格物学 第六章 计数原理计数原理的拓展与综合

展开式中的特定项或特定项的系数-计数原理的拓展与综合知识点课后进阶选择题自测题解析-江西省等高三数学选择必修,平均正确率46.0%

2025-07-24
展开式中的特定项或特定项的系数-计数原理的拓展与综合知识点课后进阶选择题自测题解析-江西省等高三数学选择必修,平均正确率46.0%
1、['展开式中的特定项或特定项的系数']

正确率40.0%若$$( 1-x )^{8}=a_{0}+a_{1} ( 1+x )$$$$+ a_{2} ( 1+x )^{2}$$$$+ \ldots+a_{8} ( 1+x )^{8},$$则$${{a}_{6}{=}}$$(

C

A.$${{−}{{4}{4}{8}}}$$

B.$${{−}{{1}{1}{2}}}$$

C.$${{1}{1}{2}}$$

D.$${{4}{4}{8}}$$

2、['展开式中的特定项或特定项的系数', '二项式系数的性质']

正确率60.0%已知$$( \frac{2} {x}+\sqrt{x} )^{n}$$的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于(

D

A.$${{1}{5}}$$

B.$${{3}{0}}$$

C.$${{4}{5}}$$

D.$${{6}{0}}$$

3、['展开式中的特定项或特定项的系数', '二项式系数和与各项的系数和', '二项展开式的通项']

正确率40.0%若$$( \sqrt{x}-\frac{a} {x} )^{n}$$展开式中所有二项式系数之和是$${{5}{1}{2}}$$,常数项为$${{−}{{8}{4}}}$$,则实数$${{a}}$$的值是(

A

A.$${{1}}$$

B.$${{−}{l}}$$

C.$${{±}{1}}$$

D.$${{2}}$$

4、['简单复合函数的导数', '展开式中的特定项或特定项的系数', '二项展开式的通项']

正确率40.0%设$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=~ ( \begin{matrix} {2 x+5} \\ \end{matrix} )^{\textit{6}}$$,在函数$$f^{\prime} \textsubscript{\textit{( x )}}$$中$${{x}^{3}}$$的系数是(

C

A.$${{2}{0}{0}{0}}$$

B.$$1 2 0 0 0$$

C.$$2 4 0 0 0$$

D.非以上答案

5、['展开式中的特定项或特定项的系数']

正确率40.0%$$( \frac{a} {x}-\sqrt[ 3 ] {x^{2}} )^{\gamma}$$的展开式中,$${{x}^{3}}$$项的系数为$${{1}{4}}$$,则$${{a}{=}{(}}$$

C

A.$${{−}{2}}$$

B.$${{1}{4}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{−}{{1}{4}}}$$

6、['展开式中的特定项或特定项的系数', '二项式定理的应用']

正确率40.0%若$$x ( x+\frac{1} {x^{3}} )^{n} ( n \in{\bf N}^{*} )$$的展开式中存在常数项,则$${{n}}$$的值可以是$${{(}{)}}$$

C

A.$${{9}}$$

B.$${{1}{0}}$$

C.$${{1}{1}}$$

D.$${{1}{2}}$$

7、['展开式中的特定项或特定项的系数', '算法与程序框图']

正确率40.0%svg异常

A

A.$${{−}{{2}{0}}}$$

B.$${{2}{0}}$$

C.$$- \frac{2 0} {3}$$

D.$${{6}{0}}$$

8、['展开式中的特定项或特定项的系数', '二项式系数的性质', '二项展开式的通项']

正确率40.0%若$$( \stackrel{6} {\sqrt{x}}-\frac{a} {\sqrt{x}} )^{6}$$的展开式中常数项为$${{5}{6}}$$,则实数$${{a}}$$的值为

A

A.$${{±}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{±}{1}}$$

C.$$\pm\frac{1} {2}$$

D.$$\pm\frac{\sqrt{2}} {2}$$

9、['展开式中的特定项或特定项的系数', '二项展开式的通项']

正确率60.0%$$( x-1 )^{7} ( x+1 )^{3}$$的展开式中$${{x}}$$的系数是$${{(}{)}}$$

B

A.$${{1}{0}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{6}{8}{.}{5}}$$

D.$${{6}{8}}$$

10、['展开式中的特定项或特定项的系数', '二项展开式的通项']

