.jpg)
正确率60.0%若直线$$x+a y-1=0$$与$$2 x-4 y+3=0$$垂直，则二项式$$( a x^{2}-\frac{1} {x} )^{5}$$的展开式中$${{x}}$$的系数为（）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$$- \frac{5} {2}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{5} {2}$$
2、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数和与各项的系数和']正确率60.0%在$$\left( \sqrt{x}+\frac{3} {x} \right)^{n}$$的展开式中，二项式系数之和为$${{6}{4}{，}}$$则展开式中的常数项为（）
A
A.$${{1}{3}{5}}$$
B.$${{1}{0}{5}}$$
C.$${{3}{0}}$$
D.$${{1}{5}}$$
3、['展开式中的特定项或特定项的系数']正确率60.0%若 $$\left( x-\frac{a} {x} \right)^{8}$$ 的展开式中$${{x}^{6}}$$的系数是$${{−}{{1}{6}}{，}}$$则实数$${{a}}$$的值是（）
D
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
4、['求展开式中系数最大的项的方法'， '展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数的性质'， '二项式定理的应用']正确率40.0%若$$( 2 x+3 y )^{n}$$的展开式中只有第$${{5}}$$项的二项式系数最大，则$$\left( x^{2}+\frac{1} {x^{2}}-4 \right)^{n-4}$$的展开式中$${{x}^{2}}$$的系数为（）
A
A.$${{−}{{3}{0}{4}}}$$
B.$${{3}{0}{4}}$$
C.$${{−}{{2}{0}{8}}}$$
D.$${{2}{0}{8}}$$
5、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式定理的应用']正确率60.0%$$( 2 x^{2}-x-1 )^{5}$$的展开式中$${{x}^{2}}$$的系数为（）
D
A.$${{4}{0}{0}}$$
B.$${{1}{2}{0}}$$
C.$${{8}{0}}$$
D.$${{0}}$$
6、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']正确率40.0%$$( \ x+2 y ) \quad( \ 2 x-y )^{5}$$的展开式中$${{x}^{3}{{y}^{3}}}$$的系数为（）
C
A.$${{4}{0}}$$
B.$${{8}{0}}$$
C.$${{1}{2}{0}}$$
D.$${{1}{6}{0}}$$
7、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']正确率60.0%$$( x^{2} \!-\! 1 ) ( \frac{1} {x} \!-\! 2 )^{5}$$的展开式的常数项为（）
D
A.$${{1}{1}{2}}$$
B.$${{4}{8}}$$
C.$${{−}{{1}{1}{2}}}$$
D.$${{−}{{4}{8}}}$$
8、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']正确率60.0%在$$( x^{2}-\frac{1} {x} )^{5}$$的二项展开式中，第二项的系数为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{−}{{1}{0}}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{−}{5}}$$
9、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']正确率60.0%若$$( 1-x )^{-n}=1+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\ldots+a_{n} x^{n} \， \， \， ( \， n \in N^{*} \， )$$，且$$a_{1} \colon a_{3}=1 \colon~ 7$$，则$${{a}_{5}}$$等于（）
D
A.$${{3}{5}}$$
B.$${{−}{{3}{5}}}$$
C.$${{5}{6}}$$
D.$${{−}{{5}{6}}}$$
10、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']正确率60.0%设$$\left( x^{2} \!-\! 3 x \!+\! 2 \right)^{4} \!=\! a_{0} \!+\! a_{1} x \!+\cdots\!+\! a_{8} x^{8}$$，则$${{a}_{7}{=}{（}}$$$${）}$$．
C
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{−}{8}}$$
