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正确率60.0%某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（）
C
A.$${{1}{5}}$$种
B.$${{1}{4}}$$种
C.$${{1}{1}}$$种
D.$${{2}{3}}$$种
2、['计数原理的综合应用']正确率60.0%用数字$${{3}}$$，$${{6}}$$，$${{9}}$$组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字$${{3}}$$至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为（）
B
A.$${{8}{1}}$$
B.$${{4}{8}}$$
C.$${{3}{6}}$$
D.$${{2}{4}}$$
3、['计数原理的综合应用']正确率80.0%$$( a_{1}+a_{2} ) ( b_{1}+b_{2}+b_{3} ) ( c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4} )$$展开后的项数为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}{4}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{6}}$$
4、['计数原理的综合应用'， '排列与组合的综合应用'， '排列组合中的涂色问题']正确率40.0%正方体六个面上分别标有$${{A}}$$、$${{B}}$$、$${{C}}$$、$${{D}}$$、$${{E}}$$、$${{F}}$$六个字母，现用$${{5}}$$种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.
D
A.$${{4}{2}{0}}$$
B.$${{6}{0}{0}}$$
C.$${{7}{2}{0}}$$
D.$${{7}{8}{0}}$$
5、['计数原理的综合应用']正确率60.0%如果一个三位正整数如“$${{a}_{1}{{a}_{2}}{{a}_{3}}}$$”满足$$a_{1} < a_{2} > a_{3}，$$则称这样的三位数为凸数(如$$1 2 0， 3 4 3， 2 7 5$$等)，那么所有凸数的个数为（）
A
A.$${{2}{4}{0}}$$
B.$${{2}{0}{4}}$$
C.$${{7}{2}{9}}$$
D.$${{9}{2}{0}}$$
6、['古典概型的概率计算公式'， '计数原理的综合应用'， '组合的应用']正确率60.0%在一个口袋中装有$${{5}}$$个白球和$${{3}}$$个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出$${{3}}$$个球，至少摸到$${{2}}$$个黑球的概率等于（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {7}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {7}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{9} {2 8}$$
7、['计数原理的综合应用'， '排列组合中的特殊元素优先考虑']正确率60.0%某学校周一安排有语文$${、}$$数学$${、}$$英语$${、}$$物理$${、}$$化学$${、}$$生物六节课，要求生物课不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为
D
A.$${{2}{4}{0}}$$
B.$${{3}{8}{4}}$$
C.$${{4}{8}{0}}$$
D.$${{5}{0}{4}}$$
8、['古典概型的概率计算公式'， '古典概型的应用'， '计数原理的综合应用']正确率40.0%今年$${{4}}$$月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了$${{“}}$$精准脱贫$${{”}}$$工作，为了进一步解决$${{“}}$$两不愁，三保障$${{”}}$$的突出问题，当地安排包括甲$${、}$$乙在内的$${{5}}$$名专家对石柱县的$${{3}}$$个不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，则甲$${、}$$乙两名专家安排在不同乡镇的概率为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{1 9} {2 5}$$
B.$$\frac{1 7} {2 0}$$
C.$$\frac{1 6} {2 5}$$
D.$$\frac{1 9} {4 0}$$
9、['计数原理的综合应用'， '排列与组合的综合应用']正确率60.0%安排$${{3}}$$人完成$${{5}}$$项不同工作，每人至少完成$${{1}}$$项，每项工作由$${{1}}$$人完成，则不同的安排方式种数为
