正确率40.0%若$$( 1-x )^{8}=a_{0}+a_{1} ( 1+x )$$$$+ a_{2} ( 1+x )^{2}$$$$+ \ldots+a_{8} ( 1+x )^{8},$$则$${{a}_{6}{=}}$$()
C
A.$${{−}{{4}{4}{8}}}$$
B.$${{−}{{1}{1}{2}}}$$
C.$${{1}{1}{2}}$$
D.$${{4}{4}{8}}$$
2、['展开式中的特定项或特定项的系数', '二项式系数的性质']正确率60.0%已知$$( \frac{2} {x}+\sqrt{x} )^{n}$$的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于()
D
A.$${{1}{5}}$$
B.$${{3}{0}}$$
C.$${{4}{5}}$$
D.$${{6}{0}}$$
3、['展开式中的特定项或特定项的系数', '二项式系数和与各项的系数和', '二项展开式的通项']正确率40.0%若$$( \sqrt{x}-\frac{a} {x} )^{n}$$展开式中所有二项式系数之和是$${{5}{1}{2}}$$,常数项为$${{−}{{8}{4}}}$$,则实数$${{a}}$$的值是()
A
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{l}}$$
C.$${{±}{1}}$$
D.$${{2}}$$
4、['简单复合函数的导数', '展开式中的特定项或特定项的系数', '二项展开式的通项']正确率40.0%设$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=~ ( \begin{matrix} {2 x+5} \\ \end{matrix} )^{\textit{6}}$$,在函数$$f^{\prime} \textsubscript{\textit{( x )}}$$中$${{x}^{3}}$$的系数是()
C
A.$${{2}{0}{0}{0}}$$
B.$$1 2 0 0 0$$
C.$$2 4 0 0 0$$
D.非以上答案
5、['展开式中的特定项或特定项的系数']正确率40.0%$$( \frac{a} {x}-\sqrt[ 3 ] {x^{2}} )^{\gamma}$$的展开式中,$${{x}^{3}}$$项的系数为$${{1}{4}}$$,则$${{a}{=}{(}}$$)
C
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{1}{4}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{{1}{4}}}$$
6、['展开式中的特定项或特定项的系数', '二项式定理的应用']正确率40.0%若$$x ( x+\frac{1} {x^{3}} )^{n} ( n \in{\bf N}^{*} )$$的展开式中存在常数项,则$${{n}}$$的值可以是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{9}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{1}{1}}$$
D.$${{1}{2}}$$
7、['展开式中的特定项或特定项的系数', '算法与程序框图']正确率40.0%svg异常
A
A.$${{−}{{2}{0}}}$$
B.$${{2}{0}}$$
C.$$- \frac{2 0} {3}$$
D.$${{6}{0}}$$
8、['展开式中的特定项或特定项的系数', '二项式系数的性质', '二项展开式的通项']正确率40.0%若$$( \stackrel{6} {\sqrt{x}}-\frac{a} {\sqrt{x}} )^{6}$$的展开式中常数项为$${{5}{6}}$$,则实数$${{a}}$$的值为
A
A.$${{±}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{±}{1}}$$
C.$$\pm\frac{1} {2}$$
D.$$\pm\frac{\sqrt{2}} {2}$$
9、['展开式中的特定项或特定项的系数', '二项展开式的通项']正确率60.0%$$( x-1 )^{7} ( x+1 )^{3}$$的展开式中$${{x}}$$的系数是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}{8}{.}{5}}$$
D.$${{6}{8}}$$
10、['展开式中的特定项或特定项的系数', '二项展开式的通项']正确率60.0%$$\left( \sqrt{x}-\frac{1} {x} \right)^{5} \left( x+\frac{1} {\sqrt{x}} \right)^{2}$$的展开式中常数项是()
