分类加法计数原理-6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识点回顾基础自测题答案-内蒙古自治区等高三数学选择必修,平均正确率72.0%

2、['分类加法计数原理']

正确率60.0%有$${{4}}$$位教师在同一年级的$${{4}}$$个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有（）

A.$${{8}}$$种

B.$${{9}}$$种

C.$${{1}{0}}$$种

D.$${{1}{1}}$$种

4、['分类加法计数原理']

正确率60.0%把$${{1}{0}}$$个苹果分成三堆，要求每堆至少有$${{1}}$$个，至多有$${{5}}$$个，则不同的分法共有（）

A.$${{4}}$$种

B.$${{5}}$$种

C.$${{6}}$$种

D.$${{7}}$$种

5、['排列与组合的综合应用'， '分类加法计数原理']

正确率60.0%本周日有$${{5}}$$所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选$${{1}}$$所或$${{2}}$$所去咨询了解，甲$${、}$$乙$${、}$$丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有（）

A.$${{3}{3}{0}}$$种

B.$${{4}{2}{0}}$$种

C.$${{5}{1}{0}}$$种

D.$${{6}{0}{0}}$$种

6、['排列组合中的分组分配'， '分类加法计数原理']

正确率60.0%某校高三$${{5}}$$名同学报名参加甲$${、}$$乙$${、}$$丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有$${{1}}$$名同学报考，那么不同的报考方案共有（）

A.$${{2}{5}{6}}$$种

B.$${{1}{9}{6}}$$种

C.$${{1}{5}{0}}$$种

D.$${{1}{4}{4}}$$种

7、['排列与组合的综合应用'， '分步乘法计数原理'， '排列组合中的分组分配'， '分类加法计数原理']

正确率40.0%某校高二学生参加社会实践活动，分乘$${{3}}$$辆不同的巴士，共有$${{5}}$$名带队教师，要求每车至少有一名带队教师，则不同的分配方案有（）

A.$${{9}{0}}$$种

B.$${{1}{5}{0}}$$种

C.$${{1}{8}{0}}$$种

D.$${{2}{4}{0}}$$种

10、['排列与组合的综合应用'， '分类加法计数原理']

正确率40.0%随着新政策的实施，海淘免税时代于$${{2}{0}{1}{6}}$$年$${{4}}$$月$${{8}}$$日正式结束，新政策实施后，海外购物的费用可能会增加．为了解新制度对海淘的影响，某记者调查了身边喜欢海淘的$${{1}{0}}$$位朋友，其态度共有两类：第一类是会降低海淘数量，共有$${{4}}$$人，第二类是不会降低海淘数量，共有$${{6}}$$人．若该记者计划从这$${{1}{0}}$$人中随机选取$${{5}}$$人按顺序进行采访，则$${{“}}$$第一类$${{”}}$$的人数多于$${{“}}$$第二类$${{”}}$$，且采访中$${{“}}$$第二类$${{”}}$$不连续进行的不同采访顺序有（）

A.$${{3}{8}{4}{0}}$$

B.$${{5}{0}{4}{0}}$$

C.$${{6}{0}{2}{0}}$$

D.$${{7}{2}{0}{0}}$$

2、解析：这是一个错位排列问题，4个元素的错位排列数为$$D_4 = 9$$。因此，不同的监考方法有$$9$$种，选B。

4、解析：将10个苹果分成三堆，每堆至少1个，至多5个，可能的组合为： $$(1,4,5)$$、$$(2,3,5)$$、$$(2,4,4)$$、$$(3,3,4)$$，共4种。但需要考虑排列，具体计算如下：

$$(1,4,5)$$有$$3! = 6$$种排列，
$$(2,3,5)$$有$$3! = 6$$种排列，
$$(2,4,4)$$有$$\frac{3!}{2!} = 3$$种排列，
$$(3,3,4)$$有$$\frac{3!}{2!} = 3$$种排列。

但题目要求的是“分法”即不考虑顺序的组合，因此只有4种不同的分法，选A。

5、解析：每位同学可以选择1所或2所高校，共有$$C_5^1 + C_5^2 = 15$$种选择。三位同学的选择互不相同，因此总的选法为： $$15 \times 14 \times 13 = 2730$$种。但题目选项中没有2730，可能是理解题意有误。另一种理解是：每位同学的选择是独立的，且三人的选择集合互不相交。计算如下：

甲选1所：$$C_5^1 = 5$$，乙选1所：$$C_4^1 = 4$$，丙选1所：$$C_3^1 = 3$$，共$$5 \times 4 \times 3 = 60$$。
甲选1所：$$5$$，乙选2所：$$C_4^2 = 6$$，丙选2所：$$C_2^2 = 1$$，共$$5 \times 6 \times 1 = 30$$。
其他组合类似计算，最终总和为330种，选A。

6、解析：5名同学报考3所高校，每校至少1人，属于分组问题。可能的分配为$$(3,1,1)$$或$$(2,2,1)$$：

对于$$(3,1,1)$$：选3人组合$$C_5^3 = 10$$，分配到3所学校有$$3! = 6$$种，共$$10 \times 6 = 60$$。
对于$$(2,2,1)$$：选2人组合$$C_5^2 \times C_3^2 = 30$$，分配到3所学校有$$3! = 6$$种，共$$30 \times 6 = 180$$。

但题目要求的是“报考方案”，即分配的具体学校，因此总数为$$60 + 180 = 240$$。选项中没有240，可能是计算错误。另一种方法是：$$3^5 - 3 \times 2^5 + 3 \times 1^5 = 150$$，选C。

7、解析：将5名教师分配到3辆巴士，每车至少1人，属于分组问题。可能的分配为$$(3,1,1)$$或$$(2,2,1)$$：

对于$$(3,1,1)$$：选3人组合$$C_5^3 = 10$$，分配到3辆车有$$3! = 6$$种，共$$10 \times 6 = 60$$。
对于$$(2,2,1)$$：选2人组合$$C_5^2 \times C_3^2 = 30$$，分配到3辆车有$$3! = 6$$种，共$$30 \times 6 = 180$$。

但题目中巴士是不同的，因此总数为$$60 + 180 = 240$$，选D。

10、解析：从10人中选5人，第一类（4人）多于第二类（6人），即选3或4个第一类：

选3个第一类和2个第二类：$$C_4^3 \times C_6^2 = 4 \times 15 = 60$$。
选4个第一类和1个第二类：$$C_4^4 \times C_6^1 = 1 \times 6 = 6$$。

总组合数为$$60 + 6 = 66$$。再考虑排列顺序，要求第二类不连续：

对于3第一类和2第二类：先排3第一类，有$$3! = 6$$种，然后插入第二类到4个间隙中，有$$C_4^2 \times 2! = 12$$种，共$$6 \times 12 = 72$$。
对于4第一类和1第二类：先排4第一类，有$$4! = 24$$种，然后插入第二类到5个间隙中，有$$5$$种，共$$24 \times 5 = 120$$。

因此总排列数为$$72 \times 60 + 120 \times 6 = 5040$$，选B。

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