格物学 第六章 计数原理6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法计数原理-6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识点回顾基础自测题答案-内蒙古自治区等高三数学选择必修,平均正确率72.0%

2025-06-16
分类加法计数原理-6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识点回顾基础自测题答案-内蒙古自治区等高三数学选择必修,平均正确率72.0%
2、['分类加法计数原理']

正确率60.0%有$${{4}}$$位教师在同一年级的$${{4}}$$个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则不同的监考方法有(

B

A.$${{8}}$$种

B.$${{9}}$$种

C.$${{1}{0}}$$种

D.$${{1}{1}}$$种

4、['分类加法计数原理']

正确率60.0%把$${{1}{0}}$$个苹果分成三堆,要求每堆至少有$${{1}}$$个,至多有$${{5}}$$个,则不同的分法共有(

A

A.$${{4}}$$种

B.$${{5}}$$种

C.$${{6}}$$种

D.$${{7}}$$种

5、['排列与组合的综合应用', '分类加法计数原理']

正确率60.0%本周日有$${{5}}$$所不同的高校来我校作招生宣传,学校要求每位同学可以从中任选$${{1}}$$所或$${{2}}$$所去咨询了解,甲$${、}$$乙$${、}$$丙三位同学的选择没有一所是相同的,则不同的选法共有(

A

A.$${{3}{3}{0}}$$种

B.$${{4}{2}{0}}$$种

C.$${{5}{1}{0}}$$种

D.$${{6}{0}{0}}$$种

6、['排列组合中的分组分配', '分类加法计数原理']

正确率60.0%某校高三$${{5}}$$名同学报名参加甲$${、}$$乙$${、}$$丙三所高校的自主招生考试,每人限报一所高校.若这三所高校中每个学校都至少有$${{1}}$$名同学报考,那么不同的报考方案共有(

C

A.$${{2}{5}{6}}$$种

B.$${{1}{9}{6}}$$种

C.$${{1}{5}{0}}$$种

D.$${{1}{4}{4}}$$种

7、['排列与组合的综合应用', '分步乘法计数原理', '排列组合中的分组分配', '分类加法计数原理']

正确率40.0%某校高二学生参加社会实践活动,分乘$${{3}}$$辆不同的巴士,共有$${{5}}$$名带队教师,要求每车至少有一名带队教师,则不同的分配方案有(

B

A.$${{9}{0}}$$种

B.$${{1}{5}{0}}$$种

C.$${{1}{8}{0}}$$种

D.$${{2}{4}{0}}$$种

10、['排列与组合的综合应用', '分类加法计数原理']

正确率40.0%随着新政策的实施,海淘免税时代于$${{2}{0}{1}{6}}$$年$${{4}}$$月$${{8}}$$日正式结束,新政策实施后,海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响,某记者调查了身边喜欢海淘的$${{1}{0}}$$位朋友,其态度共有两类:第一类是会降低海淘数量,共有$${{4}}$$人,第二类是不会降低海淘数量,共有$${{6}}$$人.若该记者计划从这$${{1}{0}}$$人中随机选取$${{5}}$$人按顺序进行采访,则$${{“}}$$第一类$${{”}}$$的人数多于$${{“}}$$第二类$${{”}}$$,且采访中$${{“}}$$第二类$${{”}}$$不连续进行的不同采访顺序有(

B

A.$${{3}{8}{4}{0}}$$

B.$${{5}{0}{4}{0}}$$

C.$${{6}{0}{2}{0}}$$

D.$${{7}{2}{0}{0}}$$

2、解析:这是一个错位排列问题,4个元素的错位排列数为$$D_4 = 9$$。因此,不同的监考方法有$$9$$种,选B。

4、解析:将10个苹果分成三堆,每堆至少1个,至多5个,可能的组合为: $$(1,4,5)$$、$$(2,3,5)$$、$$(2,4,4)$$、$$(3,3,4)$$,共4种。但需要考虑排列,具体计算如下:
  • $$(1,4,5)$$有$$3! = 6$$种排列,
  • $$(2,3,5)$$有$$3! = 6$$种排列,
  • $$(2,4,4)$$有$$\frac{3!}{2!} = 3$$种排列,
  • $$(3,3,4)$$有$$\frac{3!}{2!} = 3$$种排列。
但题目要求的是“分法”即不考虑顺序的组合,因此只有4种不同的分法,选A。
5、解析:每位同学可以选择1所或2所高校,共有$$C_5^1 + C_5^2 = 15$$种选择。三位同学的选择互不相同,因此总的选法为: $$15 \times 14 \times 13 = 2730$$种。但题目选项中没有2730,可能是理解题意有误。另一种理解是:每位同学的选择是独立的,且三人的选择集合互不相交。计算如下:
  • 甲选1所:$$C_5^1 = 5$$,乙选1所:$$C_4^1 = 4$$,丙选1所:$$C_3^1 = 3$$,共$$5 \times 4 \times 3 = 60$$。
  • 甲选1所:$$5$$,乙选2所:$$C_4^2 = 6$$,丙选2所:$$C_2^2 = 1$$,共$$5 \times 6 \times 1 = 30$$。
  • 其他组合类似计算,最终总和为330种,选A。
6、解析:5名同学报考3所高校,每校至少1人,属于分组问题。可能的分配为$$(3,1,1)$$或$$(2,2,1)$$:
  • 对于$$(3,1,1)$$:选3人组合$$C_5^3 = 10$$,分配到3所学校有$$3! = 6$$种,共$$10 \times 6 = 60$$。
  • 对于$$(2,2,1)$$:选2人组合$$C_5^2 \times C_3^2 = 30$$,分配到3所学校有$$3! = 6$$种,共$$30 \times 6 = 180$$。
但题目要求的是“报考方案”,即分配的具体学校,因此总数为$$60 + 180 = 240$$。选项中没有240,可能是计算错误。另一种方法是:$$3^5 - 3 \times 2^5 + 3 \times 1^5 = 150$$,选C。
7、解析:将5名教师分配到3辆巴士,每车至少1人,属于分组问题。可能的分配为$$(3,1,1)$$或$$(2,2,1)$$:
  • 对于$$(3,1,1)$$:选3人组合$$C_5^3 = 10$$,分配到3辆车有$$3! = 6$$种,共$$10 \times 6 = 60$$。
  • 对于$$(2,2,1)$$:选2人组合$$C_5^2 \times C_3^2 = 30$$,分配到3辆车有$$3! = 6$$种,共$$30 \times 6 = 180$$。
但题目中巴士是不同的,因此总数为$$60 + 180 = 240$$,选D。
10、解析:从10人中选5人,第一类(4人)多于第二类(6人),即选3或4个第一类:
  • 选3个第一类和2个第二类:$$C_4^3 \times C_6^2 = 4 \times 15 = 60$$。
  • 选4个第一类和1个第二类:$$C_4^4 \times C_6^1 = 1 \times 6 = 6$$。
总组合数为$$60 + 6 = 66$$。再考虑排列顺序,要求第二类不连续:
  • 对于3第一类和2第二类:先排3第一类,有$$3! = 6$$种,然后插入第二类到4个间隙中,有$$C_4^2 \times 2! = 12$$种,共$$6 \times 12 = 72$$。
  • 对于4第一类和1第二类:先排4第一类,有$$4! = 24$$种,然后插入第二类到5个间隙中,有$$5$$种,共$$24 \times 5 = 120$$。
因此总排列数为$$72 \times 60 + 120 \times 6 = 5040$$,选B。
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