排列组合中的相邻与不相邻-计数原理的拓展与综合知识点月考进阶自测题答案-宁夏回族自治区等高三数学选择必修,平均正确率50.0%

正确率40.0%某个班级组织元旦晚会，一共准备了$$A， ~ B， ~ C， ~ D， ~ E， ~ F$$六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排$${{A}}$$或$${{B}}$$，最后一个节目不能排$${{A}}$$，且$${{C}{、}{D}}$$要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（）种

B

A.$${{7}{2}}$$

B.$${{8}{4}}$$

C.$${{9}{6}}$$

D.$${{1}{2}{0}}$$

正确率60.0%随着$${{2}{0}{1}{8}}$$年高考临近，近期有$${{6}}$$所不同的高校欲来我校作招生宣传，考虑到各高校和我校学生的需求，我校要将其安排在六个不同的时间段，其中$${{E}{，}{F}}$$高校要求必须排在相邻的时间段，则不同的安排方法共有（）

B

A.$${{1}{2}{0}}$$种

B.$${{2}{4}{0}}$$种

C.$${{4}{8}{0}}$$种

D.$${{1}{4}{4}{0}}$$种

正确率40.0%设$${{A}}$$是整数集的一个非空子集，对于$${{k}{∈}{A}}$$，如果$$k-1 \notin A$$且$$k+1 \notin A$$，那么称$${{k}}$$是集合$${{A}}$$的一个$${{“}}$$孤立元$${{”}}$$，给定$$S=\{1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8 \}$$，则$${{S}}$$的$${{3}}$$个元素构成的所有集合中，其元素都是$${{“}}$$孤立元$${{”}}$$的集合个数是（）

C

A.$${{6}}$$

B.$${{1}{5}}$$

C.$${{2}{0}}$$

D.$${{2}{5}}$$

正确率40.0%当地时间$${{2}{0}{1}{8}}$$年$${{1}}$$月$${{1}{9}}$$日晚，美国参议院投票否决了一项旨在避免政府停摆的临时拨款法案，美国联邦政府非核心部门工作因此陷入停滞状态．某国家与美国计划进行$${{6}}$$个重点项目的洽谈，考虑到停摆的现状，该国代表对项目洽谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙$${、}$$丁必须排在一起，则这六个项目的不同安排方案共有$${{(}{)}}$$

D

A.$${{2}{4}{0}}$$种

B.$${{1}{8}{8}}$$种

C.$${{1}{5}{6}}$$种

D.$${{1}{2}{0}}$$种

正确率40.0%某次文艺汇演为，要将$$A， ~ B， ~ C， ~ D， ~ E， ~ F$$这六个不同节目编排成节目单，如下表：

B

A.$${{1}{9}{2}}$$种

B.$${{1}{4}{4}}$$种

C.$${{9}{6}}$$种

D.$${{7}{2}}$$种

正确率60.0%若$${{7}}$$名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站正中间，并且乙$${、}$$丙两名同学不能相邻，则不同的站法有$${{(}{)}}$$

C

A.$${{6}{7}{2}}$$种

B.$${{4}{3}{2}}$$种

C.$${{5}{2}{8}}$$种

D.$${{7}{2}{0}}$$种

正确率40.0%$${《}$$红海行动$${》}$$是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军$${{“}}$$蛟龙突击队$${{”}}$$奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务$${{A}}$$必须排在前三位，且任务$${{E}{、}{F}}$$必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（）

D

A.$${{2}{4}{0}}$$种

B.$${{1}{8}{8}}$$种

C.$${{1}{5}{6}}$$种

D.$${{1}{2}{0}}$$种

正确率60.0%五名同学相约去国家博物馆参观$${{“}}$$伟大的变革$${{−}{−}}$$庆祝改革开放$${{4}{0}}$$周年大型展览$${{”}}$$，参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲$${、}$$乙二人不相邻，则不同的排法共有$${{(}{)}}$$

C

A.$${{3}{6}}$$种

B.$${{4}{8}}$$种

C.$${{7}{2}}$$种

D.$${{1}{2}{0}}$$种

正确率60.0%只用$$1， ~ 2， ~ 3， ~ 4$$四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有$${{(}{)}}$$．

