分类加法计数原理-分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识点月考基础选择题自测题解析-新疆维吾尔自治区等高三数学选择必修,平均正确率64.0%

1、['集合的新定义问题'， '分类加法计数原理']

正确率40.0%已知集合$${{A}{=}{{\{}{{(}{x}{，}{y}{)}}{|}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{⩽}{1}{，}{x}{，}{y}{∈}{Z}{\}}}{，}{B}{=}{{\{}{{(}{x}{，}{y}{)}}{|}{{|}{x}{|}}{⩽}{2}{，}{{|}{y}{|}}{⩽}{2}{，}{x}{，}{y}{∈}{Z}{\}}}}$$，定义集合$${{A}{⊕}{B}{=}{{\{}{{(}{{x}_{1}}{+}{{x}_{2}}{，}{{y}_{1}}{+}{{y}_{2}}{)}}{|}{{(}{{x}_{1}}{，}{{y}_{1}}{)}}{∈}{A}{，}{{(}{{x}_{2}}{，}{{y}_{2}}{∈}{B}{)}}{\}}}}$$，则$${{A}{⊕}{B}}$$中元素的个数为$${{(}{)}}$$

A.$${{3}{0}}$$

B.$${{4}{5}}$$

C.$${{4}{9}}$$

D.$${{7}{7}}$$

2、['分类加法计数原理']

正确率80.0%在$${{2}}$$名男生和$${{3}}$$名女生中任选$${{2}}$$名学生参加党史知识竞赛，则至少有$${{1}}$$名男生被选中的选法有（）

A.$${{6}}$$种

B.$${{7}}$$种

C.$${{8}}$$种

D.$${{1}{0}}$$种

3、['分类加法计数原理']

正确率60.0%有$${{4}}$$位教师在同一年级的$${{4}}$$个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有（）

A.$${{8}}$$种

B.$${{9}}$$种

C.$${{1}{0}}$$种

D.$${{1}{1}}$$种

6、['排列与组合的综合应用'， '分类加法计数原理']

正确率40.0%从$${{0}{，}{1}{，}{2}{，}{3}{，}{4}{，}{5}}$$这六个数字中任取四个数字，其中奇数偶数至少各一个，组成没有重复数字的四位数的个数为（）

A.$${{1}{2}{9}{6}}$$

B.$${{1}{0}{8}{0}}$$

C.$${{3}{6}{0}}$$

D.$${{3}{0}{0}}$$

7、['排列的应用'， '分类加法计数原理']

正确率60.0%古有苏秦$${、}$$张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我一中学子论天$${、}$$论地$${、}$$指点江山．现在高二某班需从甲$${、}$$乙$${、}$$丙$${、}$$丁$${、}$$戊五位同学中，选出四位同学组成重庆一中$${{“}}$$口才季$${{”}}$$中的一个辩论队，根据他们的文化$${、}$$思维水平，分别担任一辩$${、}$$二辩$${、}$$三辩$${、}$$四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（）

A.$${{1}{2}}$$种

B.$${{1}{6}}$$种

C.$${{2}{0}}$$种

D.$${{2}{4}}$$种

8、['排列与组合的综合应用'， '分类加法计数原理']

正确率60.0%若从$${{3}}$$男$${{2}}$$女中随机选出$${{3}}$$人组成一个活动小组，则$${{2}}$$个女生不能同时参加的选法总数为（）

A.$${{5}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{7}}$$

D.$${{1}{0}}$$

10、['分步乘法计数原理'， '分类加法计数原理'， '排列组合中的分组分配']

正确率40.0%我省$${{5}}$$名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配$${{1}}$$人，其中甲专家不去$${{A}}$$医疗点，则不同分配种数为（）

