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正确率40.0%定义“$${{J}{O}}$$数列”｛$${{a}_{n}}$$｝如下：①$${{a}_{i}{∈}}$$｛$$0， ~ 1， ~ 2， ~ 3$$｝；②｛$${{a}_{n}}$$｝共有$${{2}{k}}$$项，其中有$${{k}}$$项奇数$${，{k}}$$项偶数；③对任意$$m \leqslant2 k，$$都有$$a_{1} \，， \， \， a_{2} \，， \， \， a_{3} \，， \， \， \， \ldots\，，$$中偶数的个数不多于奇数的个数.若$${{k}{=}{3}{，}}$$则不同的“$${{J}{O}}$$数列”共有（）
B
A.$${{3}{8}{4}}$$个
B.$${{3}{2}{0}}$$个
C.$${{6}}$$个
D.$${{5}}$$个
2、['组合的应用'， '分步乘法计数原理']正确率60.0%为迎接第十四届全国运动会，某单位准备组织一场混合双打比赛，现从$${{6}}$$名男乒乓球爱好者和$${{5}}$$名女乒乓球爱好者中各选$${{2}}$$名选手进行一场混合双打比赛，则不同的选择方法有（）
B
A.$${{1}{5}{0}}$$种
B.$${{3}{0}{0}}$$种
C.$${{4}{5}{0}}$$种
D.$${{6}{0}{0}}$$种
3、['排列与组合的综合应用'， '分步乘法计数原理']正确率60.0%将$${{4}}$$封不同的信投入$${{3}}$$个不同的信箱，不同的投法种数为（）
C
A.$${{A}^{3}_{4}}$$
B.$${{C}^{3}_{4}}$$
C.$${{3}^{4}}$$
D.$${{4}^{3}}$$
4、['排列与组合的综合应用'， '分步乘法计数原理']正确率40.0%某高校大一新生中的$${{6}}$$名同学打算参加学校组织的$${{“}}$$雅荷文学社$${{”}{、}{“}}$$青春风街舞社$${{”}{、}{“}}$$羽乒协会$${{“}{、}{”}}$$演讲团$${{“}{、}{”}}$$吉他协会$${{“}}$$五个社团．若每个同学必须参加且只能参加$${{1}}$$个社团且每个社团至多两人参加，则这$${{6}}$$个人中至多有$${{1}}$$个参加$${{”}}$$演讲团$${{“}}$$的不同参加方法为（）
C
A.$${{4}{6}{8}{0}}$$
B.$${{4}{7}{7}{0}}$$
C.$${{5}{0}{4}{0}}$$
D.$${{5}{2}{0}{0}}$$
5、['排列与组合的综合应用'， '分步乘法计数原理'， '排列组合中的分组分配'， '分类加法计数原理']正确率40.0%将$${{3}}$$名教师，$${{5}}$$名学生分成$${{3}}$$个小组，分别安排到甲$${、}$$乙$${、}$$丙三地参加社会实践活动，每地至少去$${{1}}$$名教师和$${{1}}$$名学生，则不同的安排方法总数为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}{8}{0}{0}}$$
B.$${{1}{4}{4}{0}}$$
C.$${{3}{0}{0}}$$
D.$${{9}{0}{0}}$$
6、['集合的其他题型'， '元素与集合的关系'， '分步乘法计数原理']正确率19.999999999999996%若集合$$E=\{( p， q， s ) | 0 \leqslant p < s \leqslant4， \; \; 0 \leqslant q < s \leqslant4$$且$$p， ~ q， ~ s \in N \} F=\{( t， u， v， w ) | 0 \leqslant t < u \leqslant4， ~ 0 \leqslant v < w \leqslant4$$且$$t， \， \， u， \， \， v， \， \， w \in N \}$$，用$$C A R D ( X )$$表示集合$${{X}}$$中的元素个数，则$$C A R D ( E )+C A R D ( F )=( \begin{array} {c} {~} \\ \end{array} )$$
