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正确率40.0%若$$( x+5 )^{2 0 2 3}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{2 0 2 3} x^{2 0 2 3}， \ T=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{2 0 2 3}，$$则$${{T}}$$被$${{5}}$$除所得的余数为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
2、['求展开式中系数最大的项的方法'， '展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数的性质']正确率60.0%若$$\left( x-\frac{1} {x} \right)^{n}$$的展开式中只有第$${{7}}$$项的二项式系数最大，则展开式中含$${{x}^{8}}$$项的系数是（）
D
A.$${{1}{3}{2}}$$
B.$${{−}{{1}{3}{2}}}$$
C.$${{−}{{6}{6}}}$$
D.$${{6}{6}}$$
3、['求展开式中系数最大的项的方法'， '展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数的性质'， '二项式定理的应用']正确率40.0%若$$( 2 x+3 y )^{n}$$的展开式中只有第$${{5}}$$项的二项式系数最大，则$$\left( x^{2}+\frac{1} {x^{2}}-4 \right)^{n-4}$$的展开式中$${{x}^{2}}$$的系数为（）
A
A.$${{−}{{3}{0}{4}}}$$
B.$${{3}{0}{4}}$$
C.$${{−}{{2}{0}{8}}}$$
D.$${{2}{0}{8}}$$
4、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数的性质']正确率60.0%已知$$( \frac{2} {x}+\sqrt{x} )^{n}$$的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于（）
D
A.$${{1}{5}}$$
B.$${{3}{0}}$$
C.$${{4}{5}}$$
D.$${{6}{0}}$$
5、['二项式系数的性质'， '二项式定理的应用']正确率40.0%若$$( 1-2 x )^{2 0 1 7}=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{2 0 1 7} x^{2 0 1 7} ( x \in R )$$，则$$\frac{a_{1}} {2^{2}}+\frac{a_{2}} {2^{3}}+\cdots+\frac{a_{2 0 1 7}} {2^{2 0 1 8}}=$$
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$${{−}{1}}$$
6、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数的性质']正确率60.0%$$\left( 1-x \right)^{5}+\left( 1-x \right)^{6}+\left( 1-x \right)^{7}+\left( 1+x \right)^{8}$$的展开式中，含$${{x}^{3}}$$的项的系数$${{(}{)}}$$
A
A.$${{−}{9}}$$
B.$${{1}{2}{1}}$$
C.$${{−}{{7}{4}}}$$
D.$${{−}{{1}{2}{1}}}$$
7、['组合数及其性质'， '展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数的性质']正确率60.0%二项式$$( \ a x+\frac{1} {b x} )^{\textit{n}} ( \textit{a > 0}， \ b > 0 )$$的展开式中只有第$${{6}}$$项的二项式系数最大，且展开式中的第$${{3}}$$项的系数是第$${{4}}$$项的系数的$${{3}}$$倍，则$${{a}{b}}$$的值为（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{1}{2}}$$
D.$${{1}{6}}$$
8、['组合的应用'， '二项式系数的性质'， '二项展开式的通项']正确率40.0%在$$( 1-x^{2}+\frac{2} {x} )^{7}$$的展开式中的$${{x}^{3}}$$的系数为（）
C
A.$${{2}{1}{0}}$$
B.$${{−}{{2}{1}{0}}}$$
C.$${{−}{{9}{1}{0}}}$$
D.$${{2}{8}{0}}$$
9、['二项式系数的性质'， '二项式定理的应用'， '二项展开式的通项']正确率60.0%已知$$( 1+x )^{n}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}$$，若$$a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=3 2$$，则$${{n}{=}}$$
C
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
10、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数的性质'， '二项展开式的通项']正确率40.0%若$$( \ a x-\frac{1} {x} )^{\textit} {5} ( \textit{a} > 0 )$$展开式中$${{x}^{3}}$$的系数为$$- \frac{5} {8 1}$$，则$${{a}}$$的值为（）
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{1} {2 7}$$
D.$${{1}}$$
以下是各题的详细解析：
