展开式中的特定项或特定项的系数-计数原理的拓展与综合知识点课后进阶单选题自测题解析-北京市等高三数学选择必修,平均正确率54.0%

1、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数和与各项的系数和']

正确率60.0%若$$x^{9}=a_{0}+a_{1} ( x+1 )+a_{2} ( x+1 )^{2}+a_{3} ( x+1 )^{3}+\ldots+a_{9} ( x+1 )^{9}，$$则（）

A.$${{a}_{0}{=}{1}}$$

B.$${{a}_{2}{=}{{3}{6}}}$$

C.$$a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{9}=-1$$

D.$$a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{9}=-5 1 2$$

2、['简单复合函数的导数'， '展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']

正确率40.0%设$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=~ ( \begin{matrix} {2 x+5} \\ \end{matrix} )^{\textit{6}}$$，在函数$$f^{\prime} \textsubscript{\textit{( x )}}$$中$${{x}^{3}}$$的系数是（）

A.$${{2}{0}{0}{0}}$$

B.$$1 2 0 0 0$$

C.$$2 4 0 0 0$$

D.非以上答案

3、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数和与各项的系数和']

正确率60.0%已知$$( 2 x^{2}+3 x+1 ) ( \frac{a} {x^{2}}-1 )^{5}$$的展开式中各项系数之和为$${{0}}$$，则该展开式的常数项是$${{(}{)}}$$

A.$${{−}{{1}{0}}}$$

B.$${{−}{7}}$$

C.$${{1}{0}}$$

D.$${{9}}$$

4、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式定理的应用'， '二项展开式的通项']

正确率60.0%在$$( \textbf{x}+\frac{1} {x^{2}} ) \setminus( \textbf{x}-2 )^{-5}$$的展开式中，$${{x}}$$的系数为（）

A.$${{−}{{3}{2}}}$$

B.$${{−}{8}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{4}{8}}$$

5、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']

正确率60.0%若$$\left( x^{2}-\frac1 {x^{3}} \right)^{n}$$的展开式中存在常数项，则$${{n}}$$可以为（$${）}$$．

A.$${{8}}$$

B.$${{9}}$$

C.$${{1}{0}}$$

D.$${{1}{1}}$$

6、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']

正确率40.0%$$( x-\frac{1} {x} ) ( 2+x )^{5}$$展开式中$${{x}^{3}}$$的系数为（）

A.$${{7}{0}}$$

B.$${{8}{0}}$$

C.$${{9}{0}}$$

D.$${{6}{0}}$$

7、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']

正确率40.0%$$( x+\frac{1} {x}-2 )^{3}$$展开式中的常数项为$${{(}{)}}$$

A.$${{−}{8}}$$

B.$${{−}{{1}{2}}}$$

C.$${{−}{{2}{0}}}$$

D.$${{2}{0}}$$

8、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']

正确率60.0%若$$( 1+x )^{4}+( 1+x )^{5}+\dots+( 1+x )^{2 \; 0 1 9}$$$$= a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{2} \; {_{0 1 9} x^{2}} \; {^{0 1 9}}$$，则$${{a}_{3}}$$的值为（）

A.$$\mathrm{C}_{2 \ 0 1 9}^{4}$$

B.$$\mathrm{C}_{2 \ 0 1 9}^{3}-1$$

C.$$\mathrm{C}_{2 \ 0 2 0}^{4}$$

D.$$\mathrm{C}_{2 \ 0 2 0}^{4}-1$$

9、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']

正确率60.0%$$( x+\frac{1} {2 x} )^{8}$$的展开式中常数项的项数是$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

10、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']

正确率60.0%在$$( \root3 \overline{{x}}-\frac{1} {x} )^{4}$$的展开式中，常数项等于（）

A.$${{−}{4}}$$

B.$${{−}{2}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{4}}$$

1. 解析：

将$$x$$替换为$$-1$$，得到$$a_0 = (-1)^9 = -1$$，A错误。

对两边求二阶导数并令$$x = -1$$，得$$a_2 = \frac{9 \times 8}{2} = 36$$，B正确。

令$$x = 0$$，得$$0 = a_0 + (a_1 + \dots + a_9)$$，故$$a_1 + \dots + a_9 = 1$$，C错误。

令$$x = -2$$，得$$(-2)^9 = a_0 - a_1 + \dots - a_9$$，即$$-512$$，D正确。

答案：B、D。

2. 解析：

$$f(x) = (2x + 5)^6$$，展开后求导，$$x^3$$项来自$$C(6,4)(2x)^4 \cdot 5^2$$，导数为$$4 \times C(6,4) \times 2^4 \times 5^2 \times x^3$$，计算得$$24000$$。

答案：C。

3. 解析：

令$$x = 1$$，得$$(2 + 3 + 1)(a - 1)^5 = 0$$，故$$a = 1$$。

展开$$(2x^2 + 3x + 1)(\frac{1}{x^2} - 1)^5$$，常数项来自$$2x^2 \times C(5,2)(-1)^2 \frac{1}{x^4} \times x^2$$和$$1 \times C(5,3)(-1)^3 \frac{1}{x^6} \times x^6$$，计算得$$-10$$。

答案：A。

4. 解析：

展开$$(x - 2)^{-5}$$为$$\sum C(-5, k) x^{-5 - k} (-2)^k$$，与$$(x + \frac{1}{x^2})$$相乘后，$$x$$的系数来自$$x \times C(-5, 2)(-2)^2 x^{-6} + \frac{1}{x^2} \times C(-5, 1)(-2)^1 x^{-3}$$，计算得$$-32$$。

答案：A。

5. 解析：

通项为$$C(n, k) x^{2n - 5k}$$，令$$2n - 5k = 0$$，即$$n = \frac{5k}{2}$$，故$$n$$为5的倍数或半整数，选项中只有10符合。

答案：C。

6. 解析：

展开$$(2 + x)^5$$，$$x^3$$的系数来自$$x \times C(5, 2) 2^3 x^2 - \frac{1}{x} \times C(5, 4) 2^1 x^4$$，计算得$$80$$。

答案：B。

7. 解析：

令$$y = x + \frac{1}{x}$$，展开$$(y - 2)^3$$，常数项为$$-8 + 6(y^2 \times \frac{1}{x} \times x)$$，最终为$$-20$$。

答案：C。

8. 解析：

利用组合恒等式，$$a_3 = C(4,3) + \dots + C(2019,3) = C(2020,4) - 1$$。

答案：D。

9. 解析：

通项为$$C(8, k) x^{8 - 2k} \left(\frac{1}{2}\right)^k$$，令$$8 - 2k = 0$$，得$$k = 4$$，即第5项。

答案：D。

10. 解析：

通项为$$C(4, k) x^{\frac{4 - k}{3} - k}$$，令$$\frac{4 - k}{3} - k = 0$$，得$$k = 1$$，常数项为$$-4$$。

答案：A。

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