B
A.$${{5}{0}}$$
B.$${{1}{3}{0}}$$
C.$${{1}{5}{0}}$$
D.$${{2}{0}{0}}$$
7、['排列与组合的综合应用'， '分步乘法计数原理']正确率40.0%从$${{6}}$$人中选派$${{4}}$$人承担甲，乙，丙三项工作，每项工作至少有一人承担，则不同的选派方法的个数为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}{0}{8}{0}}$$
B.$${{5}{4}{0}}$$
C.$${{1}{8}{0}}$$
D.$${{9}{0}}$$
8、['分步乘法计数原理'， '排列的应用']正确率60.0%在$${{7}}$$名运动员中，选$${{4}}$$名运动员组成接力队，参加$${{4}{×}{{1}{0}{0}}}$$米接力赛，那么甲$${、}$$乙两人都不跑中间棒的安排方法共有
B
A.$${{4}{2}{0}}$$
B.$${{4}{0}{0}}$$
C.$${{2}{4}{0}}$$
D.$${{1}{2}{0}}$$
9、['排列组合中的涂色问题'， '分步乘法计数原理']正确率40.0%svg异常
C
A.$${{6}{0}}$$
B.$${{4}{8}{0}}$$
C.$${{4}{2}{0}}$$
D.$${{7}{0}}$$
10、['分步乘法计数原理']正确率40.0%svg异常
D
A.$${{2}{4}}$$
B.$${{1}{4}{4}}$$
C.$${{8}{4}{0}}$$
D.$${{8}{6}{4}}$$
1. 定义“JO数列”$${a_n}$$：①$$a_i \in \{0,1,2,3\}$$；②共$$2k$$项，其中$$k$$项奇数、$$k$$项偶数；③对任意$$m \leq 2k$$，前$$m$$项中偶数个数不多于奇数个数。当$$k=3$$时，求不同数列个数。
分析：该问题等价于长度为6的Dyck路径计数（用0表示偶数，1表示奇数），但值域为4个数（奇偶性已定：1,3为奇；0,2为偶）。条件③要求前缀中1的数量不少于0的数量（因偶数不多于奇数即奇数不少于偶数）。
首先忽略具体数值，只考虑奇偶序列：需满足长度为6的序列，含3个1（奇）和3个0（偶），且每个前缀中1的数量≥0的数量。该序列数为Catalan数$$C_3 = \frac{1}{4} \binom{6}{3} = 5$$。
然后分配具体数值：每个奇数位置（标记为1）可填1或3（2种选择）；每个偶数位置（标记为0）可填0或2（2种选择）。故每个有效奇偶序列对应$$2^3 \times 2^3 = 64$$种具体数列。
因此总数为：$$5 \times 64 = 320$$。
答案：B.$$320$$个
2. 从6名男性和5名女性中各选2名进行混合双打比赛。
选择男性组合：$$\binom{6}{2} = 15$$种。
选择女性组合：$$\binom{5}{2} = 10$$种。
配对方式：选出的2男2女需组成2对混合双打组合，配对方法为$$2! = 2$$种（因每一男一女配对）。
故总方法数：$$15 \times 10 \times 2 = 300$$。
答案：B.$$300$$种
3. 将4封不同的信投入3个不同的信箱。
每封信有3种投法，由乘法原理：$$3^4 = 81$$。
选项C为$$3^4$$。
答案：C.$$3^4$$
4. 6名同学参加5个社团（雅荷文学社、青春风街舞社、羽乒协会、演讲团、吉他协会），每同学参加1个社团，每社团至多2人，且至多1人参加演讲团。
因至多1人参加演讲团，考虑两种情况：0人或1人参加演讲团。
情况1：0人参加演讲团。则6人分配到其余4个社团，每社至多2人。该问题等价于将6个不同元素放入4个盒子（社团），每盒容量≤2。
计算无演讲团时的分配数：
可能分布为(2,2,1,1)及其排列。先选2人入一社：$$\binom{6}{2}$$，再选2人入另一社：$$\binom{4}{2}$$，剩余2人各入一社：$$2!$$。但社团不同，需分配社团标签。
更清晰：选择哪两个社团有2人：$$\binom{4}{2} = 6$$；分配6人到这4社使指定两社各2人、另两社各1人：$$\frac{6!}{2!2!1!1!} = 180$$（但社团区分，故直接为180）。
