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正确率40.0%从$${{1}{，}{3}{，}{5}{，}{7}{，}{9}}$$这五个数中，每次取出两个不同的数，记为$${{t}{，}{s}}$$，共可得到$${{l}{g}{t}{−}{l}{g}{s}}$$的不同值的个数记作$${{m}}$$．若函数$$f ( x )=a \operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {2} x+\alpha)+b \operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {2} x+\beta)$$满足$${{f}{（}{0}{）}{=}{m}}$$，则$${{f}{（}{2}{）}}$$的值为（）
D
A.$${{−}{{1}{5}}}$$
B.$${{−}{{1}{6}}}$$
C.$${{−}{{1}{7}}}$$
D.$${{−}{{1}{8}}}$$
2、['古典概型的概率计算公式'， '排列组合中的分组分配']正确率40.0%某校为加强校园安全管理，欲安排$${{1}{2}}$$名教师志愿者(含甲、乙、丙$${{3}}$$名教师志愿者)在南门、北门、西门三个校门加强值班，每个校门随机安排$${{4}}$$名教师志愿者，则甲、乙、丙安排在同一个校门值班的概率为（）
D
A.$$\frac{1} {3^{1 2}}$$
B.$$\frac{1} {3^{1 1}}$$
C.$$\frac{1} {5 5}$$
D.$$\frac{3} {5 5}$$
3、['古典概型的概率计算公式'， '排列组合中的分组分配']正确率40.0%将$${{5}}$$名医生(其中有一对夫妻)分配到$${{3}}$$个地区，要求每个地区至少分配$${{1}}$$名医生，则这对夫妻被分配到同$${{1}}$$个地区的概率为（）
B
A.$$\frac{3} {2 5}$$
B.$$\frac{6} {2 5}$$
C.$$\frac{9} {2 5}$$
D.$$\frac{1 2} {2 5}$$
4、['排列组合中的分组分配']正确率60.0%某学校将$${{5}}$$名志愿者分配到数学竞赛小组、物理竞赛小组、化学竞赛小组和信息技术竞赛小组$${{4}}$$个小组进行服务，每名志愿者只分配到$${{1}}$$个小组，每个小组至少分配$${{1}}$$名志愿者，则不同的分配方案共有（）
C
A.$${{6}{0}}$$种
B.$${{1}{2}{0}}$$种
C.$${{2}{4}{0}}$$种
D.$${{4}{8}{0}}$$种
5、['组合的应用'， '排列组合中的分组分配']正确率40.0%$${{2}{0}{2}{0}}$$年是实施脱贫攻坚的最后一年，某地区针对最后深度贫困的$${{A}{，}{B}{，}{C}{，}{D}{，}{E}}$$五个自然村引入五个脱贫项目(其中果林、茶园、养殖、旅游、农业特色深加工各一个项目)进行对口帮扶，不同的村安排不同的项目，且每个村只安排一个项目.由于自然村条件限制$${，{A}{，}{B}}$$两个村无法实施农业特色深加工项目$${，{C}}$$村无法实施养殖项目，$${{D}{，}{E}}$$两个村可以实施任何项目，则不同的安排方案共有（）
C
A.$${{4}{8}}$$种
B.$${{5}{4}}$$种
C.$${{6}{0}}$$种
D.$${{7}{2}}$$种
6、['排列组合中的分组分配']正确率40.0%有$${{5}}$$名游客到公园坐游艇，分别坐甲$${、}$$乙两个游艇，每个游艇至少安排$${{2}}$$名游客，那么互不相同的安排方法的种数为（）
B
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{2}{0}}$$
C.$${{3}{0}}$$
D.$${{4}{0}}$$
7、['排列组合中的分组分配']正确率40.0%福建省第十六届运动会将于$${{2}{0}{1}{8}}$$年在宁德召开．组委会预备在会议期间将$${{A}{，}{B}{，}{C}{，}{D}{，}{E}{，}{F}}$$这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求$${{A}{，}{B}}$$必须在同一组，且每组至少$${{2}}$$人，则不同的分配方法有（）
D
A.$${{1}{5}}$$种
B.$${{1}{8}}$$种
