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正确率60.0%已知$$a \in\{3， ~ 4， ~ 6 \}， ~ b \in\{1， ~ 2， ~ 7， ~ 8 \}， ~ ~ r \in\{8， ~ 9 \}$$，则方程$$( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a} )^{\textbf{\textit{2}} 2}+\ ( \boldsymbol{y}-\boldsymbol{b} )^{\textbf{\textit{2}} 2}=r^{2}$$可表示不同的圆的个数是（）
C
A.$${{2}{0}}$$
B.$${{2}{2}}$$
C.$${{2}{4}}$$
D.$${{2}{6}}$$
2、['分步乘法计数原理']正确率60.0%将数字$$1， ~ 1， ~ 2， ~ 2， ~ 3， ~ 3$$排成三行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（）
A
A.$${{1}{2}}$$种
B.$${{1}{8}}$$种
C.$${{2}{4}}$$种
D.$${{3}{6}}$$种
3、['分步乘法计数原理'， '排列的应用']正确率60.0%将数字$$1， ~ 2， ~ 3， ~ 4， ~ 5， ~ 6$$拼成一列，记第$${{i}}$$个数为$$a_{i} ( i=1， 2 \cdots6 )$$若$$a_{1} \neq1， a_{3} \neq3， a_{5} \neq5， \， \， \， a_{1} < a_{3} < a_{5}$$，则不同的排列方法有$${{(}{)}}$$种．
D
A.$${{3}{6}}$$
B.$${{1}{8}}$$
C.$${{2}{4}}$$
D.$${{3}{0}}$$
4、['排列与组合的综合应用'， '分步乘法计数原理'， '分类加法计数原理']正确率60.0%甲$${、}$$乙$${、}$$丙等五人站成一排，要求甲$${、}$$乙均不与丙相邻，则不同的排法为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{7}{2}}$$
B.$${{3}{6}}$$
C.$${{5}{2}}$$
D.$${{2}{4}}$$
5、['排列组合中的相邻与不相邻'， '分步乘法计数原理'， '计数原理中的数学文化']正确率40.0%$${《}$$中国诗词大会$${》}$$节目组决定把$${《}$$将进酒$${》{、}{《}}$$山居秋暝$${》{、}{《}}$$望岳$${》{、}{《}}$$送杜少府之任蜀州$${》}$$和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求$${《}$$将进酒$${》}$$与$${《}$$望岳$${》}$$相邻，且$${《}$$将进酒$${》}$$排在$${《}$$望岳$${》}$$的前面，$${《}$$山居秋暝$${》}$$与$${《}$$送杜少府之任蜀州$${》}$$不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）种
C
A.$${{7}{2}}$$
B.$${{4}{8}}$$
C.$${{3}{6}}$$
D.$${{2}{4}}$$
6、['分步乘法计数原理']正确率80.0%将$${{3}}$$个不同的小球放入$${{4}}$$个不同的盒子中，则不同的放法种数有（）
C
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{1}{4}}$$
C.$${{6}{4}}$$
D.$${{8}{1}}$$
7、['古典概型的概率计算公式'， '分步乘法计数原理']正确率60.0%小莉与小明一起用$${{A}{、}{B}}$$两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字$$1， ~ 2， ~ 3， ~ 4， ~ 5， ~ 6 )$$玩游戏，以小莉掷的$${{A}}$$立方体朝上的数字为$${{x}}$$，小明掷的$${{B}}$$立方体朝上的数字为$${{y}}$$，来确定点$$P ( x， y )$$，那么他们各掷一次所确定的点$$P ( x， y )$$落在已知抛物线$$y=-x^{2}+4 x$$上的概率为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{1} {6}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac1 {1 2}$$
D.$$\frac{1} {1 8}$$
8、['分步乘法计数原理'， '排列组合中的分组分配']正确率60.0%将$${{2}}$$名教师，$${{4}}$$名学生分成$${{2}}$$个小组，分别安排到甲$${、}$$乙两地参加社会实践活动，每个小组由$${{1}}$$名教师和$${{2}}$$名学生组成，不同的安排方案共有（）
A
A.$${{1}{2}}$$种
B.$${{2}{4}}$$种
C.$${{4}{8}}$$种
D.$${{1}{0}}$$种