实际上，分配方案数：$$\binom{4}{2} \times \binom{6}{2} \times \binom{4}{2} \times 2! = 6 \times 15 \times 6 \times 2 = 1080$$。
但此计数中，社团已指定（即选哪两个社得2人），故正确。
情况2：1人参加演讲团。选1人入演讲团：$$\binom{6}{1} = 6$$。剩余5人分配到其余4社，每社至多2人。
可能分布：(2,2,1,0)或(2,1,1,1)等，但需满足每社≤2且4社中某些可为0。
具体计算：剩余5人分到4社（每社≤2）的方案数。
分布可能： (2,2,1,0) 或 (2,1,1,1)。
对于(2,2,1,0)：选哪两个社有2人：$$\binom{4}{2}=6$$；选哪社有1人：$$\binom{2}{1}=2$$；分配5人：$$\binom{5}{2}\binom{3}{2}\binom{1}{1}=10\times3\times1=30$$；故$$6\times2\times30=360$$。
对于(2,1,1,1)：选哪社有2人：$$\binom{4}{1}=4$$；分配5人：$$\binom{5}{2}\binom{3}{1}\binom{2}{1}\binom{1}{1}=10\times3\times2\times1=60$$；但三个1人社无序，已避免重复？实际为$$4\times60=240$$。
故5人分4社（每社≤2）总数：360+240=600。
因此情况2总数：$$6 \times 600 = 3600$$。
情况1总数：1080。
总和：1080+3600=4680。
答案：A.$$4680$$
5. 将3名教师和5名学生分成3组，安排到甲、乙、丙三地，每地至少1名教师和1名学生。
首先分组教师：3教师分3组（每组至少1），仅1种方式（每人一组）。
分组学生：5学生分3组，每组至少1人。可能分布：(3,1,1)或(2,2,1)。
对于(3,1,1)：方式数：$$\binom{5}{3}\binom{2}{1}\binom{1}{1}/2! = 10\times2\times1/2=10$$（因两个1人组无序）。
对于(2,2,1)：方式数：$$\binom{5}{2}\binom{3}{2}\binom{1}{1}/2! = 10\times3\times1/2=15$$。
故学生分组共10+15=25种。
然后将教师组和学生组配对到甲、乙、丙三地：教师组已分好（3组），学生组也分好（3组），配对方式为$$3! = 6$$。
因此总数：$$1 \times 25 \times 6 = 150$$。
但答案选项无150，检查：可能每地安排一组教师和一组学生？实际上，分组后每组教师和学生组合形成一队，安排到一地。
但问题中“每地至少1名教师和1名学生”已满足。
然而选项有1800,1440,300,900。可能误解：教师和学生是否先混合再分组？但说“分成3个小组”，可能每组含教师和学生。
重新理解：将3教师和5学生分成3个小组，每个小组至少1教师和1学生？但教师仅3人，所以每组恰好1教师。
然后学生分到3组，每组至少1学生。学生分布：(3,1,1)或(2,2,1)。
对于(3,1,1)：选哪组得3学生：$$\binom{3}{1}=3$$；选学生：$$\binom{5}{3}=10$$；剩余2学生分到2组：$$2!=2$$；故$$3\times10\times2=60$$。
对于(2,2,1)：选哪组得1学生：$$\binom{3}{1}=3$$；选学生：$$\binom{5}{1}=5$$；剩余4学生分2组每组2：$$\binom{4}{2}\binom{2}{2}/2! =6\times1/2=3$$；故$$3\times5\times3=45$$。
故学生分配方式：60+45=105。
然后安排3小组到三地：$$3!=6$$。
总数：$$105\times6=630$$，仍不在选项。
另一种：教师已固定每组1人，学生分组后，小组即确定。安排到三地：6种。
但630无。
可能教师也考虑分配？但教师不同，分到三组即3!种？但教师分组到三地本即3!种。