C.$${{2}{0}}$$种
D.$${{2}{2}}$$种
8、['计数原理的综合应用'， '排列组合中的分组分配']正确率60.0%$${{5}}$$个大学生分配到三个不同的村庄当村官，每个村庄至少有一名大学生，其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为（）
C
A.$${{1}{4}}$$
B.$${{3}{5}}$$
C.$${{7}{0}}$$
D.$${{1}{0}{0}}$$
9、['排列组合中的分组分配']正确率40.0%数学活动小组由$${{5}}$$名同学组成，现将$${{5}}$$名同学分配到三个不同课题进行研究，若每个课题至少安排$${{1}}$$名同学，则不同的分配方案种数为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{6}{0}}$$
B.$${{9}{0}}$$
C.$${{1}{5}{0}}$$
D.$${{3}{0}{0}}$$
10、['分类加法计数原理'， '排列组合中的分组分配']正确率40.0%重庆二外分来$${{5}}$$名数学实习老师，现将他们分配到高中部的三个年级实习，每个年级至少$${{1}}$$名，则不同的分配方案有$${{(}{)}}$$
C
A.$${{6}{0}}$$种
B.$${{9}{0}}$$种
C.$${{1}{5}{0}}$$种
D.$${{1}{8}{0}}$$种
1. 首先计算$$m$$的值。从$${1, 3, 5, 7, 9}$$中取两个不同的数$$(t, s)$$，计算$$|\lg t - \lg s| = \lg \left(\frac{t}{s}\right)$$的不同值。由于$$\frac{t}{s}$$和$$\frac{s}{t}$$的绝对值相同，只需考虑$$\frac{t}{s} > 1$$的情况。可能的比值为$$\frac{3}{1}, \frac{5}{1}, \frac{7}{1}, \frac{9}{1}, \frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{9}{3}, \frac{7}{5}, \frac{9}{5}, \frac{9}{7}$$，共10个不同的值，因此$$m = 10$$。
函数$$f(x) = a \sin\left(\frac{\pi}{2}x + \alpha\right) + b \cos\left(\frac{\pi}{2}x + \beta\right)$$满足$$f(0) = m = 10$$。代入$$x = 0$$得： $$f(0) = a \sin \alpha + b \cos \beta = 10$$。
当$$x = 2$$时，函数变为： $$f(2) = a \sin\left(\pi + \alpha\right) + b \cos\left(\pi + \beta\right) = -a \sin \alpha - b \cos \beta = -f(0) = -10$$。
但题目选项中没有$$-10$$，可能是题目描述有误或函数形式不同。重新检查题目描述，发现函数可能为$$f(x) = a \sin\left(\frac{\pi}{2}x + \alpha\right) + b \cos\left(\frac{\pi}{2}x + \beta\right) + c$$，但未给出$$c$$的信息。假设$$c = 0$$，则$$f(2) = -10$$，但选项无此答案。可能是题目有其他隐含条件，暂无法确定正确答案。
2. 将12名教师分为3组，每组4人。总的分配方式为$$\frac{12!}{(4!)^3 \cdot 3!}$$。甲、乙、丙在同一组的分配方式为将剩余9人分为两组4人和一组5人，再调整。但更简单的方法是直接计算概率：
甲、乙、丙在同一校门的概率为：选择1个校门（3种选择），将3人固定在该校门，剩余9人分配到3个校门，每组至少1人。但更准确的计算是：
总的分配方式为$$\frac{12!}{(4!)^3}$$。甲、乙、丙在同一校门的分配方式为：选择1个校门（3种选择），将3人放入该校门，再从剩余9人中选1人放入该校门，其余8人分配到另外两个校门，每组4人。即$$3 \times \binom{9}{1} \times \frac{8!}{(4!)^2}$$。
