二项式系数和与各项的系数和-计数原理的拓展与综合知识点月考进阶单选题自测题答案-湖北省等高三数学选择必修,平均正确率48.0%

1、['二项式系数和与各项的系数和']

正确率60.0%在二项式$$( b x^{-\frac{1} {2}}+a x )^{8}$$的展开式中，所有项的系数之和记为$${{S}{，}}$$第$${{r}}$$项的系数记为$${{P}_{r}{，}}$$若$${{S}{=}{{3}^{8}}{{P}_{9}}{，}}$$则$$\frac{a} {b}$$的值为（）

A.$$- \frac{1} {4}$$

B.$${{2}}$$或$${{−}{4}}$$

C.$${{2}}$$

D.$$\frac{1} {2}$$或$$- \frac{1} {4}$$

2、['二项式系数和与各项的系数和'， '二项式系数的性质']

正确率60.0%已知$$( x^{3}+\frac{2} {x} )^{n}$$的展开式的各项系数和为$${{2}{4}{3}}$$，则展开式中$${{x}^{7}}$$的系数为（）

A.$${{5}}$$

B.$${{4}{0}}$$

C.$${{2}{0}}$$

D.$${{1}{0}}$$

3、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数和与各项的系数和']

正确率40.0%在$$\left( 2 x-\frac{1} {x} \right)^{n}$$的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为$${{1}}$$∶$${{6}{4}{，}}$$则展开式中的常数项为（）

A.$${{2}{4}{0}}$$

B.$${{−}{{2}{4}{0}}}$$

C.$${{1}{6}{0}}$$

D.$${{−}{{1}{6}{0}}}$$

4、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数和与各项的系数和']

正确率60.0%已知$${{(}{x}{+}{2}{)}{{(}{2}{x}{−}{1}{)}^{5}}{=}{{a}_{0}}{+}{{a}_{1}}{x}{+}{{a}_{2}}{{x}^{2}}{+}{{a}_{3}}{{x}^{3}}{+}{{a}_{4}}{{x}^{4}}{+}{{a}_{5}}{{x}^{5}}{+}{{a}_{6}}{{x}^{6}}{，}}$$则$${{a}_{0}{+}{{a}_{2}}{+}{{a}_{4}}{=}{（}}$$）

A.$${{1}{2}{3}}$$

B.$${{9}{1}}$$

C.$${{−}{{1}{2}{0}}}$$

D.$${{−}{{1}{5}{2}}}$$

5、['二项分布的期望和方差'， '二项式系数和与各项的系数和'， '组合的应用'， '利用二项式定理解决整除问题或求余问题']

正确率40.0%下列说法中正确的个数是$${{(}{)}}$$
$${{(}{1}{)}}$$已知$${{X}{∼}{B}{(}{n}{，}{p}{)}{，}{E}{(}{X}{)}{=}{8}{，}{D}{(}{X}{)}{=}{{1}{.}{6}}}$$，则$${{n}{=}{{1}{0}}{，}{p}{=}{{0}{.}{8}}}$$
$${{(}{2}{)}}$$将$${{6}}$$个相同的小球放入$${{4}}$$个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有$${{1}{0}}$$种放法．
$$( 3 ) 5 0^{2 0 1 9}+1$$被$${{7}}$$除后的余数为$${{5}}$$．
$${{(}{4}{)}}$$若$${{(}{x}{−}{2}{{)}^{5}}{+}{(}{2}{x}{+}{1}{{)}^{4}}{=}{{a}_{0}}{+}{{a}_{1}}{x}{+}{{a}_{2}}{{x}^{2}}{+}{{a}_{3}}{{x}^{3}}{+}{{a}_{4}}{{x}^{4}}{+}{{a}_{5}}{{x}^{5}}}$$，则$${{a}_{0}{+}{{a}_{2}}{+}{{a}_{4}}{=}{−}{{8}{1}}}$$
$${{(}{5}{)}}$$抛掷两个骰子，取其中一个的点数为点$${{P}}$$的横坐标，另一个的点数为点$${{P}}$$的纵坐标，连续抛掷这两个骰子三次，点$${{P}}$$在圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{{1}{6}}}$$内的次数$${{ξ}}$$的均值为$$\frac{7} {1 2}$$

