}^5 C_5^2 + ... + C_{10}^{10} C_{10}^7$$，即$$\sum_{k=3}^{10} C_{10}^k C_k^3$$，缺$$(-1)^{k-3}$$。
实际上，$$S = [1+(x-1)]^{10} - C_{10}^0 (x-1)^0 = x^{10} - 1$$
故$$S = x^{10} - 1$$，含$$x^3$$项系数为0。
答案：C
4. 已知$$(1-3x)^8=a_0+a_1x+...+a_8x^8$$，则$$a_0+a_2+a_4+a_6+a_8=$$（ ）。
解：令$$x=1$$: $$(1-3)^8 = a_0+a_1+...+a_8 = (-2)^8=256$$
令$$x=-1$$: $$(1+3)^8 = a_0 - a_1 + a_2 - ... + a_8 = 4^8=65536$$
两式相加：$$2(a_0+a_2+...+a_8)=256+65536=65792$$
故$$a_0+a_2+...+a_8=32896$$
选项C: $$\frac{4^8+2^8}{2} = \frac{65536+256}{2}=32896$$
答案：C
5. $$(3x+1)(\frac{1}{x}-1)^5$$的展开式中的常数项为（ ）。
解：展$$(\frac{1}{x}-1)^5$$: $$T_{k+1}=C_5^k (\frac{1}{x})^{5-k} (-1)^k = C_5^k (-1)^k x^{k-5}$$
乘$$(3x+1)$$: $$3x \cdot T_{k+1} + 1 \cdot T_{k+1}$$
常数项：
来自$$3x \cdot T_{k+1}$$当$$k-5=-1$$即$$k=4$$: $$3x \cdot C_5^4 (-1)^4 x^{-1} = 3 \cdot 5 \cdot 1 \cdot x^0=15$$
来自$$1 \cdot T_{k+1}$$当$$k-5=0$$即$$k=5$$: $$1 \cdot C_5^5 (-1)^5 x^0 = -1$$
故常数项：$$15-1=14$$
答案：A
6. 在$$(\sqrt{x}+\frac{2}{x})^n$$的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则$$n=$$（ ）。
解：二项式系数最大项：若$$n$$偶，第$$\frac{n}{2}+1$$项最大；若$$n$$奇，第$$\frac{n+1}{2}$$和$$\frac{n+3}{2}$$项最大。
这里只有第5项最大，故$$n$$偶，且$$\frac{n}{2}+1=5$$，得$$n=8$$。
答案：C
7. 若$$(1+mx)^6=a_0+a_1x+...+a_6x^6$$，且$$a_1+a_2+...+a_6=63$$，则实数$$m$$的值为（ ）。
解：令$$x=0$$: $$a_0=1$$
令$$x=1$$: $$(1+m)^6=a_0+a_1+...+a_6=1+63=64$$
故$$(1+m)^6=64$$，$$1+m=\pm 2$$，$$m=1$$或$$m=-3$$
答案：A
8. 若$$(1+mx)^8=a_0+a_1x+...+a_8x^8$$且$$a_1+a_2+...+a_8=255$$，则实数$$m$$的值为（ ）。
解：令$$x=0$$: $$a_0=1$$
令$$x=1$$: $$(1+m)^8=a_0+a_1+...+a_8=1+255=256$$
故$$(1+m)^8=256$$，$$1+m=\pm 2$$，$$m=1$$或$$m=-3$$
答案：A
9. 在$$(1+x)^m$$的展开式中，奇数项之和为$$p$$，偶数项之和为$$q$$，则$$(1-x^2)^m$$等于（ ）。
解：$$(1+x)^m = p+q$$
$$(1-x)^m = p-q$$
故$$(1-x^2)^m = (1-x)^m (1+x)^m = (p-q)(p+q)=p^2-q^2$$
答案：C
10. 已知$$C_n^0 - 4C_n^1 + 4^2 C_n^2 - ... + (-1)^n 4^n C_n^n=729$$，则$$C_n^1+C_n^2+...+C_n^n$$的值等于（ ）。
解：左边$$= (1-4)^n = (-3)^n = 729$$
$$729=3^6$$，故$$(-3)^n=729$$，$$n=6$$（因为$$(-3)^6=729$$）
$$C_n^1+...+C_n^n=2^n - C_n^0=64-1=63$$
答案：D