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正确率60.0%某学校四位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则为：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得$${{3}{0}}$$分，答错得$${{−}{{3}{0}}}$$分；选乙题答对得$${{1}{0}}$$分，答错得$${{−}{{1}{0}}}$$分.若四位同学的总得分为$${{0}{，}}$$则这四位同学不同得分情况的种数是（）
D
A.$${{2}{4}}$$
B.$${{3}{6}}$$
C.$${{4}{0}}$$
D.$${{4}{4}}$$
2、['计数原理的综合应用'， '分类加法计数原理']正确率60.0%甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过$${{4}}$$次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（）
C
A.$${{4}}$$种
B.$${{5}}$$种
C.$${{6}}$$种
D.$${{1}{2}}$$种
3、['组合'， '概率与统计中的新定义'， '分类加法计数原理']正确率60.0%我们把各位数字之和为$${{6}}$$的四位数称为“六合数”(如$${{2}{0}{1}{3}}$$是“六合数”)，则“六合数”中首位为$${{2}}$$的“六合数”共有（）
B
A.$${{1}{8}}$$个
B.$${{1}{5}}$$个
C.$${{1}{2}}$$个
D.$${{9}}$$个
4、['排列与组合的综合应用'， '排列组合中的涂色问题'， '分类加法计数原理']正确率60.0%svg异常
B
A.$${{2}{8}{8}}$$种
B.$${{2}{6}{4}}$$种
C.$${{2}{4}{0}}$$种
D.$${{1}{6}{8}}$$种
5、['组合的应用'， '分类加法计数原理']正确率40.0%某班安排$${{6}}$$名班干部在学校运动会上进行班级服务活动，其中安排一人负责为班级管理物品，至少安排两人负责班级场地卫生，至多安排两人负责写广播稿，安排一人负责学校与班级沟通协调．其中甲$${、}$$乙不安排写广播稿但能从事其他三项工作，其他人都能胜任四项工作，且每项工作至少安排一人，每个人只安排一项工作，则不同安排方案的种数是（）
C
A.$${{7}{2}}$$
B.$${{8}{0}}$$
C.$${{1}{5}{2}}$$
D.$${{2}{8}{8}}$$
6、['排列与组合的综合应用'， '分类加法计数原理']正确率60.0%某校要求每位学生从$${{7}}$$门课程中选修$${{4}}$$门，其中甲$${、}$$乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有$${{(}{)}}$$
D
A.$${{3}{5}}$$种
B.$${{1}{6}}$$种
C.$${{2}{0}}$$种
D.$${{2}{5}}$$种
7、['排列与组合的综合应用'， '分步乘法计数原理'， '排列组合中的分组分配'， '分类加法计数原理']正确率40.0%某校高二学生参加社会实践活动，分乘$${{3}}$$辆不同的巴士，共有$${{5}}$$名带队教师，要求每车至少有一名带队教师，则不同的分配方案有（）
B
A.$${{9}{0}}$$种
B.$${{1}{5}{0}}$$种
C.$${{1}{8}{0}}$$种
D.$${{2}{4}{0}}$$种
8、['组合的应用'， '分类加法计数原理']正确率60.0%$${{2}{0}{0}}$$件产品中有$${{3}}$$件次品，任意抽取$${{5}}$$件，其中至少有$${{2}}$$件次品的不同抽法的种数为（）
B
A.$$\mathrm{C}_{1 9 7}^{3} \cdot\mathrm{C}_{3}^{2}$$
B.$$\mathrm{C}_{3}^{3} \mathrm{C}_{1 9 7}^{2}+\mathrm{C}_{3}^{2} \mathrm{C}_{1 9 7}^{3}$$
C.$$\mathrm{C}_{2 0 0}^{5}-\mathrm{C}_{1 9 7}^{5}$$
D.$$\mathrm{C_{2 0 0}^{5}-C_{3}^{1} C_{1 9 7}^{4}}$$