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

6、['二项式系数和与各项的系数和'， '二项式定理的应用'， '函数单调性的应用']

正确率60.0%若二项式$${（{3}{−}{x}{）^{n}}{（}{n}{∈}{{N}^{∗}}{）}}$$中所有项的系数之和为$${{a}}$$，所有项的系数的绝对值之和为$${{b}}$$，则$$\frac{b} {a}+\frac{a} {b}$$的最小值为（）

A.$${{2}}$$

B.$$\frac{5} {2}$$

C.$$\frac{1 3} {6}$$

D.$$\frac{9} {2}$$

7、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数和与各项的系数和'， '二项展开式的通项']

正确率40.0%若$$( 1+\frac{1} {2} x )^{6}=a_{0}+a_{1} ( x-1 )+a_{2} ( x-1 )^{2}+\ldots+a_{6} ( x-1 )^{6}， \ a_{i} \in R， \ i=0， \ 1. \ 2. \ 3， \ \ldots.$$，则$${{(}{{a}_{0}}{+}{{a}_{1}}{+}{…}{+}{{a}_{6}}{)}{{a}_{6}}}$$的值为

A.$${{−}{2}}$$

B.$${{−}{1}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{2}}$$

8、['二项式系数和与各项的系数和'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%若二项式$$( a^{2} x+\frac{b^{2}} {\sqrt{x}} )^{'}$$的展开式中，所有项的系数之和为$${{1}}$$，则$${{a}{+}{b}}$$的最大值为

A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

B.$${{1}}$$

C.$${\sqrt {2}}$$

D.$${{2}}$$

9、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数和与各项的系数和'， '二项展开式的通项']

正确率40.0%在$$( \root3 \overline{{x}}-\frac{1} {x} )^{n}$$的展开式中，所有项的二项式系数之和为$${{4}{0}{9}{6}}$$，则其常数项为（）

A.$${{−}{{1}{1}{0}}}$$

B.$${{−}{{2}{2}{0}}}$$

C.$${{2}{2}{0}}$$

D.$${{1}{1}{0}}$$

10、['二项式系数和与各项的系数和']

正确率40.0%若$$\left( 1 \!-\! 3 x \right)^{2 \; 0 1 6}$$$$= a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{2} \; {_{0 1 6} x^{2 \; 0 1 6}}$$$${{(}{x}{∈}{R}{)}}$$，则$$\frac{a_{1}} 3+\frac{a_{2}} {3^{2}}+\cdots+\frac{a_{2} \; 0 1 6} {3^{2 \; 0 1 6}}$$的值为（）

A.$${{-}{1}}$$

B.$${{-}{2}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{0}}$$

在二项式 $$( b x^{-\frac{1}{2}} + a x )^{8}$$ 中，所有项的系数之和 $$S$$ 为令 $$x = 1$$ 时的值，即 $$S = (b + a)^{8}$$。第 $$r$$ 项系数 $$P_r$$ 由二项式定理给出为 $$P_r = C_{8}^{r-1} b^{9-r} a^{r-1}$$。题目给出 $$S = 3^{8} P_9$$，即 $$(b + a)^{8} = 3^{8} C_{8}^{8} b^{0} a^{8}$$，化简得 $$(b + a)^{8} = 3^{8} a^{8}$$，即 $$\frac{b}{a} + 1 = \pm 3$$。解得 $$\frac{b}{a} = 2$$ 或 $$\frac{b}{a} = -4$$，因此 $$\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$$ 或 $$-\frac{1}{4}$$。选项 D 正确。

展开式各项系数和为 $$243$$，即令 $$x = 1$$ 得 $$(1 + 2)^{n} = 243$$，解得 $$n = 5$$。展开式中 $$x^{7}$$ 项为 $$C_{5}^{k} (x^{3})^{k} \left(\frac{2}{x}\right)^{5-k} = C_{5}^{k} 2^{5-k} x^{4k-5}$$，令 $$4k - 5 = 7$$，得 $$k = 3$$。系数为 $$C_{5}^{3} 2^{2} = 40$$。选项 B 正确。

