.jpg)
正确率40.0%若$${{(}{4}{x}{−}{7}{{)}^{6}}{=}{{a}_{0}}{+}{{a}_{1}}{x}{+}{{a}_{2}}{{x}^{2}}{+}{{a}_{3}}{{x}^{3}}{+}{{a}_{4}}{{x}^{4}}{+}{{a}_{5}}{{x}^{5}}{+}{{a}_{6}}{{x}^{6}}}$$则$${{a}_{1}{+}{{a}_{3}}{+}{{a}_{5}}{=}}$$（）
D
A.$$\frac{7^{6}-1 1^{6}} {2}$$
B.$$\frac{1 1^{6}-7^{6}} {2}$$
C.$$\frac{1 1^{6}-3^{6}} {2}$$
D.$$\frac{3^{6}-1 1^{6}} {2}$$
2、['展开式中的特定项或特定项的系数']正确率60.0%$${{(}{2}{x}{+}{y}{)}{(}{x}{−}{y}{{)}^{7}}}$$的展开式中$${{x}^{4}{{y}^{4}}}$$的系数是（）
C
A.$${{−}{{3}{5}}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{3}{5}}$$
D.$${{7}{0}}$$
3、['展开式中的特定项或特定项的系数']正确率80.0%二项式$${{(}{1}{+}{x}{{)}^{n}}{(}{n}{∈}{{N}^{∗}}{)}}$$的展开式中$${{x}^{2}}$$的系数为$${{1}{5}{，}}$$则$${{n}{=}}$$（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
4、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式系数和与各项的系数和']正确率60.0%已知$$\left( \frac{x^{2}} {2}-\frac{1} {\sqrt{x}} \right)^{n}$$的展开式的第$${{9}}$$项为常数项，则展开式中的各项系数之和为（）
A
A.$$\frac{1} {2^{1 0}}$$
B.$$- \frac{1} {2^{1 0}}$$
C.$$2^{1 0}$$
D.$$- 2^{1 0}$$
5、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']正确率60.0%在$$( \sqrt{3} x+\sqrt{2} )^{1 0 0}$$的展开式中，系数为有理数的项有（）
B
A.$${{1}{6}}$$项
B.$${{1}{7}}$$项
C.$${{2}{4}}$$项
D.$${{5}{0}}$$项
6、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']正确率40.0%$$\left( x-\frac{1} {\sqrt{x}} \right)^{8}$$的展开式中的常数项为（）
D
A.$${{−}{{5}{6}}}$$
B.$${{−}{{2}{8}}}$$
C.$${{5}{6}}$$
D.$${{2}{8}}$$
8、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式定理的应用']正确率60.0%$$( 3 x+1 ) \biggl( \frac{1} {x}-1 \biggr)^{5}$$的展开式中的常数项为（）
A
A.$${{1}{4}}$$
B.$${{−}{{1}{4}}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{−}{{1}{6}}}$$
9、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项式定理及其证明']正确率60.0%$${（{x}{+}{2}{）}{（}{x}{−}{1}{）^{6}}}$$的展开式中$${{x}^{4}}$$的系数为（）
B
A.$${{3}{0}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{−}{{1}{0}}}$$
D.$${{2}{0}}$$
10、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']正确率60.0%若$$( x^{2}+\frac{a} {x} )^{6}$$的展开式中$${{x}^{6}}$$的系数为$${{1}{5}{0}}$$，则$${{a}^{2}{=}{（}}$$）
C
A.$${{2}{0}}$$
B.$${{1}{5}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{2}{5}}$$
1. 首先，利用赋值法求解系数和。令 $$x=1$$，得到 $$(4-7)^6 = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6$$，即 $$(-3)^6 = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6$$。令 $$x=-1$$，得到 $$(4(-1)-7)^6 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + a_6$$，即 $$(-11)^6 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + a_6$$。将两式相减，得到 $$2(a_1 + a_3 + a_5) = (-3)^6 - (-11)^6$$，即 $$a_1 + a_3 + a_5 = \frac{3^6 - 11^6}{2}$$。因此，正确答案是选项 D。