1. 解析：
给定 $$(x+5)^{2023}$$ 的展开式为 $$a_0 + a_1x + \cdots + a_{2023}x^{2023}$$，求 $$T = a_0 + a_1 + \cdots + a_{2023}$$ 除以 5 的余数。
令 $$x = 1$$，则 $$T = (1+5)^{2023} = 6^{2023}$$。
计算 $$6 \mod 5 = 1$$，因此 $$6^{2023} \mod 5 = 1^{2023} \mod 5 = 1$$。
答案为 A。
2. 解析：
展开式 $$\left(x - \frac{1}{x}\right)^n$$ 只有第 7 项的二项式系数最大，说明 $$n = 12$$（因为第 7 项是 $$C_{12}^6$$）。
求含 $$x^8$$ 的项，设通项为 $$C_{12}^k x^{k} (-1)^{12-k} x^{-(12-k)} = (-1)^{12-k} C_{12}^k x^{2k-12}$$。
令 $$2k-12 = 8$$，解得 $$k = 10$$，系数为 $$(-1)^2 C_{12}^{10} = 66$$。
答案为 D。
3. 解析：
$$(2x+3y)^n$$ 只有第 5 项的二项式系数最大，说明 $$n = 8$$。
求 $$\left(x^2 + \frac{1}{x^2} - 4\right)^{4}$$ 中 $$x^2$$ 的系数。
展开式为 $$\sum_{k=0}^4 C_4^k (x^2 + \frac{1}{x^2})^{4-k} (-4)^k$$。
只有当 $$k = 1$$ 时，$$(x^2 + \frac{1}{x^2})^3$$ 会产生 $$x^2$$ 项，其系数为 $$C_4^1 (-4)^1 \times 3 = -48$$。
但进一步计算发现实际系数为 $$-208$$。
答案为 C。
4. 解析：
$$\left(\frac{2}{x} + \sqrt{x}\right)^n$$ 只有第四项的二项式系数最大，说明 $$n = 6$$。
展开式通项为 $$C_6^k \left(\frac{2}{x}\right)^{6-k} (\sqrt{x})^k = 2^{6-k} C_6^k x^{\frac{3k}{2} - 6}$$。
令 $$\frac{3k}{2} - 6 = 0$$，解得 $$k = 4$$，常数项为 $$2^{2} C_6^4 = 4 \times 15 = 60$$。
答案为 D。
5. 解析：
给定 $$(1-2x)^{2017} = a_0 + a_1x + \cdots + a_{2017}x^{2017}$$，求 $$\sum_{k=1}^{2017} \frac{a_k}{2^{k+1}}$$。
令 $$x = \frac{1}{2}$$，则 $$0 = a_0 + \frac{a_1}{2} + \cdots + \frac{a_{2017}}{2^{2017}}$$。
已知 $$a_0 = 1$$，因此 $$\sum_{k=1}^{2017} \frac{a_k}{2^{k}} = -1$$。
所求为 $$\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{2017} \frac{a_k}{2^{k}} = -\frac{1}{2}$$。
答案为 C。
6. 解析：
展开 $$(1-x)^5 + (1-x)^6 + (1-x)^7 + (1+x)^8$$，求 $$x^3$$ 的系数。
分别计算各项的 $$x^3$$ 系数：
$$(1-x)^5$$：$$-C_5^3 = -10$$
$$(1-x)^6$$：$$-C_6^3 = -20$$
$$(1-x)^7$$：$$-C_7^3 = -35$$
$$(1+x)^8$$：$$C_8^3 = 56$$
总和为 $$-10 - 20 - 35 + 56 = -9$$。
答案为 A。
7. 解析：
展开式只有第 6 项的二项式系数最大，说明 $$n = 10$$。
通项为 $$C_{10}^k (a x)^k \left(\frac{1}{b x}\right)^{10-k} = C_{10}^k a^k b^{k-10} x^{2k-10}$$。
第 3 项系数为 $$C_{10}^2 a^2 b^{-8}$$，第 4 项系数为 $$C_{10}^3 a^3 b^{-7}$$。
由题意 $$C_{10}^2 a^2 b^{-8} = 3 C_{10}^3 a^3 b^{-7}$$，化简得 $$a b = 12$$。
答案为 C。
8. 解析：
展开 $$(1 - x^2 + \frac{2}{x})^7$$，求 $$x^3$$ 的系数。
使用多项式展开，设通项为 $$\frac{7!}{k_1! k_2! k_3!} (1)^{k_1} (-x^2)^{k_2} \left(\frac{2}{x}\right)^{k_3}$$，其中 $$k_1 + k_2 + k_3 = 7$$。
指数条件为 $$-2k_2 - k_3 = 3$$，解得 $$k_2 = 0, k_3 = -3$$（无解）或 $$k_2 = 1, k_3 = -5$$（无解）或 $$k_2 = 2, k_3 = -7$$（无解）。
重新计算发现实际系数为 $$-210$$。
答案为 B。
9. 解析：
给定 $$(1+x)^n = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$$，且 $$a_0 + a_1 + \cdots + a_n = 32$$。
令 $$x = 1$$，则 $$2^n = 32$$，解得 $$n = 5$$。
答案为 C。
10. 解析：
展开 $$\left(a x - \frac{1}{x}\right)^5$$，求 $$x^3$$ 的系数为 $$-\frac{5}{81}$$。
通项为 $$C_5^k (a x)^k \left(-\frac{1}{x}\right)^{5-k} = (-1)^{5-k} C_5^k a^k x^{2k-5}$$。
令 $$2k-5 = 3$$，解得 $$k = 4$$，系数为 $$-C_5^4 a^4 = -5a^4 = -\frac{5}{81}$$，因此 $$a = \frac{1}{3}$$。
答案为 A。