B
A.$${{6}{0}}$$
B.$${{1}{5}{0}}$$
C.$${{1}{8}{0}}$$
D.$${{2}{4}{0}}$$
1. 从甲、乙、丙、丁四人中选三人担任书记、副书记、组织委员，且甲、乙、丙不能连任原职。首先计算总的排列数：从4人中选3人并排列，有$$P(4,3) = 24$$种。再减去不符合条件的排列。假设甲、乙、丙连任原职，则丁必须被选中，但丁不能担任原职（因为原职由甲、乙、丙占据），所以无连任情况。但题目规定甲、乙、丙不能连任原职，因此需排除他们连任的情况。实际计算时，直接考虑甲、乙、丙的职位限制：
- 若甲不担任书记，乙不担任副书记，丙不担任组织委员，则用容斥原理计算：总排列数减去甲任书记、乙任副书记、丙任组织委员的情况，再补回重叠部分。最终结果为11种，但选项中没有11，可能是题目理解有误。重新分析：
实际上，题目要求上届任职的甲、乙、丙不能连任原职，但丁可以担任任何职位。因此，总的排列数为24，减去甲、乙、丙连任原职的情况（每种情况有2种排列，共6种），剩余18种。但选项中没有18，可能是题目描述不清。最接近的合理答案是11种，但无匹配选项。可能是题目有其他隐含限制。
2. 用数字3、6、9组成四位数，数字可重复，但3至多出现一次。分两种情况：
- 不包含3：每位只能是6或9，有$$2^4 = 16$$种。
- 包含一个3：选择3的位置有4种，其余三位每位可以是6或9，有$$4 \times 2^3 = 32$$种。
总数为$$16 + 32 = 48$$种，对应选项B。
3. 展开$$(a_1 + a_2)(b_1 + b_2 + b_3)(c_1 + c_2 + c_3 + c_4)$$的项数。每一项是从第一个括号选一个$$a$$，第二个括号选一个$$b$$，第三个括号选一个$$c$$相乘。因此总项数为$$2 \times 3 \times 4 = 24$$，对应选项A。
4. 正方体六个面染色，有公共棱的面不同色。用5种颜色。正方体的对面可同色，邻面需不同色。这是一个图着色问题，等价于立方体图的着色数。立方体图的色多项式为$$P(G, k) = k(k-1)(k-2)^2(k-3)$$，代入$$k=5$$得$$5 \times 4 \times 3^2 \times 2 = 360$$。但题目要求有公共棱的面不同色，实际计算为：固定一个面颜色（5种），对面颜色有4种，其余四个面需与邻面不同色，相当于环形排列，有$$(k-2)(k-3)^2$$（具体推导较复杂）。最终结果为420种，对应选项A。
5. 凸数的定义是$$a_1 < a_2 > a_3$$的三位数。分步计算：
- 选中间数$$a_2$$（从1到9）：对于$$a_2 = k$$，$$a_1$$有$$k-1$$种（1到$$k-1$$），$$a_3$$有$$k-1$$种（0到$$k-1$$）。但$$a_1$$不能为0。
- 具体计算：$$a_2$$从2到9，对每个$$a_2$$，$$a_1$$有$$a_2-1$$种，$$a_3$$有$$a_2$$种（因为$$a_3$$可以为0）。总数为$$\sum_{k=2}^9 (k-1) \times k = 240$$，对应选项A。
6. 从5白3黑中摸3球，至少2黑球的概率。分两种情况：
- 2黑1白：$$C(3,2) \times C(5,1) = 15$$种。
- 3黑：$$C(3,3) = 1$$种。
总有利事件数为16，总事件数为$$C(8,3) = 56$$。概率为$$\frac{16}{56} = \frac{2}{7}$$，对应选项A。
7. 六节课排列，生物不排第一节，数学不排第四节。用容斥原理：
- 总排列数：$$6! = 720$$。
- 生物在第一节的排列数：$$5! = 120$$。
- 数学在第四节的排列数：$$5! = 120$$。
- 生物在第一节且数学在第四节的排列数：$$4! = 24$$。
因此，符合条件的排列数为$$720 - 120 - 120 + 24 = 504$$。但选项中有504（D），但题目描述可能有误，实际计算为504。
8. 5名专家分配到3个乡镇，每个乡镇至少1人。甲、乙在不同乡镇的概率：
- 总分配方式：将5人分成3组，有$$3^5 - 3 \times 2^5 + 3 \times 1^5 = 150$$种（容斥原理）。
- 甲、乙同乡镇的方式：将甲、乙视为一体，剩余3人分配到3个乡镇，有$$3 \times 3^3 = 81$$种，但需减去不满足每个乡镇至少1人的情况。更准确的计算是斯特林数：$$S(5,3) \times 3! = 150$$。
- 甲、乙同乡镇的方式：将甲、乙绑定，剩余3人分配到3个乡镇，有$$S(4,3) \times 3! = 36$$种。
- 因此，甲、乙在不同乡镇的方式为$$150 - 36 = 114$$，概率为$$\frac{114}{150} = \frac{19}{25}$$，对应选项A。
9. 3人完成5项工作，每人至少1项。这是将5项工作分给3人，每人至少1项的问题：
- 总分配方式：$$3^5 = 243$$。
- 减去有人未分配的情况：$$3 \times 2^5 - 3 \times 1^5 = 93$$。
- 实际为斯特林数乘以排列：$$S(5,3) \times 3! = 150$$，对应选项B。