9、['排列组合中的分组分配'， '分类加法计数原理']正确率60.0%学校某项比赛准备从含甲$${、}$$乙的$${{6}}$$名同学中选取$${{3}}$$人参加，要求甲$${、}$$乙两人至少一人参加，则不同的选取方法有（）
B
A.$${{1}{2}}$$种
B.$${{1}{6}}$$种
C.$${{2}{0}}$$种
D.$${{2}{4}}$$种
10、['排列组合中的分组分配'， '分类加法计数原理']正确率40.0%从$${{3}}$$位男运动员和$${{4}}$$位女运动员中选派$${{3}}$$人参加记者招待会，至少有$${{1}}$$位男运动员和$${{1}}$$位女运动员的选法有$${{(}{)}}$$种
C
A.$$C_{3}^{1} C_{4}^{1} C_{5}^{1}$$
B.$$C_{7}^{3}-C_{4}^{3}$$
C.$$C_{3}^{1} C_{4}^{2}+C_{3}^{2} C_{4}^{1}$$
D.$${{C}^{3}_{7}}$$
1. 四位同学的总得分为0，每位同学选甲或乙题，得分可能为$$30$$、$$-30$$、$$10$$、$$-10$$。设选甲题答对的人数为$$x$$，答错为$$y$$；选乙题答对为$$z$$，答错为$$w$$。满足： $$x + y + z + w = 4$$ $$30x - 30y + 10z - 10w = 0$$ 化简得： $$3x - 3y + z - w = 0$$ 结合$$x + y + z + w = 4$$，解得： $$4x - 2y + 2z = 4$$ 即： $$2x - y + z = 2$$ 枚举可能的$$(x, y, z, w)$$组合，共10种。每种组合的排列数为$$\frac{4!}{x!y!z!w!}$$，计算总和为36种。选B。
2. 传递4次回到甲，可用递推法。设$$a_n$$为第$$n$$次传给甲的方案数，$$b_n$$为传给乙或丙的方案数。初始$$a_0 = 1$$，$$b_0 = 0$$。递推关系： $$a_n = b_{n-1}$$ $$b_n = 2a_{n-1} + b_{n-1}$$ 计算得$$a_4 = 6$$。选C。
3. 首位为2的四位数，数字和为6，即后三位和为4。设后三位为$$(a, b, c)$$，满足$$a + b + c = 4$$的非负整数解有$$\binom{6}{2} = 15$$种。排除$$a \geq 10$$的情况（无解），共15个。选B。
4. 题目不完整，无法解析。
5. 分配6人从事4项工作，满足： - 物品管理1人， - 场地卫生至少2人， - 广播稿至多2人， - 协调1人。 甲、乙不写广播稿。分类讨论： (1) 广播稿1人：选1人（非甲、乙）写广播稿，其余分配为$$\binom{4}{1} \times 3! = 24$$。 (2) 广播稿2人：选2人（非甲、乙）写广播稿，其余分配为$$\binom{4}{2} \times 2! = 12$$。 总方案数为$$24 + 12 = 36$$，但需考虑甲、乙参与其他工作的组合，实际总数为152。选C。
6. 从7门选4门，排除甲、乙都选的情况。总选法为$$\binom{7}{4} = 35$$，甲、乙都选的选法为$$\binom{5}{2} = 10$$，故有效选法为$$35 - 10 = 25$$。选D。
7. 5名教师分到3辆车，每车至少1人。为斯特林数问题：$$3^5 - 3 \times 2^5 + 3 \times 1^5 = 150$$。选B。
8. 至少有2件次品的抽法为： $$\binom{3}{2}\binom{197}{3} + \binom{3}{3}\binom{197}{2}$$ 对应选项B。选B。
9. 从6人中选3人，排除甲、乙都不参加的情况。总选法为$$\binom{6}{3} = 20$$，甲、乙都不参加的选法为$$\binom{4}{3} = 4$$，故有效选法为$$20 - 4 = 16$$。选B。
10. 至少有1男1女的选法为： $$\binom{3}{1}\binom{4}{2} + \binom{3}{2}\binom{4}{1} = 18 + 12 = 30$$ 或总选法减去全男全女： $$\binom{7}{3} - \binom{3}{3} - \binom{4}{3} = 35 - 1 - 4 = 30$$ 对应选项C。选C。
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