实际上，将3教师分到三地：3!种。然后学生分组分配：如上105种。
故总数：$$6\times105=630$$。
选项有900，可能学生分布(3,1,1)时未除2!？即$$\binom{5}{3}\binom{2}{1}\binom{1}{1}=10\times2\times1=20$$，乘以选哪组得3人：3，得60，但两个1人组有序，故应×2，即120？混乱。
标准：教师分三地：3!种。
学生：5人分三地，每地至少1人。方式数：$$\binom{5-1}{3-1}=\binom{4}{2}=6$$（隔板法），但学生不同，故为$$3^5$$减去不满足的，但直接：所有分配：每学生有3地选择，但每地至少1人，由包含排斥：$$3^5 - 3\times2^5 + 3\times1^5 =243-96+3=150$$。
因此总数：$$6\times150=900$$。
答案：D.$$900$$
6. 集合$$E=\{(p,q,s) \mid 0 \leq p < s \leq4, 0 \leq q < s \leq4, p,q,s \in \mathbb{N}\}$$，$$F=\{(t,u,v,w) \mid 0 \leq t < u \leq4, 0 \leq v < w \leq4, t,u,v,w \in \mathbb{N}\}$$，求$$\mathrm{CARD}(E) + \mathrm{CARD}(F)$$。
计算$$\mathrm{CARD}(E)$$：固定$$s$$，$$s$$从1到4（因$$p 对于每个$$s$$，$$p$$可取0 to s-1（s种），$$q$$可取0 to s-1（s种）。故每s贡献$$s^2$$。 所以$$E$$元素数：$$\sum_{s=1}^4 s^2 = 1+4+9+16=30$$。 计算$$\mathrm{CARD}(F)$$：$$t 故$$F$$元素数：$$\left(\sum_{u=1}^4 u\right) \times \left(\sum_{w=1}^4 w\right) = (1+2+3+4) \times (1+2+3+4) = 10 \times 10 = 100$$。 因此总和：$$30+100=130$$。 答案：B.$$130$$
7. 从6人中选派4人承担甲、乙、丙三项工作，每项工作至少1人承担。
需选4人做3项工作，故必有一项工作有2人，其余各1人。
首先选2人做同一工作：选工作：$$\binom{3}{1}=3$$；选2人：$$\binom{6}{2}=15$$。
然后剩余2人分配2项工作：$$2!=2$$。
故总数：$$3\times15\times2=90$$。
但选项有1080,540,180,90。
答案：D.$$90$$
8. 7名运动员中选4人组成接力队参加4×100米接力，甲、乙两人都不跑中间棒（即第2棒和第3棒）。
总选4人排列：但有限制。
中间棒为位置2和3。
方法一：直接计算。
先选跑中间棒者：不能是甲、乙，故从其余5人中选2人跑中间棒：$$\binom{5}{2}=10$$，并排列：$$2!=2$$，故20种。
然后选两头棒者（位置1和4）：从剩余5人（包括甲、乙）中选2人：$$\binom{5}{2}=10$$，排列：$$2!=2$$，故20种。
因此总数：$$20\times20=400$$。
方法二：总排列数减去甲或乙跑中间棒的情况。
总排列：选4人并排列：$$\binom{7}{4} \times 4! = 35 \times 24 = 840$$。
甲跑中间棒：选甲跑一中间位：2选择，其余3人从6人中选并排列：$$\binom{6}{3} \times 3! =20\times6=120$$，故$$2\times120=240$$。同理乙跑中间棒：240。但甲乙均跑中间棒被减 twice，需加回：选甲乙跑中间棒：$$2!=2$$排列，其余2人从5人中选并排列两头：$$\binom{5}{2}\times2!=10\times2=20$$，故$$2\times20=40$$。
所以不满足数：240+240-40=440。
故满足数：840-440=400。
答案：B.$$400$$种
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