2. 展开 $$(x-y)^7$$ 的通项为 $$C(7,k) x^{7-k} (-y)^k$$。为了得到 $$x^4 y^4$$ 的系数，考虑两部分相乘的结果：
- 第一部分 $$2x$$ 乘以 $$(x-y)^7$$ 中 $$x^3 y^4$$ 的系数，即 $$2x \cdot C(7,4) x^3 (-y)^4 = 2 \cdot 35 \cdot x^4 y^4 = 70x^4 y^4$$。
- 第二部分 $$y$$ 乘以 $$(x-y)^7$$ 中 $$x^4 y^3$$ 的系数，即 $$y \cdot C(7,3) x^4 (-y)^3 = 35 \cdot x^4 y^4 \cdot (-1) = -35x^4 y^4$$。
将两部分相加，得到 $$70 - 35 = 35$$。因此，正确答案是选项 C。
3. 二项式 $$(1+x)^n$$ 展开式中 $$x^2$$ 的系数为 $$C(n,2)$$。根据题意，$$C(n,2) = 15$$，即 $$\frac{n(n-1)}{2} = 15$$，解得 $$n=6$$。因此，正确答案是选项 C。
4. 展开式的第 9 项为 $$C(n,8) \left(\frac{x^2}{2}\right)^{n-8} \left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^8$$。由于第 9 项为常数项，指数部分满足 $$2(n-8) - \frac{8}{2} = 0$$，解得 $$n=10$$。展开式的各项系数之和为令 $$x=1$$ 时的值，即 $$\left(\frac{1}{2} - 1\right)^{10} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{2^{10}}$$。因此，正确答案是选项 A。
5. 展开式的通项为 $$C(100,k) (\sqrt{3}x)^k (\sqrt{2})^{100-k}$$，其系数为 $$C(100,k) 3^{k/2} 2^{(100-k)/2}$$。为了使系数为有理数，$$k$$ 必须为偶数且 $$100-k$$ 也为偶数，即 $$k$$ 取 $$0,2,4,\ldots,100$$，共 51 项。但进一步分析，$$3^{k/2}$$ 要求 $$k$$ 为偶数，$$2^{(100-k)/2}$$ 要求 $$100-k$$ 为偶数，因此 $$k$$ 为偶数即可满足条件。共有 51 项，但题目选项中没有 51，可能是题目描述有误或选项不全。最接近的合理选项是 B（17 项），但实际应为 51 项。
6. 展开式的通项为 $$C(8,k) x^{8-k} \left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^k = C(8,k) (-1)^k x^{8 - \frac{3k}{2}}$$。令指数为 0，即 $$8 - \frac{3k}{2} = 0$$，解得 $$k=\frac{16}{3}$$，非整数，因此无常数项。但题目选项中有 28，可能是题目描述有误。实际展开式中 $$x^0$$ 项不存在，但最接近的是 $$k=4$$ 时 $$x^{2}$$ 的系数为 $$C(8,4) = 70$$，但选项中没有 70。
8. 展开 $$(3x+1)\left(\frac{1}{x}-1\right)^5$$，常数项来源于两部分：
- $$3x$$ 乘以 $$\left(\frac{1}{x}-1\right)^5$$ 中 $$\frac{1}{x}$$ 的系数，即 $$3x \cdot C(5,1) \left(\frac{1}{x}\right)^4 (-1)^1 = 3 \cdot 5 \cdot (-1) \cdot \frac{1}{x^3} = -\frac{15}{x^3}$$。
- $$1$$ 乘以 $$\left(\frac{1}{x}-1\right)^5$$ 中常数项，即 $$1 \cdot C(5,0) \left(\frac{1}{x}\right)^0 (-1)^5 = -1$$。
因此，常数项为 $$-1$$，但选项中没有 -1，可能是题目描述有误。
9. 展开 $$(x+2)(x-1)^6$$ 中 $$x^4$$ 的系数来源于两部分：
- $$x$$ 乘以 $$(x-1)^6$$ 中 $$x^3$$ 的系数，即 $$x \cdot C(6,3) x^3 (-1)^3 = -20x^4$$。
- $$2$$ 乘以 $$(x-1)^6$$ 中 $$x^4$$ 的系数，即 $$2 \cdot C(6,2) x^4 (-1)^2 = 30x^4$$。
总和为 $$-20 + 30 = 10$$。因此，正确答案是选项 B。
10. 展开 $$(x^2 + \frac{a}{x})^6$$ 的通项为 $$C(6,k) x^{12-3k} a^k$$。令 $$12-3k=6$$，解得 $$k=2$$，因此 $$x^6$$ 的系数为 $$C(6,2) a^2 = 15a^2$$。根据题意，$$15a^2 = 150$$，解得 $$a^2 = 10$$。因此，正确答案是选项 C。