C.$${{−}{{1}{2}}}$$
D.$${{−}{{1}{6}}}$$
1. 直线垂直条件：斜率乘积为 -1。直线 $$x + a y - 1 = 0$$ 斜率为 $$-\frac{1}{a}$$，直线 $$2x - 4y + 3 = 0$$ 斜率为 $$\frac{1}{2}$$。由垂直得：$$-\frac{1}{a} \times \frac{1}{2} = -1$$，解得 $$a = \frac{1}{2}$$。
二项式 $$(a x^2 - \frac{1}{x})^5$$ 展开通项：$$T_{k+1} = C_5^k (a x^2)^{5-k} (-\frac{1}{x})^k = C_5^k a^{5-k} (-1)^k x^{10-3k}$$。
令指数为 1：$$10 - 3k = 1$$，得 $$k = 3$$。系数为：$$C_5^3 a^{2} (-1)^3 = 10 \times (\frac{1}{2})^2 \times (-1) = -\frac{5}{2}$$。
答案：B
2. 二项式系数和：$$2^n = 64$$，得 $$n = 6$$。
展开式通项：$$T_{k+1} = C_6^k (\sqrt{x})^{6-k} (\frac{3}{x})^k = C_6^k 3^k x^{\frac{6-k}{2} - k} = C_6^k 3^k x^{3 - \frac{3k}{2}}$$。
令指数为 0：$$3 - \frac{3k}{2} = 0$$，得 $$k = 2$$。常数项为：$$C_6^2 \times 3^2 = 15 \times 9 = 135$$。
答案：A
3. 展开通项：$$T_{k+1} = C_8^k x^{8-k} (-\frac{a}{x})^k = C_8^k (-a)^k x^{8-2k}$$。
令指数为 6：$$8 - 2k = 6$$，得 $$k = 1$$。系数为：$$C_8^1 (-a)^1 = -8a = -16$$，解得 $$a = 2$$。
答案：D
4. 第5项二项式系数最大，说明 $$n = 8$$（对称性，中间项最大）。
则需展开 $$(x^2 + \frac{1}{x^2} - 4)^{4}$$。令 $$t = x^2 + \frac{1}{x^2}$$，则原式 $$= (t - 4)^4$$。
展开 $$(t - 4)^4$$ 通项：$$T_{m+1} = C_4^m t^{4-m} (-4)^m$$。
其中 $$t = x^2 + x^{-2}$$，展开 $$t^{4-m}$$ 通项：$$C_{4-m}^r (x^2)^{4-m-r} (x^{-2})^r = C_{4-m}^r x^{8-2m-4r}$$。
令指数为 2：$$8 - 2m - 4r = 2$$，即 $$4 - m - 2r = 1$$，得 $$m + 2r = 3$$。
可能组合：$$(m=1, r=1)$$，$$(m=3, r=0)$$。
系数求和：$$C_4^1 (-4)^1 \times C_3^1 + C_4^3 (-4)^3 \times C_1^0 = 4 \times (-4) \times 3 + 4 \times (-64) \times 1 = -48 - 256 = -304$$。
答案：A
5. 原式 $$= (2x^2 - x - 1)^5$$。考虑因式分解：$$(2x^2 - x - 1) = (2x + 1)(x - 1)$$，所以原式 $$= (2x + 1)^5 (x - 1)^5$$。
展开后 $$x^2$$ 项系数由两部分乘积指数和为2的组合构成。
设 $$(2x + 1)^5$$ 展开 $$x^i$$ 项系数为 $$A_i$$，$$(x - 1)^5$$ 展开 $$x^j$$ 项系数为 $$B_j$$，则需 $$i + j = 2$$。
计算：$$A_0 = 1$$，$$B_2 = C_5^2 (-1)^3 = -10$$；$$A_1 = C_5^1 \times 2 = 10$$，$$B_1 = C_5^1 (-1)^4 = 5$$；$$A_2 = C_5^2 \times 2^2 = 40$$，$$B_0 = 1$$。
系数和：$$1 \times (-10) + 10 \times 5 + 40 \times 1 = -10 + 50 + 40 = 80$$。
答案：C
6. 表达式为 $$(x + 2y)(2x - y)^5$$。先展开 $$(2x - y)^5$$ 通项：$$T_{k+1} = C_5^k (2x)^{5-k} (-y)^k = C_5^k 2^{5-k} (-1)^k x^{5-k} y^k$$。
整体展开为：$$x \times T_{k+1} + 2y \times T_{k+1}$$，即 $$C_5^k 2^{5-k} (-1)^k [x^{6-k} y^k + 2 x^{5-k} y^{k+1}]$$。
求 $$x^3 y^3$$ 项，有两种情况：
第一项：$$6 - k = 3$$，$$k = 3$$，系数：$$C_5^3 \times 2^{2} \times (-1)^3 = 10 \times 4 \times (-1) = -40$$。
第二项：$$5 - k = 3$$，$$k = 2$$，且 $$k+1=3$$，系数：$$C_5^2 \times 2^{3} \times (-1)^2 \times 2 = 10 \times 8 \times 1 \times 2 = 160$$。