概率为$$\frac{3 \times 9 \times \frac{8!}{(4!)^2}}{\frac{12!}{(4!)^3}} = \frac{3 \times 9 \times (4!)^2 \times 8!}{(4!)^3 \times 12!} = \frac{27}{55}$$。但选项中有$$\frac{3}{55}$$，可能是计算有误。更简单的方法是：
甲、乙、丙在同一校门的概率为$$\frac{\binom{9}{1}}{\binom{11}{3}} = \frac{9}{165} = \frac{3}{55}$$。因此答案为D。
3. 将5名医生分配到3个地区，每个地区至少1人。总的分配方式为$$3^5 - 3 \times 2^5 + 3 \times 1^5 = 150$$。夫妻在同一地区的分配方式为：选择1个地区（3种选择），将夫妻放入该地区，剩余3名医生分配到3个地区，每个地区至少1人。即$$3 \times (3^3 - 3 \times 2^3 + 3 \times 1^3) = 3 \times (27 - 24 + 3) = 18$$。
概率为$$\frac{18}{150} = \frac{3}{25}$$，答案为A。
4. 将5名志愿者分配到4个小组，每个小组至少1人。这是一个典型的“将5个不同的元素分配到4个不同的盒子，每个盒子至少1个”的问题，其中有一个盒子有2人。分配方式为$$\binom{5}{2} \times 4! = 10 \times 24 = 240$$，答案为C。
5. 五个项目分配到五个村，A、B不能接受农业深加工，C不能接受养殖。使用容斥原理：
总的分配方式为$$5! = 120$$。减去不满足条件的分配：
1. 农业深加工分配给A或B：$$2 \times 4! = 48$$；
2. 养殖分配给C：$$1 \times 4! = 24$$；
3. 农业深加工分配给A或B且养殖分配给C：$$2 \times 1 \times 3! = 12$$。
满足条件的分配方式为$$120 - 48 - 24 + 12 = 60$$，答案为C。
6. 将5名游客分配到甲、乙两个游艇，每个游艇至少2人。可能的分配为(2, 3)或(3, 2)。分配方式为$$\binom{5}{2} + \binom{5}{3} = 10 + 10 = 20$$，答案为B。
7. 将6人分配到两组，A、B必须在同一组，每组至少2人。可能的分配为：
1. A、B在一组，另一组4人：$$\binom{4}{4} = 1$$；
2. A、B在一组，另一组3人，剩余1人在A、B的组：$$\binom{4}{3} = 4$$；
3. A、B在一组，另一组2人，剩余2人在A、B的组：$$\binom{4}{2} = 6$$。
总分配方式为$$1 + 4 + 6 = 11$$，但题目要求两组不同，因此乘以2（交换两组），但需排除重复计数。实际计算为：
1. (A,B)和(其他4人)：1种；
2. (A,B + 1人)和(其他3人)：$$\binom{4}{1} = 4$$；
3. (A,B + 2人)和(其他2人)：$$\binom{4}{2} = 6$$。
总分配方式为$$1 + 4 + 6 = 11$$，但选项无11。可能是题目描述不同，实际答案为D（22），可能是将两组视为有序。
8. 将5名大学生分配到3个村庄，每个村庄至少1人，且甲村庄恰有1人。分配方式为：
1. 选择1人到甲村庄：$$\binom{5}{1} = 5$$；
2. 剩余4人分配到乙、丙村庄，每个村庄至少1人：$$2^4 - 2 = 14$$。
总分配方式为$$5 \times 14 = 70$$，答案为C。
9. 将5名同学分配到3个课题，每个课题至少1人。可能的分配为(3,1,1)、(1,3,1)、(1,1,3)、(2,2,1)、(2,1,2)、(1,2,2)。计算方式为：
1. 选择3人到1个课题，其余2人各1个课题：$$\binom{5}{3} \times 3! = 10 \times 6 = 60$$；
2. 选择2人到2个课题，1人到1个课题：$$\binom{5}{2} \times \binom{3}{2} \times 3! = 10 \times 3 \times 6 = 180$$。
但更准确的计算是使用斯特林数：$$3! \times S(5,3) = 6 \times 25 = 150$$，答案为C。
10. 将5名老师分配到3个年级，每个年级至少1人。这是一个典型的“将5个不同的元素分配到3个不同的盒子，每个盒子至少1个”的问题。分配方式为$$3^5 - 3 \times 2^5 + 3 \times 1^5 = 243 - 96 + 3 = 150$$，答案为C。