B
A.$${{−}{{1}{5}}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{5}}$$
1. 解析:将 $$(1-x)^8$$ 展开为 $$(1+x)$$ 的多项式形式,求 $$a_6$$。
设 $$y = 1 + x$$,则 $$x = y - 1$$,代入原式得:
$$(2 - y)^8 = a_0 + a_1 y + a_2 y^2 + \ldots + a_8 y^8$$
展开 $$(2 - y)^8$$ 的二项式系数:
$$(2 - y)^8 = \sum_{k=0}^8 \binom{8}{k} 2^{8-k} (-1)^k y^k$$
比较 $$y^6$$ 的系数:
$$a_6 = \binom{8}{6} 2^{2} (-1)^6 = 28 \times 4 \times 1 = 112$$
但题目中 $$(1 - x)^8$$ 展开为 $$(1 + x)$$ 的多项式时,$$a_6$$ 对应的是 $$y^6$$ 的系数,因此答案为 $$112$$,即选项 C。
2. 解析:二项式系数最大项为第四项,说明 $$n = 6$$(因为 $$n$$ 为偶数时,中间项最大)。
展开 $$(\frac{2}{x} + \sqrt{x})^6$$ 的通项为:
$$T_{k+1} = \binom{6}{k} \left(\frac{2}{x}\right)^{6-k} (\sqrt{x})^k = \binom{6}{k} 2^{6-k} x^{k/2 - (6 - k)}$$
令指数为 0:
$$\frac{k}{2} - (6 - k) = 0 \Rightarrow \frac{3k}{2} = 6 \Rightarrow k = 4$$
常数项为:
$$T_5 = \binom{6}{4} 2^{2} = 15 \times 4 = 60$$
答案为 D。
3. 解析:二项式系数之和为 $$512$$,即 $$2^n = 512 \Rightarrow n = 9$$。
展开 $$(\sqrt{x} - \frac{a}{x})^9$$ 的通项为:
$$T_{k+1} = \binom{9}{k} (\sqrt{x})^{9 - k} \left(-\frac{a}{x}\right)^k = \binom{9}{k} (-a)^k x^{\frac{9 - k}{2} - k}$$
令指数为 0:
$$\frac{9 - k}{2} - k = 0 \Rightarrow 9 - k - 2k = 0 \Rightarrow k = 3$$
常数项为:
$$\binom{9}{3} (-a)^3 = 84 (-a)^3 = -84 \Rightarrow (-a)^3 = -1 \Rightarrow a = 1$$
答案为 A。
4. 解析:函数 $$f(x) = (2x + 5)^6$$,求导数 $$f'(x)$$ 中 $$x^3$$ 的系数。
先展开 $$(2x + 5)^6$$:
$$(2x + 5)^6 = \sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} (2x)^k 5^{6 - k}$$
求导后:
$$f'(x) = \sum_{k=1}^6 \binom{6}{k} k \cdot 2^k \cdot 5^{6 - k} x^{k - 1}$$
令 $$k - 1 = 3 \Rightarrow k = 4$$,系数为:
$$\binom{6}{4} \cdot 4 \cdot 2^4 \cdot 5^{2} = 15 \times 4 \times 16 \times 25 = 24000$$
答案为 C。
5. 解析:展开 $$(\frac{a}{x} - \sqrt[3]{x^2})^7$$ 中 $$x^3$$ 项的系数为 14。
通项为:
$$T_{k+1} = \binom{7}{k} \left(\frac{a}{x}\right)^{7 - k} (-x^{2/3})^k = \binom{7}{k} (-1)^k a^{7 - k} x^{2k/3 - (7 - k)}$$
令指数为 3:
$$\frac{2k}{3} - (7 - k) = 3 \Rightarrow \frac{5k}{3} = 10 \Rightarrow k = 6$$
系数为:
$$\binom{7}{6} (-1)^6 a^{1} = 7a = 14 \Rightarrow a = 2$$
答案为 C。
6. 解析:$$x (x + \frac{1}{x^3})^n$$ 存在常数项的条件是展开式中 $$x^{-1}$$ 项存在。
展开 $$(x + \frac{1}{x^3})^n$$ 的通项为:
$$T_{k+1} = \binom{n}{k} x^{n - k} x^{-3k} = \binom{n}{k} x^{n - 4k}$$