总系数：$$-40 + 160 = 120$$。
答案：C
7. 表达式为 $$(x^2 - 1)(\frac{1}{x} - 2)^5$$。展开 $$(\frac{1}{x} - 2)^5$$ 通项：$$T_{k+1} = C_5^k (\frac{1}{x})^{5-k} (-2)^k = C_5^k (-2)^k x^{k-5}$$。
整体展开为：$$x^2 \times T_{k+1} - 1 \times T_{k+1} = C_5^k (-2)^k [x^{k-3} - x^{k-5}]$$。
常数项对应指数为0：
第一项：$$k - 3 = 0$$，$$k = 3$$，系数：$$C_5^3 (-2)^3 = 10 \times (-8) = -80$$。
第二项：$$k - 5 = 0$$，$$k = 5$$，系数：$$C_5^5 (-2)^5 = 1 \times (-32) = -32$$。
总常数项：$$-80 - 32 = -112$$。
答案：C
8. 二项式 $$(x^2 - \frac{1}{x})^5$$ 展开第二项（k=1）：$$T_2 = C_5^1 (x^2)^4 (-\frac{1}{x})^1 = 5 \times x^8 \times (-\frac{1}{x}) = -5 x^7$$。
系数为 -5。
答案：D
9. 已知 $$(1 - x)^{-n} = 1 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots$$，且 $$a_1 : a_3 = 1 : 7$$。
展开式系数：$$a_k = C_{n+k-1}^k$$（负二项式系数）。
所以 $$a_1 = C_n^1 = n$$，$$a_3 = C_{n+2}^3 = \frac{(n+2)(n+1)n}{6}$$。
由比例：$$\frac{n}{\frac{(n+2)(n+1)n}{6}} = \frac{1}{7}$$，化简得：$$\frac{6}{(n+2)(n+1)} = \frac{1}{7}$$，即 $$(n+2)(n+1) = 42$$。
解得 $$n = 5$$（取正整数）。
则 $$a_5 = C_{5+4}^5 = C_9^5 = 126$$？但选项无此值，检查：$$a_5 = C_{n+4}^5 = C_9^5 = 126$$，但选项为35, -35, 56, -56，可能符号？原式 $$(1-x)^{-n}$$，x系数为正，但选项有负，疑为 $$(1+x)^{-n}$$？但题给定 $$(1-x)^{-n}$$，系数应为正。
重新审题：$$a_1 : a_3 = 1 : 7$$，代入 $$a_1 = n$$, $$a_3 = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$$，比例 $$\frac{n}{\frac{n(n+1)(n+2)}{6}} = \frac{6}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{7}$$，得 $$(n+1)(n+2)=42$$，$$n^2+3n-40=0$$，$$n=5$$（舍负）。
$$a_5 = C_{5+4}^5 = C_9^5 = 126$$，但选项无，可能误读？选项有35, -35,56,-56，或为 $$a_5$$ 是 $$x^5$$ 系数？但计算正确。
注意：原式 $$(1-x)^{-n}$$ 展开系数全正，但选项有负，可能题是 $$(1-x)^n$$？但给定 $$-n$$。
假设为 $$(1-x)^n$$，则 $$a_k = (-1)^k C_n^k$$，$$a_1 = -n$$, $$a_3 = -C_n^3$$，比例 $$\frac{-n}{-C_n^3} = \frac{n}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}} = \frac{6}{(n-1)(n-2)} = \frac{1}{7}$$，得 $$(n-1)(n-2)=42$$，$$n^2-3n-40=0$$，$$n=8$$（舍负）。
则 $$a_5 = (-1)^5 C_8^5 = -56$$。
答案：D
10. 表达式 $$(x^2 - 3x + 2)^4 = a_0 + a_1 x + \cdots + a_8 x^8$$，求 $$a_7$$。
因式分解：$$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$$，所以原式 $$= (x-1)^4 (x-2)^4$$。
展开后 $$x^7$$ 项系数由两部分乘积指数和为7的组合。
设 $$(x-1)^4$$ 展开 $$x^i$$ 项系数为 $$A_i = C_4^i (-1)^{4-i}$$，$$(x-2)^4$$ 展开 $$x^j$$ 项系数为 $$B_j = C_4^j (-2)^{4-j}$$，需 $$i + j = 7$$。
可能组合：$$(i=3, j=4)$$, $$(i=4, j=3)$$。
计算：$$A_3 = C_4^3 (-1)^1 = -4$$，$$B_4 = C_4^4 (-2)^0 = 1$$；$$A_4 = C_4^4 (-1)^0 = 1$$，$$B_3 = C_4^3 (-2)^1 = 4 \times (-2) = -8$$。
系数和：$$(-4) \times 1 + 1 \times (-8) = -4 - 8 = -12$$。
答案：C