正确率60.0%$$\left( \sqrt{x}-\frac{1} {x} \right)^{5} \left( x+\frac{1} {\sqrt{x}} \right)^{2}$$的展开式中常数项是(

B

A.$${{−}{{1}{5}}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{1}{0}}$$

D.$${{1}{5}}$$

1. 解析:将 $$(1-x)^8$$ 展开为 $$(1+x)$$ 的多项式形式,求 $$a_6$$。

设 $$y = 1 + x$$,则 $$x = y - 1$$,代入原式得:

$$(2 - y)^8 = a_0 + a_1 y + a_2 y^2 + \ldots + a_8 y^8$$

展开 $$(2 - y)^8$$ 的二项式系数:

$$(2 - y)^8 = \sum_{k=0}^8 \binom{8}{k} 2^{8-k} (-1)^k y^k$$

比较 $$y^6$$ 的系数:

$$a_6 = \binom{8}{6} 2^{2} (-1)^6 = 28 \times 4 \times 1 = 112$$

但题目中 $$(1 - x)^8$$ 展开为 $$(1 + x)$$ 的多项式时,$$a_6$$ 对应的是 $$y^6$$ 的系数,因此答案为 $$112$$,即选项 C。

2. 解析:二项式系数最大项为第四项,说明 $$n = 6$$(因为 $$n$$ 为偶数时,中间项最大)。

展开 $$(\frac{2}{x} + \sqrt{x})^6$$ 的通项为:

$$T_{k+1} = \binom{6}{k} \left(\frac{2}{x}\right)^{6-k} (\sqrt{x})^k = \binom{6}{k} 2^{6-k} x^{k/2 - (6 - k)}$$

令指数为 0:

$$\frac{k}{2} - (6 - k) = 0 \Rightarrow \frac{3k}{2} = 6 \Rightarrow k = 4$$

常数项为:

$$T_5 = \binom{6}{4} 2^{2} = 15 \times 4 = 60$$

答案为 D。

3. 解析:二项式系数之和为 $$512$$,即 $$2^n = 512 \Rightarrow n = 9$$。

展开 $$(\sqrt{x} - \frac{a}{x})^9$$ 的通项为:

$$T_{k+1} = \binom{9}{k} (\sqrt{x})^{9 - k} \left(-\frac{a}{x}\right)^k = \binom{9}{k} (-a)^k x^{\frac{9 - k}{2} - k}$$

令指数为 0:

$$\frac{9 - k}{2} - k = 0 \Rightarrow 9 - k - 2k = 0 \Rightarrow k = 3$$

常数项为:

$$\binom{9}{3} (-a)^3 = 84 (-a)^3 = -84 \Rightarrow (-a)^3 = -1 \Rightarrow a = 1$$

答案为 A。

4. 解析:函数 $$f(x) = (2x + 5)^6$$,求导数 $$f'(x)$$ 中 $$x^3$$ 的系数。

先展开 $$(2x + 5)^6$$:

$$(2x + 5)^6 = \sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} (2x)^k 5^{6 - k}$$

求导后:

$$f'(x) = \sum_{k=1}^6 \binom{6}{k} k \cdot 2^k \cdot 5^{6 - k} x^{k - 1}$$

令 $$k - 1 = 3 \Rightarrow k = 4$$,系数为:

$$\binom{6}{4} \cdot 4 \cdot 2^4 \cdot 5^{2} = 15 \times 4 \times 16 \times 25 = 24000$$

答案为 C。

5. 解析:展开 $$(\frac{a}{x} - \sqrt[3]{x^2})^7$$ 中 $$x^3$$ 项的系数为 14。

通项为:

$$T_{k+1} = \binom{7}{k} \left(\frac{a}{x}\right)^{7 - k} (-x^{2/3})^k = \binom{7}{k} (-1)^k a^{7 - k} x^{2k/3 - (7 - k)}$$

令指数为 3:

$$\frac{2k}{3} - (7 - k) = 3 \Rightarrow \frac{5k}{3} = 10 \Rightarrow k = 6$$

系数为:

$$\binom{7}{6} (-1)^6 a^{1} = 7a = 14 \Rightarrow a = 2$$

答案为 C。

6. 解析:$$x (x + \frac{1}{x^3})^n$$ 存在常数项的条件是展开式中 $$x^{-1}$$ 项存在。

展开 $$(x + \frac{1}{x^3})^n$$ 的通项为:

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} x^{n - k} x^{-3k} = \binom{n}{k} x^{n - 4k}$$

乘以 $$x$$ 后为 $$x^{n - 4k + 1}$$,令其为常数项:

$$n - 4k + 1 = 0 \Rightarrow n + 1 = 4k$$

因此 $$n + 1$$ 必须是 4 的倍数,选项中 $$n = 11$$ 满足 $$11 + 1 = 12$$ 是 4 的倍数。

答案为 C。

7. 解析:题目不完整,无法解答。

8. 解析:展开 $$(\sqrt[6]{x} - \frac{a}{\sqrt{x}})^6$$ 的常数项为 56。

通项为:

$$T_{k+1} = \binom{6}{k} x^{(6 - k)/6} (-a)^k x^{-k/2} = \binom{6}{k} (-a)^k x^{(6 - k)/6 - k/2}$$

令指数为 0:

$$\frac{6 - k}{6} - \frac{k}{2} = 0 \Rightarrow 6 - k - 3k = 0 \Rightarrow k = \frac{3}{2}$$

但 $$k$$ 必须为整数,因此可能是题目描述有误。假设题目为 $$(\sqrt{x} - \frac{a}{\sqrt{x}})^6$$,则通项为:

$$T_{k+1} = \binom{6}{k} x^{(6 - k)/2} (-a)^k x^{-k/2} = \binom{6}{k} (-a)^k x^{3 - k}$$

令 $$3 - k = 0 \Rightarrow k = 3$$,常数项为:

$$\binom{6}{3} (-a)^3 = 20 (-a)^3 = 56 \Rightarrow (-a)^3 = 2.8$$

无整数解,可能是题目描述有误。

9. 解析:展开 $$(x - 1)^7 (x + 1)^3$$ 中 $$x$$ 的系数。

展开 $$(x - 1)^7$$ 和 $$(x + 1)^3$$ 后相乘,$$x$$ 的系数来源于:

1. $$(x - 1)^7$$ 的 $$x$$ 项系数 $$\binom{7}{1} (-1)^6 = 7$$ 乘以 $$(x + 1)^3$$ 的常数项 1。

2. $$(x - 1)^7$$ 的常数项 $$(-1)^7 = -1$$ 乘以 $$(x + 1)^3$$ 的 $$x$$ 项系数 $$\binom{3}{1} = 3$$。

总和为 $$7 \times 1 + (-1) \times 3 = 4$$。

答案为 B。

10. 解析:展开 $$\left(\sqrt{x} - \frac{1}{x}\right)^5 \left(x + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2$$ 的常数项。

先展开第二部分 $$\left(x + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 = x^2 + 2 \sqrt{x} + \frac{1}{x}$$。

展开第一部分 $$\left(\sqrt{x} - \frac{1}{x}\right)^5$$ 的通项为:

$$T_{k+1} = \binom{5}{k} (\sqrt{x})^{5 - k} (-1)^k x^{-k} = \binom{5}{k} (-1)^k x^{(5 - k)/2 - k}$$

常数项来源于乘积中指数抵消的情况:

1. 第一部分 $$x^{(5 - k)/2 - k}$$ 与第二部分的 $$x^2$$ 相乘:

$$\frac{5 - k}{2} - k + 2 = 0 \Rightarrow \frac{5 - k - 2k + 4}{2} = 0 \Rightarrow 9 - 3k = 0 \Rightarrow k = 3$$

系数为 $$\binom{5}{3} (-1)^3 \times 1 = -10$$。

2. 第一部分与第二部分的 $$2 \sqrt{x}$$ 相乘:

$$\frac{5 - k}{2} - k + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow \frac{5 - k - 2k + 1}{2} = 0 \Rightarrow 6 - 3k = 0 \Rightarrow k = 2$$

系数为 $$\binom{5}{2} (-1)^2 \times 2 = 20$$。

3. 第一部分与第二部分的 $$\frac{1}{x}$$ 相乘:

$$\frac{5 - k}{2} - k - 1 = 0 \Rightarrow \frac{5 - k - 2k - 2}{2} = 0 \Rightarrow 3 - 3k = 0 \Rightarrow k = 1$$

系数为 $$\binom{5}{1} (-1)^1 \times 1 = -5$$。

总和为 $$-10 + 20 - 5 = 5$$。

答案为 B。

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