乘以 $$x$$ 后为 $$x^{n - 4k + 1}$$,令其为常数项:
$$n - 4k + 1 = 0 \Rightarrow n + 1 = 4k$$
因此 $$n + 1$$ 必须是 4 的倍数,选项中 $$n = 11$$ 满足 $$11 + 1 = 12$$ 是 4 的倍数。
答案为 C。
7. 解析:题目不完整,无法解答。
8. 解析:展开 $$(\sqrt[6]{x} - \frac{a}{\sqrt{x}})^6$$ 的常数项为 56。
通项为:
$$T_{k+1} = \binom{6}{k} x^{(6 - k)/6} (-a)^k x^{-k/2} = \binom{6}{k} (-a)^k x^{(6 - k)/6 - k/2}$$
令指数为 0:
$$\frac{6 - k}{6} - \frac{k}{2} = 0 \Rightarrow 6 - k - 3k = 0 \Rightarrow k = \frac{3}{2}$$
但 $$k$$ 必须为整数,因此可能是题目描述有误。假设题目为 $$(\sqrt{x} - \frac{a}{\sqrt{x}})^6$$,则通项为:
$$T_{k+1} = \binom{6}{k} x^{(6 - k)/2} (-a)^k x^{-k/2} = \binom{6}{k} (-a)^k x^{3 - k}$$
令 $$3 - k = 0 \Rightarrow k = 3$$,常数项为:
$$\binom{6}{3} (-a)^3 = 20 (-a)^3 = 56 \Rightarrow (-a)^3 = 2.8$$
无整数解,可能是题目描述有误。
9. 解析:展开 $$(x - 1)^7 (x + 1)^3$$ 中 $$x$$ 的系数。
展开 $$(x - 1)^7$$ 和 $$(x + 1)^3$$ 后相乘,$$x$$ 的系数来源于:
1. $$(x - 1)^7$$ 的 $$x$$ 项系数 $$\binom{7}{1} (-1)^6 = 7$$ 乘以 $$(x + 1)^3$$ 的常数项 1。
2. $$(x - 1)^7$$ 的常数项 $$(-1)^7 = -1$$ 乘以 $$(x + 1)^3$$ 的 $$x$$ 项系数 $$\binom{3}{1} = 3$$。
总和为 $$7 \times 1 + (-1) \times 3 = 4$$。
答案为 B。
10. 解析:展开 $$\left(\sqrt{x} - \frac{1}{x}\right)^5 \left(x + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2$$ 的常数项。
先展开第二部分 $$\left(x + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 = x^2 + 2 \sqrt{x} + \frac{1}{x}$$。
展开第一部分 $$\left(\sqrt{x} - \frac{1}{x}\right)^5$$ 的通项为:
$$T_{k+1} = \binom{5}{k} (\sqrt{x})^{5 - k} (-1)^k x^{-k} = \binom{5}{k} (-1)^k x^{(5 - k)/2 - k}$$
常数项来源于乘积中指数抵消的情况:
1. 第一部分 $$x^{(5 - k)/2 - k}$$ 与第二部分的 $$x^2$$ 相乘:
$$\frac{5 - k}{2} - k + 2 = 0 \Rightarrow \frac{5 - k - 2k + 4}{2} = 0 \Rightarrow 9 - 3k = 0 \Rightarrow k = 3$$
系数为 $$\binom{5}{3} (-1)^3 \times 1 = -10$$。
2. 第一部分与第二部分的 $$2 \sqrt{x}$$ 相乘:
$$\frac{5 - k}{2} - k + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow \frac{5 - k - 2k + 1}{2} = 0 \Rightarrow 6 - 3k = 0 \Rightarrow k = 2$$
系数为 $$\binom{5}{2} (-1)^2 \times 2 = 20$$。
3. 第一部分与第二部分的 $$\frac{1}{x}$$ 相乘:
$$\frac{5 - k}{2} - k - 1 = 0 \Rightarrow \frac{5 - k - 2k - 2}{2} = 0 \Rightarrow 3 - 3k = 0 \Rightarrow k = 1$$
系数为 $$\binom{5}{1} (-1)^1 \times 1 = -5$$。
总和为 $$-10 + 20 - 5 = 5$$。
答案为 B。