排列组合中的涂色问题-计数原理的拓展与综合知识点考前基础单选题自测题答案-云南省等高三数学选择必修,平均正确率90.0%

四棱锥$$P-ABCD$$有5个面：底面$$ABCD$$和四个侧面$$PAB$$、$$PBC$$、$$PCD$$、$$PDA$$。相邻的面不能同色，使用4种颜色涂色。 步骤如下： 1. **底面$$ABCD$$**：有4种颜色可选。 2. **侧面$$PAB$$**：与$$ABCD$$相邻，有3种颜色可选（不同于$$ABCD$$的颜色）。 3. **侧面$$PBC$$**：与$$ABCD$$和$$PAB$$相邻，有2种颜色可选（不同于$$ABCD$$和$$PAB$$的颜色）。 4. **侧面$$PCD$$**：与$$ABCD$$和$$PBC$$相邻，有2种颜色可选（不同于$$ABCD$$和$$PBC$$的颜色）。 5. **侧面$$PDA$$**：与$$ABCD$$、$$PAB$$和$$PCD$$相邻，需要分情况讨论： - 如果$$PAB$$和$$PCD$$同色，则$$PDA$$有2种颜色可选（不同于$$ABCD$$和$$PAB$$的颜色）。 - 如果$$PAB$$和$$PCD$$不同色，则$$PDA$$有1种颜色可选（不同于$$ABCD$$、$$PAB$$和$$PCD$$的颜色）。 计算总涂法数： - $$PAB$$和$$PCD$$同色的情况： - $$PAB$$有3种颜色可选（不同于$$ABCD$$）。 - $$PBC$$有2种颜色可选。 - $$PCD$$必须与$$PAB$$同色，只有1种选择。 - $$PDA$$有2种颜色可选。 - 此类情况共有：$$4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 = 48$$种。 - $$PAB$$和$$PCD$$不同色的情况： - $$PAB$$有3种颜色可选。 - $$PBC$$有2种颜色可选。 - $$PCD$$有1种颜色可选（不同于$$ABCD$$、$$PAB$$和$$PBC$$）。 - $$PDA$$有1种颜色可选。 - 此类情况共有：$$4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 1 = 24$$种。 总涂法数为：$$48 + 24 = 72$$种。因此，正确答案是$$B$$。

将边长为3的正方形$$ABCD$$分成3×3表格，要求每行每列恰好有2个黑格。步骤如下： 1. **第一行的染色**：选择2个格子染黑，有$$C(3,2) = 3$$种方法。 2. **第二行的染色**：同样选择2个格子染黑，但必须满足与第一列的染色不冲突。具体分情况： - 如果第一行和第二行的黑格在同一列，则第三行必须与前两行互补，确保每列有2个黑格。此时只有1种方法。 - 如果第一行和第二行的黑格不在同一列，则第三行的染色唯一确定。此时有2种方法。 3. **计算总数**： - 第一行有3种选择。 - 对于每种第一行的选择，第二行有2种不冲突的选择（不与第一行完全同列或完全不同列）。 - 第三行由前两行唯一确定。 - 因此总数为：$$3 \times 2 \times 1 = 6$$种。 验证具体排列： - 例如： - 第一行染第1、2列，第二行染第1、3列，第三行染第2、3列。 - 第一行染第1、2列，第二行染第2、3列，第三行染第1、3列。 - 其他情况类似，共6种。 因此，正确答案是$$B$$。