各项系数和为令 $$x = 1$$ 得 $$(2 - 1)^{n} = 1$$，二项式系数和为 $$2^{n}$$。题目给出 $$\frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{64}$$，解得 $$n = 6$$。常数项为 $$C_{6}^{k} (2x)^{6-k} \left(-\frac{1}{x}\right)^{k} = C_{6}^{k} 2^{6-k} (-1)^{k} x^{6-2k}$$，令 $$6 - 2k = 0$$，得 $$k = 3$$。常数项为 $$C_{6}^{3} 2^{3} (-1)^{3} = -160$$。选项 D 正确。

令 $$x = 1$$ 得 $$3 \times 1^{5} = a_{0} + a_{1} + \cdots + a_{6}$$，令 $$x = -1$$ 得 $$1 \times (-3)^{5} = a_{0} - a_{1} + \cdots + a_{6}$$。两式相加得 $$2(a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6}) = 3 - 243 = -240$$。又 $$a_{6}$$ 为 $$(2x - 1)^{5}$$ 中 $$x^{5}$$ 系数乘以 $$x$$ 的系数，即 $$2^{5} \times 1 = 32$$。因此 $$a_{0} + a_{2} + a_{4} = -152$$。选项 D 正确。

(1) 正确，由 $$E(X) = np = 8$$ 和 $$D(X) = np(1-p) = 1.6$$ 解得 $$n = 10$$，$$p = 0.8$$。
(2) 正确，为隔板法 $$C_{5}^{3} = 10$$。
(3) 正确，$$50 \equiv 1 \mod 7$$，故 $$50^{2019} + 1 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \mod 7$$，余数为 $$5$$ 错误。
(4) 错误，计算 $$a_{0} + a_{2} + a_{4}$$ 应为 $$-81$$ 正确。
(5) 错误，点 $$P$$ 在圆内的概率为 $$\frac{7}{12}$$，期望为 $$3 \times \frac{7}{12} = \frac{7}{4}$$。综上，正确个数为 2。选项 B 正确。

系数之和 $$a = (3 - 1)^{n} = 2^{n}$$，绝对值之和 $$b = (3 + 1)^{n} = 4^{n}$$。因此 $$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = 2^{n} + 2^{-n}$$，最小值为 $$2$$（当 $$n = 0$$ 时，但 $$n \in N^{*}$$，取 $$n = 1$$ 时为 $$\frac{5}{2}$$）。选项 B 正确。

令 $$x = 2$$ 得 $$a_{0} + a_{1} + \cdots + a_{6} = (1 + 1)^{6} = 64$$。$$a_{6}$$ 为 $$(x-1)^{6}$$ 系数，即 $$\left(\frac{1}{2}\right)^{6} = \frac{1}{64}$$。因此 $$(a_{0} + \cdots + a_{6}) a_{6} = 64 \times \frac{1}{64} = 1$$。选项 C 正确。

令 $$x = 1$$ 得 $$(a^{2} + b^{2})^{n} = 1$$，故 $$a^{2} + b^{2} = 1$$。由不等式 $$a + b \leq \sqrt{2(a^{2} + b^{2})} = \sqrt{2}$$，最大值为 $$\sqrt{2}$$。选项 C 正确。

二项式系数和为 $$2^{n} = 4096$$，解得 $$n = 12$$。常数项为 $$C_{12}^{k} x^{\frac{12 - k}{3}} (-1)^{k} x^{-k}$$，令 $$\frac{12 - k}{3} - k = 0$$，得 $$k = 3$$。常数项为 $$C_{12}^{3} (-1)^{3} = -220$$。选项 B 正确。

10.

令 $$x = \frac{1}{3}$$ 得 $$a_{0} + \frac{a_{1}}{3} + \cdots + \frac{a_{2016}}{3^{2016}} = (1 - 1)^{2016} = 0$$。又 $$a_{0} = 1$$，因此 $$\frac{a_{1}}{3} + \cdots + \frac{a_{2016}}{3^{2016}} = -1$$。选项 A 正确。

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