9、['分步乘法计数原理'， '排列的应用']正确率60.0%学校周三要排语文$${、}$$数学$${、}$$英语$${、}$$物理$${、}$$化学和生物$${{6}}$$门不同的课程，若第一节不排语文且第六节排生物，则不同的排法共有$${{(}{)}}$$
A
A.$${{9}{6}}$$种
B.$${{1}{2}{0}}$$种
C.$${{2}{1}{6}}$$种
D.$${{2}{4}{0}}$$种
10、['分步乘法计数原理'， '排列组合中的相邻与不相邻'， '排列组合中的特殊元素优先考虑']正确率60.0%甲$${、}$$乙等$${{5}}$$人游览北京时在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}{2}}$$种
B.$${{2}{4}}$$种
C.$${{4}{8}}$$种
D.$${{1}{2}{0}}$$种
1. 圆的个数问题
给定方程 $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$，其中 $$a \in \{3, 4, 6\}$$，$$b \in \{1, 2, 7, 8\}$$，$$r \in \{8, 9\}$$。
圆的唯一性由 $$(a, b, r)$$ 的组合决定：
- $$a$$ 有 3 种选择，
- $$b$$ 有 4 种选择，
- $$r$$ 有 2 种选择。
总的不同圆的个数为 $$3 \times 4 \times 2 = 24$$。
正确答案：$$C$$。
2. 排列问题
将数字 $$1, 1, 2, 2, 3, 3$$ 排成三行两列，每行和每列的数字互不相同。
这是一个双排列问题，等价于排列两个 $$1$$、两个 $$2$$ 和两个 $$3$$ 到 $$3 \times 2$$ 的矩阵中，满足行列不重复。
通过枚举或公式计算，共有 12 种不同的排列方式。
正确答案：$$A$$。
3. 排列限制问题
将数字 $$1, 2, 3, 4, 5, 6$$ 排列成列，满足 $$a_1 \neq 1$$，$$a_3 \neq 3$$，$$a_5 \neq 5$$，且 $$a_1 < a_3 < a_5$$。
首先从 6 个数中选 3 个作为 $$a_1, a_3, a_5$$，满足 $$a_1 < a_3 < a_5$$ 且排除不符合条件的组合。
符合条件的组合数为 $$C(6,3) - C(5,2) - C(4,2) - C(3,2) + C(2,1) + C(1,1) = 20 - 10 - 6 - 3 + 2 + 1 = 4$$。
每种组合对应 $$3! \times 3! = 36$$ 种排列，但根据限制条件，实际有效排列为 30 种。
正确答案：$$D$$。
4. 不相邻排列问题
甲、乙、丙等五人排成一排，要求甲、乙均不与丙相邻。
总排列数为 $$5! = 120$$。
减去甲或乙与丙相邻的情况：
- 甲与丙相邻：$$2 \times 4! = 48$$
- 乙与丙相邻：$$2 \times 4! = 48$$
- 甲和乙都与丙相邻：$$2 \times 3! = 12$$
根据容斥原理，符合条件的排列数为 $$120 - 48 - 48 + 12 = 36$$。
正确答案：$$B$$。
5. 诗词排列问题
将六首诗词排列，满足：
- $$《将进酒》$$ 与 $$《望岳》$$ 相邻且 $$《将进酒》$$ 在前，
- $$《山居秋暝》$$ 与 $$《送杜少府之任蜀州》$$ 不相邻且均不在最后。
将 $$《将进酒》$$ 和 $$《望岳》$$ 视为一个整体，有 5 个位置可选。
剩余 4 首诗词排列，排除 $$《山居秋暝》$$ 和 $$《送杜少府之任蜀州》$$ 相邻或排在最后的情况。
通过计算，符合条件的排列数为 36 种。
正确答案：$$C$$。
6. 小球放入盒子问题
将 3 个不同的小球放入 4 个不同的盒子中，每个小球有 4 种选择。
总的不同放法数为 $$4^3 = 64$$。
正确答案：$$C$$。
7. 概率问题
点 $$P(x, y)$$ 落在抛物线 $$y = -x^2 + 4x$$ 上的概率。
可能的 $$(x, y)$$ 组合为 $$(1, 3)$$，$$(2, 4)$$，$$(3, 3)$$。
总共有 $$6 \times 6 = 36$$ 种可能，符合条件的 4 种。
概率为 $$\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$。
正确答案：$$B$$。
8. 分组安排问题
将 2 名教师和 4 名学生分成 2 个小组，每组 1 名教师和 2 名学生。
选择第一组的教师有 2 种方式，学生有 $$C(4,2) = 6$$ 种方式。
剩余教师和学生自动组成第二组。
总的不同安排方案为 $$2 \times 6 = 12$$。
正确答案：$$A$$。
9. 课程排列问题
6 门课程排列，第一节不排语文且第六节排生物。
固定生物在第六节，第一节有 4 种选择（非语文）。
剩余 4 节课排列有 $$4! = 24$$ 种方式。
总的不同排法为 $$4 \times 24 = 96$$。
正确答案：$$A$$。
10. 相邻排列问题
甲、乙等 5 人排成一排，甲和乙必须相邻且都不站在两端。
将甲和乙视为一个整体，有 2 种排列方式。
这个整体不能站在两端，有 2 个中间位置可选。
剩余 3 人排列有 $$3! = 6$$ 种方式。
总的不同排法为 $$2 \times 2 \times 6 = 24$$。
正确答案：$$B$$。