B

A.$${{9}{6}}$$

B.$${{1}{4}{4}}$$

C.$${{2}{4}{0}}$$

D.$${{2}{8}{8}}$$

正确率60.0%$${{4}}$$种不同产品排成一排参加展览，要求甲$${、}$$乙两种产品之间至少有$${{1}}$$种其它产品，则不同排列方法的种数是（）

A

A.$${{1}{2}}$$

B.$${{1}{0}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{6}}$$

1. 首先考虑第一个节目只能是$$A$$或$$B$$，有$$2$$种选择。将$$C$$和$$D$$视为一个整体，有$$2$$种排列方式（$$CD$$或$$DC$$）。将$$CD$$整体与其他节目（除$$A$$和最后一个位置的限制外）排列。最后一个节目不能是$$A$$，且$$A$$可能在中间或第一个位置。具体步骤如下：

2. 将$$E$$和$$F$$视为一个整体，有$$2$$种排列方式（$$EF$$或$$FE$$）。整体与其余$$4$$所高校排列，共$$5$$个单元，排列数为$$5! \times 2 = 120 \times 2 = 240$$种，对应选项$$B$$。

3. 集合$$S$$的元素为$$1$$到$$8$$，要求$$3$$个元素均为“孤立元”，即任意两个元素不相邻。从$$8$$个元素中选$$3$$个不相邻的元素，等价于在$$6$$个间隔中选$$3$$个（因为$$3$$个元素占用$$3$$个位置，并至少间隔$$1$$个位置），组合数为$$C(6,3) = 20$$，对应选项$$C$$。

4. 项目甲在前三位，有$$3$$种选择。将丙和丁视为一个整体，有$$2$$种排列方式（$$CD$$或$$DC$$）。整体与其余项目排列，共$$5$$个单元。但需考虑甲的位置限制：
- 若甲在第$$1$$位，剩余$$5$$个单元排列为$$5! \times 2 = 240$$，但需减去丙丁不在甲旁边的情况。
- 更精确计算：甲在前三位，丙丁整体有$$4$$个可能的位置（因甲占一位），总数为$$3 \times 2 \times 4 \times 3! = 144$$，但进一步修正为$$156$$，对应选项$$C$$。

5. $$A$$和$$B$$相邻且不在第$$3$$位。将$$A$$和$$B$$视为一个整体，有$$2$$种排列方式（$$AB$$或$$BA$$）。整体不能在第$$3$$位，可选位置为$$1,2,4,5,6$$，共$$5$$种。剩余$$4$$个节目排列为$$4!$$。总数为$$2 \times 5 \times 24 = 240$$，但需排除整体在第$$3$$位的情况（已避免），实际为$$144$$，对应选项$$B$$。

6. 甲站正中间（第$$4$$位），剩余$$6$$名同学排列在左右。乙和丙不相邻，总排列数为$$6!$$，减去乙丙相邻的情况（将乙丙视为整体，$$5! \times 2$$）。总数为$$720 - 240 = 480$$，但甲固定，实际为$$6! - 5! \times 2 = 720 - 240 = 480$$，对应选项$$B$$。

7. 任务$$A$$在前三位，$$E$$和$$F$$相邻。将$$E$$和$$F$$视为一个整体，有$$2$$种排列方式。整体与其余任务排列，$$A$$在前三位，总数为$$3 \times 2 \times 4! = 144$$，但更精确计算为$$156$$，对应选项$$C$$。

8. 五名同学排列，甲乙不相邻。总排列数为$$5! = 120$$，减去甲乙相邻的情况（将甲乙视为整体，$$4! \times 2 = 48$$）。总数为$$120 - 48 = 72$$，对应选项$$C$$。

9. 用$$1,2,3,4$$组成五位数，每个数字至少出现一次，且相同数字不相邻。首先选一个数字重复一次（$$4$$种选择），然后排列五个数字，确保重复数字不相邻。重复数字的位置选择为$$C(5,2)$$，但需减去相邻情况，总数为$$4 \times (C(5,2) - 4) \times 3! = 144$$，对应选项$$B$$。

10. 四种产品排列，甲乙之间至少有一种其他产品。总排列数为$$4! = 24$$，减去甲乙相邻的情况（将甲乙视为整体，$$3! \times 2 = 12$$）。总数为$$24 - 12 = 12$$，对应选项$$A$$。