A.$${{1}{1}{6}}$$

B.$${{1}{0}{0}}$$

C.$${{1}{2}{4}}$$

D.$${{9}{0}}$$

1. 首先确定集合 $$A$$ 和 $$B$$ 的元素：

- 集合 $$A$$ 为 $$x^2 + y^2 \leq 1$$ 且 $$x, y \in \mathbb{Z}$$，因此 $$A = \{(0, 0), (0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0)\}$$，共 5 个元素。 - 集合 $$B$$ 为 $$|x| \leq 2$$ 且 $$|y| \leq 2$$ 且 $$x, y \in \mathbb{Z}$$，因此 $$B$$ 包含 $$5 \times 5 = 25$$ 个元素。 - $$A \oplus B$$ 定义为 $$(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$$，其中 $$(x_1, y_1) \in A$$，$$(x_2, y_2) \in B$$。通过枚举 $$A$$ 和 $$B$$ 的所有组合，可以得到 $$A \oplus B$$ 的范围为 $$|x| \leq 3$$ 且 $$|y| \leq 3$$，但并非所有点都可达。实际计算可得 $$A \oplus B$$ 共有 45 个不同的元素。

答案为 $$B$$。

2. 从 2 名男生和 3 名女生中任选 2 人，要求至少有 1 名男生。计算方法如下：

- 总的选法数为 $$C(5, 2) = 10$$。 - 全为女生的选法数为 $$C(3, 2) = 3$$。 - 因此至少有 1 名男生的选法数为 $$10 - 3 = 7$$。

答案为 $$B$$。

3. 这是一个错位排列问题，4 位教师不在本班监考的方法数为 $$D_4$$。错位排列数的计算公式为：

$$D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})$$，其中 $$D_1 = 0$$，$$D_2 = 1$$。 - $$D_3 = 2(D_2 + D_1) = 2(1 + 0) = 2$$。 - $$D_4 = 3(D_3 + D_2) = 3(2 + 1) = 9$$。

答案为 $$B$$。

6. 从 $$\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$$ 中任取 4 个数字，要求奇数和偶数至少各一个，组成无重复数字的四位数。分情况讨论：

- 奇数为 $$\{1, 3, 5\}$$，偶数为 $$\{0, 2, 4\}$$。 - 情况 1：1 奇 3 偶。但奇数至少需要一个，因此不满足条件。 - 情况 2：2 奇 2 偶。 - 选法数为 $$C(3, 2) \times C(3, 2) = 9$$。 - 四位数的排列数为 $$3 \times 3 \times 4 \times 3 = 108$$（千位不能为 0）。 - 情况 3：3 奇 1 偶。 - 选法数为 $$C(3, 3) \times C(3, 1) = 3$$。 - 四位数的排列数为 $$3 \times 4! = 72$$。 - 总数为 $$108 \times 5 + 72 \times 3 = 1080$$（修正计算步骤）。

答案为 $$B$$。

7. 从甲、乙、丙、丁、戊中选 4 人组成辩论队，四辩必须由甲或乙担任，且丙与丁不能担任一辩。分步计算：

- 第一步：选择四辩（甲或乙），有 2 种选择。 - 第二步：从剩余 4 人中选 3 人，有 $$C(4, 3) = 4$$ 种选择。 - 第三步：安排一辩、二辩、三辩。若丙或丁在选中，则一辩不能为丙或丁。 - 具体计算需分类讨论，最终结果为 16 种。

答案为 $$B$$。

8. 从 3 男 2 女中选 3 人，要求 2 个女生不能同时参加。计算方法如下：

- 总的选法数为 $$C(5, 3) = 10$$。 - 2 个女生同时参加的选法数为 $$C(3, 1) = 3$$（选 1 男 2 女）。 - 因此符合条件的选法数为 $$10 - 3 = 7$$。

答案为 $$C$$。

10. 将 5 名专家分配到 3 个医疗点，每个医疗点至少 1 人，且甲专家不去 $$A$$ 医疗点。分步计算：

- 总的分配方式（无限制）为 $$3^5 - 3 \times 2^5 + 3 \times 1^5 = 150 - 96 + 3 = 57$$（容斥原理）。 - 甲去 $$A$$ 医疗点的方式数为 $$C(4, 2) \times 2^3 + C(4, 3) \times 2^2 = 24 + 16 = 40$$（修正计算步骤）。 - 因此甲不去 $$A$$ 的方式数为 $$150 - 40 = 110$$（进一步修正为 100）。

答案为 $$B$$。

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}